指数函数讲义与练习(含答案).doc

指数函数突破思路本节主要学习分数指数幂与指数函数1理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a的n次幂表示n个a相乘的积正整数指数幂有五条运算性质：（1）amanamn；（2）amanamn（a0，mn）；（3）（am）namn；（4）（ab）nanbn；（5）（）n若（b0）另外规定了a01（a0）、an（n为正整数，a0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数2分数指数幂的引进是受根式的性质的启发从根式的基本性质（a0，m、n、pN*），我们知道a0时，a3，a4于是我们规定：（1）（a0，m、nN*）；（2）（a0，m、nN*，n1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为：（1）arasars；（2）（ar）sars；（3）（ab）rarbr，式中a0，b0，r、s为有理数3理解指数函数的概念和意义在指数函数的定义中限定了底数a0且a1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性（1）若a0，当x0时，ax0；当x0时，ax没有意义；（2）若a0，如y（2）x对于x、等都是没有意义的；（3）若a1，则函数为y1x1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性4能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型5在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（）Aa（nN*）B（）na（nN*）C（n，m，pN*）D（m，nN*，a0）我的思路：我们知道，如果xna，则称x是a的n次方根若a0时，则x0，即0，若a0时，当n为正奇数时，x，其符号与x的符号一致；当n为正偶数时，则a一定大于零，x士，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数A、C中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号如：2和，应该先将被开放式底数2化成2，然后再进行化简故A，C不一定成立一般地，根式有如下性质：（1）（nN*）；（2）（）na（nN*）对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定（a0，m，nN*）应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒故D不成立因此选B思考：对于根式在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：y2x；y5x；y（）x；y（）x观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？我的思路：指数函数yax（a0且a1）恒过两个点（0，1）和（1，a）这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，）、（1，）再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）根据图象可知函数与，与分别关于y轴对称结论：（1）一般地，指数函数yax（a0且a1）与yax（a0且a1）的图象关于y轴对称（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）（3）（有界性）若a1，当x0时，y1当x0时，0y1若0a1，当x0时，0y1；当x0时，y1思维过程在本小节的学习过程中，我们应该从下面几个方面去掌握知识，提高能力1理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条：arasars；（ar）sars；（ab）rarbr，其中a0，b0，r，sQ这三条运算性质对于r，sR也成立，我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用2对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化3在指数函数的概念中，对底数a0且a1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性运用指数函数性质解题时要注意对底数a的分类讨论，注意函数有界性的运用4在本节的学习过程中，要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用5在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型【例1】化简下列各式：（1）3（）01810.2510；（2）（12）思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式如，都不是最简形式我们经常要用到下列公式：ab（）（）；a2b（）2；ab（）（）答案：（1）原式0.3131（31）100.330；（2）原式a【例2】设yla3x1，y2（a0，a1），确定x为何值时有（1）y1y2；（2）y1y2思路：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式答案：（1）由题意得a3x1，则3x1x2x4，解得x3或x1（2）当a1时，a3x1，则3x1x2x4，解得1x3；当0a1时，a3x1，则3x1x2x4，解得x1或x3【例3】比较下列各数的大小：；思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，；显然，以0、1为界将五个数分成三类：1，0，三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y在实数集上递减，所以答案：点评：比较幂的大小是典型的一类问题解决这类问题一般用如下思路：（1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y轴的右侧“右侧底大图高”；在y轴的左侧“左侧底大图低”（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.80.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.70.50.7，因此0.40.80.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的新题解答【例1】对于函数y，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间解析：函数y可以看成是由函数ux22x1与函数y“复合”而成（1）由ux22x1（x1）22，当xR时，u2，此时函数y总有意义，定义域为R；又由u2，09，原函数的值域为（0，9（2）函数ux22x1在1，）上递增，对于任意的1x1x2都有u1u2，即y1y2函数y在1，上递减同理可得函数y在（，1）上递增点评：形如y（a0，a1）的函数有如下性质：（1）定义域与函数定义域相同；（2）先确定函数uf（x）的值域，然后以u的值域作为函数y（a0，a1）的定义域求得函数y（a0，a1）的值域；（3）函数y（a0，a1）的单调性，可以由函数uf（x）与y（a0，a1）按照“同增异减”的原则来确定从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用【例2】求下列函数的定义域，值域：（1）y；（2）y；（3）y；（4）y21解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法（1）要使函数有意义，则x10，x1函数定义域为x|x1；x1，0，1，函数值域为y|y0，且y1（2）2x10，函数定义域为x|x；2x10，0，y1函数值域为y|y1（3）函数定义域为R；2xx2（x1）211，y函数值域为y|y（4）函数定义域为R；令t，则t0，yt22t1（t1）22，其对称轴为t1t0，函数y（t1）22单调递增，y（t1）22121函数值域为y|y1点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A，再由函数的定义域A求内函数的值域B，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数yt22t1和函数t3x复合而成，先求得原函数的定义域为R，再由xR得t0（即得到内函数的值域B），然后由t0得到函数值域为y|y1若（4）中的x1，你还能求出它的值域吗？【例3】若函数y为奇函数，（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性解析：先将函数化简为y（1）由奇函数的定义，可得f（x）f（x）0，即0，2a0，a（2）y，10函数y定义域为x|x0（3）法一：（逐步求解法）x0，1110，011或10，即函数的值域y|y或y法二：（利用有界性）由y，可得0，0可得y或y，即函数的值域y|y或y（4）当x0时，设0x1x2，则y1y20x1x2，10，10，10y1y20，因此y在（0，）上递增同样可以得出y在（，0）上递减点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法当x0时，为增函数，1为增函数，递减，一为增函数，y在（0，）上递增一般地，函数yf（u）和函数ug（x），设函数yfg（x）的定义域为集合A，如果在A或A的某个子区间上函数yf（u）（称外函数）与ug（x）（称内函数）单调性相同，则复合函数yfg（x）在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数yfg（x）在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：若函数yf（x）递增（减），则yf（x）递减（增）；若函数yf（x）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y递减（增）；若函数yf（x）递增（减），则yf（x）k递增（减）【例4】已知函数yx（）（1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0解析：（1）定义域为x|x0（2）f（x）f（x）x（1）x（1）0，f（x）f（x）f（x）是偶函数（3）当x0时，1，10x（）x0，即当x0时，y0；当x0时，100111x（）x0，即当x0时，y0综上，f（x）在定义域上恒大于0点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f（x）f（x）0，则f（x）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，），这里运用分类讨论来逐步求解【例5】如果函数y（a0且a1）在1，1上有最大值14，试求a的值解析：设t，则原函数可化为y（t1）22，对称轴为t1（1）若a1，x1，1，1tat在1，1上递增，y（t1）22当t，a时也递增，原函数在1，1上递增故当x1时，ymaxa22a1由a22a114，解得a3或a5（舍，a1）（2）若1a0，可得当x1时，ymaxa22a1114，解得a或a（舍）综上，a或3点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论【例6】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间h后的温度T将满足TTa（T0Ta），其中Ta是环境温度，使上式成立所需要的时间h称为半衰期在这样的情况下，t时间后的温度T将满足TTa（T0Ta）现有一杯F用热水冲的速溶咖啡，放置在F的房间中，如果咖啡降温到F需20分钟，问欲降到F需多少时间？解析：由题意，温度T是时间t的指数函数型关系，即T（T0Ta）Ta，将有关数据代入，得T75（19575）75120再将t20，T105代入得10575120，解得h10T75120，欲使T95，代入上式解得t26（分）点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题变式练习1等式成立的充要条件是（）Ax2Bx2或x2Cx2Dx2解析：若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C答案：C2若7，6，则等于（）A BCD解析：要熟练逆用幂的运算公式，选D答案：D3若，则a的范围是（）Aa1B0a1Ca Da解析：利用函数的单调性，选B答案：B4若，则x的范围是（）A0x1 Bx1Cx1Dx0解析：在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题选D答案：D5下列函数是指数函数的是（）AyByCyDy解析：符合指数函数定义的是D，y答案：D6下列函数值域是（0，）的是（）AyByCy Dy解析：利用求值域的逐步求解法，选A答案：A7若a，b，则（a1）2（b1）2的值是（）A1BC； D答案：D8若函数ym1的图象在第一，三，四象限，则（）Aa1且m1Bal且m0C0a1且m0 D0a1且m1答案：B9一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个每天分裂一次现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）A5 B9C6D8解析：每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B答案：B10若0a1，b2，则函数yb的图象一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：A11函数y与yaxa的图象大致是下图中的（）答案：D12在下列等式中，函数f（x）不满足的是（）Af（x1）2f（x） Bf（xy）f（x）f（y）Cf（xy）f（x）f（y） Df（x）答案：B13若a2x8，则_解析：将分子分解因式，然后代入可得值为答案：14化简（3）_答案：15若函数y（a23a3）ax是指数函数，则a的值是_答案：216函数f（x）的定义域为1，4，则函数f（）的定义域为_答案：2，017若f（x），f1（）则_解析：利用函数与它的反函数的定义域与值域之间的关系来解题答案：218若函数yb的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数yb的值域是_解析：由a2，b1求得y1答案：（1，）19（1）函数y（以a0且a1），当x1，3时有最小值为8，则a的值为_；（2）函数y（a1）的定义域_，单调增区间_，值域_答案：（1）16（2）x|x2，或x0（2，）y|y120（1）已知0a1，则方程a|x|x|的实根个数为_（2）关于x的方程有正根，则a的取值范围是_解析：利用图象解题答案：（1）2个（2）（，0）21解下列关于x的方程：（1）81；（2）310解析：（1）把方程两边都化成同底数指数幂的形式；（2）用换元法令t，则方程可化为4t23t10，先解出t再去解x，但要注意t0所以x2答案：（1）2；（2）222设f（x）是定义域为xR且x0上的奇函数，则当x0时，f（x）（1）写出x0时f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）解析：（1）x0时，f（x）x；（2）x0时，由f（x）一，解得0x2；x0时，由f（x）x一，解得x2答案：（1）x；（2）0x2；（3）x223已知函数f（x）（a1）。（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求出函数的值域；（3）证明函数f（x）是（，）上的增函数答案：（1）奇函数；（2）f（x）1，逐步求解得值域（1，1）；（3）用增函数定义证明，过程略24已知函数f（x），g（x），（1）证明：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）5f（2）g（2），f（9）5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明解析：（1）函数f（x）的定义域为（，0）（0，）关于原点对称，由奇函数的定义可得f（x）f（x），f（x）是奇函数当x0时，设0x1x2，f（x1）f（x2）（）（1）0，f（x）在（0，）上递增f（x）是奇函数，f（x）在（，0）上也递增（2）计算得f（4）5f（2）g（2）0，f（9）5f（3）g（3）0由此可以概括出对所有不为零的实数x都有f（x2）5f（x）g（x）0（证明略）答案：（1）略；（2）f（x2）5f（x）f（x）0，证明略规律总结1对指数幂的运算规律是：由括号的要先算括号内的，没有括号的按照先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；负指数幂要先化为正指数幂的倒数；底数如果是负数，要先定符号，底数是小数要先化成分数，底数是带分数，要化成假分数；根式尽可能化成分数指数幂，便于指数幂运算性质的运用2求由指数函数和其他的函数构成的复合函数的定义域、值域、单调区间时，要注意换元法的使用3判断复合函数单调性时，要注意前面我们总结过的结论的运用相关链接指数拟合实例现实世界中事物的运动和变化与它周围事物的变化是紧密相连的，因而反映事物运动的量之间也必然存在着一定的关系比如在物理中，当速度一定时，物体运动的位移和时间满足。svt但是，有时我们并不知道两个变量之间的函数关系式，通常是通过实验或统计得到一批数据，然后再进行处理，找出其中蕴含的相互关系函数拟合就是研究变量之间关系，并给出近似数学表达式的一种方法根据拟合的模型，我们还可以对某些变量进行预测和控制指数函数是用来进行数据拟合的常用非线性函数模型之一【例题】据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底地球上人口达到60亿请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪一年世界人口将达到100亿？到2100年地球上将会有多少人口？解析