数值分析试题库与答案.doc

模拟试卷（一）一、填空题（每小题3 分，共 30 分）1有 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的 .15232设 A210， x4，则 A=. ， x 1 = _.14223已知 y= f(x)的均差（差商） f x0 , x1, x2 14, x2 , x315913， f x1， f x2 , x3 , x4 ，8315f x0 , x2 , x3 f x4 , x2 , x3 =.,那么均差371624已知 n=4 时 Newton Cotes求积公式的系数分别是：C0(4),C1(4 ),C2(4), 则904515C3(4) .5解初始值问题yf ( x, y)的改进的 Euler方法是阶方法；y(x0 )y05x13x20.1x336求解线性代数方程组2x16x20.7 x32 的高斯塞德尔迭代公式为，x12x23.5x31若取 x(0)(1,1,1),则 x(1).7求方程 xf ( x) 根的牛顿迭代格式是.8 0 ( x),1 (x),n ( x) 是以整数点 x0 ,x1, xn , 为节点的 Lagrange插值基函数，则nxk j ( xk ) =.k 09解方程组 Axb的简单迭代格式 x(k 1)Bx (k )g 收敛的充要条件是.10 设 f ( - 1 )1f,( 0 )f 0 ,( 1f)1 , ， 则 f (x)的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为.二、综合题 （每题 10 分，共 60 分）1求一次数不超过4 次的多项式p( x) 满足： p(1) 15 ， p (1)20 ， p (1) 30p(2)57， p (2)72.2构造代数精度最高的形式为1xf ( x)dxA0 f ( 1)A1 f (1)的求积公式，并求出02其代数精度 .3用 Newton 法求方程 xln x2在区间 (2,xkxk 1108 .)内的根, 要求xk4用最小二乘法求形如ya bx 2 的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.35用矩阵的直接三角分解法解方程组1020x150101x23x3.1243170103x476 试用数值积分法建立求解初值问题yf (x, y)y(0)的如下数值求解公式y0yn 1yn 1h ( f n 14 f nfn 1) ，3其中 fif ( xi , yi ),in1, n, n 1.三、证明题 （10 分）设 对 任 意 的 x ， 函 数 f (x) 的 导 数 f ( x) 都 存 在 且 0 mf ( x) M , 对 于 满 足02的任意，迭代格式 xk 1xkf ( xk ) 均收敛于 f ( x)0 的根 x* .M参考答案一、填空题15； 2. 8, 9 ; 3.91165. 二； 4.；1545x1( k 1)6. x2( k 1) x3( k 1)(3 3x2(k )0.1x3(k) ) / 5(22x1( k 1)0.7x3(k) ) / 6 , (0.02 ，0.22 ， 0.1543)(1x1( k 1)2x2(k 1) )*2 / 77.xk 1xkxkf (xk ) ;8.xj ; 9.(B) 1;1f(xk )10.1 x3x21 x,f (4) ()( x1)x( x1)(x 2) / 24( 1,2)66二、综合题1差商表：11520115152071152214282573072257p(x)1520( x1)15(x1)27( x1)3( x1)3 ( x2)54 x 3x22x3x4其他方法：设 p( x)1520( x1)15( x1)27( x1)3(x1)3( axb)令 p(2)57 ， p (2)72，求出 a 和 b.2取 f ( x)1, x ，令公式准确成立，得：A0A1111, A011.,A0A1, A162233f ( x)x2 时，公式左右1； f(x)x3 时，公式左1,公式右54524 公式的代数精度2.3此方程在区间(2,) 内只有一个根s ，而且在区间（ 2， 4）内。设f (x)xln x2则 f (x)1f (x)1， Newton法迭代公式为1，x 2xxk 1xkxkln xk2xk (1 ln xk )k0,1,2,11/ xkxk1，取 x03，得 sx43.146193221 。42，T1111Tspan1, xA192252302， y19.0 32.3 49.0 73.3 .382解方程组TTT43330，A ACA y，其中AA33303416082解得： C1.416650.0504305所以 a0.9255577， b0.0501025.5解设1020110200101l 211u22u23u2412 43l 31l 321u33u340103l 41l 42l 431u44由矩阵乘法可求出uij 和 l ij11l 21101l 31l 321121l 41l 42l 431010110201020u22u23u24101u33u3421u4421y15解下三角方程组01y23121y3170101y47有 y1 5 ， y23 ， y36 ， y44 .1020x15再解上三角方程组101x2321x362x44得原方程组的解为 x11， x21 ， x32 ， x4 2 .x6 解 初值问题等价于如下形式取 xxn 1 ，有 y(xn 1 )y( xn 1)利用辛卜森求积公式可得yn 1yn三、证明题y(x)y( xn 1 )f ( x, y( x)dx ，xn 1x n 1f (x, y( x)dx ，xn 11h ( f n 1 4 f n f n 1 ) .3证明将 f ( x)0写成 xxf (x)(x) ，由于( x) xf ( x)1f ( x) ，所以 |( x) | |1f ( x) | 1所以迭代格式 xk1xkf (xk ) 均收敛于 f (x)0 的根 x*.模拟试卷（二）一、填空题（每小题3 分，共 30 分）1分别用2.718281和 2.718282作数 e 的近似值，则其有效位数分别有位和位 ；10212设A110， x3 ，则 A 1 = _ ， x 2 =.38213对于方程组2 x15x21Jacobi 迭代法的迭代矩阵是GJ =_.4x2,10x134设 f ( x) x 3x1，则差商f 0, 1, 2, 3 =_ ， f0, 1, 2, 3,4=_.125已知 A, 则条件数 Cond ( A) _.011f ( x1 ) 具有最高的代数精确度，则其求积6为使两点的数值求积公式f ( x) dx f ( x0 )1基点应为 x0 =_ ， x1 =_7解初始值问题yf ( x, y)yk 1y(x0 ) y0近似解的梯形公式是8求方程 f (x)0 根的弦截法迭代公式是1xdx ，取 49. 计算积分位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是， 用辛0.5卜生公式计算的结果是10 任一非奇异矩阵A 的条件数 Cond (A) ，其 Cond ( A) 一定大于等于二、综合题 （每题 10 分，共 60 分）1证明方程 1xsin x 在区间 0, 1 有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过110 4 近似解，问要迭代多少次？22 已知常微分方程的初值问题：dyx,1x1.2dxy,y(1)2试用改进的Euler 方法计算y(1.2) 的近似值，取步长h0.2 .335x1103用矩阵的 LDLT 分解法解方程组359x216 .5917x3304用最小二乘法求一个形如y1的经验公式，使它与下列数据拟合.bxax1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x0.4 y0.4 z15 设方程组 0.4x y 0.8 z 2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代0.4x0.8 yz3法的收敛性。4116 按幂法求矩阵 A1 32 的按模最大特征值的近似值，取初始向量123( 0 )T(2)x(1, 0 , 0 ，)迭代两步求得近似值即可 .三、证明题 （10 分）已知求 a (a0) 的迭代公式为：xk 11 ( xka )x0 0 k 0,1,22xk证明：对一切 k1,2, xka ， 且序列 xk 是单调递减的，从而迭代过程收敛 .参考答案一、填空题02.51116， 7； 2. 9, 11; 3.0;4.1,0; 5.9;6.,;2.5337.ykhf (xk1, yk 1 ) ; f (xk , yk )28.xk 1xkf ( xk )( xk xk 1 ) ； 9. 0.4268, 0.4309; 10. A 1 A , 1f (xk )f (xk1 )二、综合题1 解 令 f ( x)1 x sin x ，则 f 0)(1 0，f (1)sin10 ，且 f (x)1cos 0x故 1x sin x 在区间 0,1内仅有一个根x* .利用二分法求它的误差不超过110 4 的近似解，则| xk 1x* |1110 44ln1022k 12解此不等式可得k13.2877ln 2所以迭代14 次即可 .2、解：k1f ( x0 , y0 )0. 5 , k2f (x1 ,y0h1k ) 0. 5 7 1 4 2 9 ,y1y0h ( k1k)2 2 0. 1 ( 0. 5 0. 5 7 1 4 2 9 ) 2. 1 0 7 1 4 2 923351d11 l21l313解设359l211d21l325917l31l321d31利用矩阵乘法可求得d13 ， d222， l 211， l3152， d3， l 32331y1104解方程组 11y216得 y110,y2 6, y3，5y33033215d11113x1110再解方程组12x2d26得 x11, x21, x3 2 .1x3d31434 解令 Y1，则 Yabx 容易得出正规方程组y59a16.971，解得a2.0535,b3.0265 .917.8b35.3902故所求经验公式为y1.2.05353.0265x5解0.40.4（ 1 ）由于 fJ ()0.40.830.960.2560.40.8f J (1)10.980.2560 ， f J ( 2)8 1.960.2560所以 fJ() 0在(2,1) 内有根i 且 |i| 1，故利用雅可比迭代法不收敛 .0.40.4（ 2 ）由于 fG ()0.40.8(20.8320.128)0.40.8所以(G )0.832 ，故利用高斯赛德尔迭代法收敛 .6 解因为 x(0)1,0,0 T，故x(0)1，且 y(1)Ax(0)4,1,1T(1)max( y(1) )4 .，从而得x(1)y(1)/y(1)1,1 , 1 T ，y(2)Ax(1) 9 ,9,9T ， (2)max( y(2) )9.442442三、证明题证明 :由于xk11 (xka )a, k0,1, 2,2xk故对一切 k ， xka ，又 xk 11 (1a)1(1 1) 1xk2xk22所以xk 1xk ，即序列 xk 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.模拟试卷（三）一、填空题（每小题3 分，共 30 分）1设a2.40315是真值x 2.40194a 有位有效位数，相对误差限的近似值，则为；2 若用二分法求方程f ( x)0 在区间 1,2 内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分次。3有n 个节点的高斯求积公式的代数精度为次 .4设( x)xa(x25)，要使迭代格式xk 1( xk ) 局部收敛到x*5，则a 的取值范围是5 设线性方程组Ax = b 有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的bx扰动相对误差，就一定能保证解的相对误差；bx6给定线性方程组9x1x28Jacobi 迭 代 公 式x15x2，则解此线性方程组的4是， Gauss-Seidel迭代公式是nbAkf ( xk )7插值型求积公式f ( x)dx 的求积系数之和是k0a8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是9. 已知函数f (0.4)0.411, f (0.5)0.578 , f (0.6)0.697 ，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2 的系数是21010 设 A12a，为使 A 可分解为A = LLT ，其中 L 是对角线元素为正的下三角0a2矩阵，则 a 的取值范围是。二、综合题 （每题10 分，共 60分）1用 Newton 法求方程 x ln x2在区间 (2,xk xk 110 8.)内的根 , 要求xk1011 21 22设有方程组 b，其中 A221 ，b1 3，已知它有解 x1 3 ，如x0222 30果右端有小扰动b110 6 ，试估计由此引起的解的相对误差。23试用 Simpson 公式计算积分2e1 / x dx的近似值 , 并估计截断误差 .14设函数 f (x) 在区间 0,3 上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式 P3 ( x) ，使其满足 P (0)0, P (1)1,P (1)3,P (2) 1，并写出误差估计式。33332105A121 ，给出用古典Jacobi 方法求 A 的特征值的第一次迭代运算。012y y02h6用梯形方法解初值问题1， 证明其近似解为 ynhy(0)2时，它收敛于原初值问题的准确解ye x 。n，并证明当 h0三、证明题 （10 分）nnk0,0 k n 2若 f (x)ai xi 有 n 个不同的实根，证明xj1.i 1i 1f ( xj )an, k n 1参考答案一、填空题1. 3,0.510-3 ;2.10;3.2n -1 ;4.15a0 ;5. cond ( A) ;x( k 1)16.x( k 1)2(8x(k) / 9x( k 1)2, k0,1,1x1(k),(4) / 5x( k 1)2(8x2(k) )/ 9, k0,1,(4x1( k 1) ) /57. b a ; 8. O(h5 ) ; 9. 2.4;10 .3 a3二、综合题1此方程在区间(2,) 内只有一个根s，而且在区间（2 ，4 ）内。设f ( x)xln x2则 f (x) 111， f ( x)， Newton 法迭代公式为xx2xk1xkxkln xk2xk (1 ln xk )0,1,2,11/ xkxk1， k取 x03 ，得 sx43.146193221。111xbA 1211. 5， Cond ( A)22.5 ，由公式2 解xCond ( A)，有211bx110 622.521.6875105x2 3321/ xdx21(e1/1.51/ 2)2.0263, f(4)11236 241/ xe4ee(8765)e，16xxxxmax f ( 4) ( x)f (4) (1)198.43 ，1x2截断误差为 R2( 21) 5max f ( 4) (x)0.0689028801 x25 x37 x4由所给条件可用插值法确定多项式P3 (x) ， P3 (x)7x222(由题意可设 R( x)f (x)P3 ( x)k ( x) x( x1)2 ( x2)为确定待定函数k (x) ，作辅助函数： g (t )f (t ) P (t) k( x)t (t 1)2 (t2),则 g (t ) 在0,3上存在四阶导数且在0,33上至少有5 个零点 tx, t0,1,2（ t 0为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点， 使( 4 )1( 4 )(0,g( )0k (x )f( )3)，从而得4!。故误差估计式为1R( x)f (4) () x( x1)2 ( x2) ，(0,3) 。4!5首先取i 1, j， 因c o t 2， 故 有， 于 是 c o ss i n1204，211022V (0)V12 ()110，22001A(1)V (0)A(0)V (0) T1101101012222221011111012100322222012001001112226. 梯 形yn 1yn所以 yn 1公 式 为 yn 1ynh f ( xn , yn )f ( xn 1 , yn 1) ， 由 f ( x, y)，y得h2yn 1) ，( yn22 h2h2yn 12hn 1y0(2 hn 1() yn ()()，用上述梯形公式以步2 h2h2h2 h长 h 经 n 步计算得到yn ，所以有 hnx ，所以lim ynlim(2h )nlim(2h ) hxe x h 0h 02hh 02h三、证明题n证 明由 于f (x)ai xi有 n个不同的实根，故i1f ( x) an ( x x1 )( x x2 )(x xn ) an wn ( x) ,于是nxkjnxkj1 nxkji 1 f ( x j )i 1 an wn ( xj )an i 1 wn ( xj )记 g( x)nxkj1n g( x j)1 g x1, x2 , , xn ，xk ，则i 1 f (x j )an i 1 wn (x j ) annk0,0 kn2x j再由差商与导数的关系知1 ,.i 1 f (x j )k n 1an模拟试卷（四）一、填空题（每小题3 分，共 30 分）1 为 了 减 少 运 算 次