解题反思---提升思维能力的重要途径.doc

解题反思- 提升思维能力的重要途径 夏 志 辉 摘要：解题教学是高中数学教学的主要部分，在教学中，注重解题反思，可以提高学生的思维能力。从四个方面入手谈提高思维能力的途径：反思解题中题目间的联系；反思解题的完善性；反思解题方法的多样性；反思解题中错误的根源.阐述了教师如何引导学生进行解题反思，以提高学生的思维能力.关键词：解题教学；解题反思；思维能力在数学教学中，我们常遇到这样的情况：“这种题型讲过次，可考试时学生还是错了！”究其原因，主要是因为学生为解题而解题，只重视解题的结果和数量，而不重视解题后的反思，更不重视思维能力的培养.通过反思，学生对解题的科学性，正确性，深层性有了更深的认识,既能牢固掌握知识，也能提高自己的解题能力.下面笔者结合平时的教学实践，谈谈如何引导学生解题后进行反思，如何反思，以帮助学生养成良好的解题习惯，提高思维能力.一、反思题目间的联系，培养学生思维的独创性教师在解题教学时，要善于引导学生反思与题目有关联的一系列相关问题，按思维的进程让学生进行联想，使不同学生都能发现探索不同层次的问题，从而激发全体学生的学习兴趣，真正体现以学生发展为本的教学原则和大众数学课程的理念例1 设是圆上的任意一点，求的最大值反思1 与斜率公式结构相似，马上联想到可看成圆上的点与点连线的斜率，从而转化为求直线的斜率的最大值，由数形结合可知，当直线与圆相切时，斜率最大（另一条切线的斜率不存在），易求得切线的斜率为，所以反思2 联想函数与方程，由得，这是一条的直线方程，根据题意，此直线与圆有公共点，因此有解，消去得，由得，即反思3 联想平面几何知识，直线与圆有公共点，故圆心（0，0）到直线的距离，从而得出，即反思4 联想圆的参数方程，由于点在圆上，所以可令，则，即，所以利用正弦函数的有界性，得出，即实践证明，每一次解题教学，都是一次师生探索发现的过程反思，不仅仅能使学生体会到成功的喜悦之情，还可以帮助学生把各种知识各种方法联系起来，形成解决问题的信息网络和最佳方案通过反思，学生能在更大程度上完善自己的思维品质，提升自己的综合解题素质，同时将所学知识进一步“内化”，使自己有一个长足的进步二、反思解题的完善性，培养学生思维的深刻性有的学生解完题后，没有进行题后反思的习惯，不静下心反思解题的方法、过程、变式，更没有反思解题过程是否完善或者存在某个因素是否考虑，导致解题的遗漏或错误等诸如此类的问题，这种只重结果和数量的低效解题是学生中一种严重的弊端，值得每一个数学教师重视.相反，如果我们能够在解题后对解题的过程是否完善进行反思，不但可以减少错误，更能有效的培养学生思维的深刻性.例2 设集合, ,若A,求实数的取值范围.解： 且A B又 解得：所以，的取值范围是:2,3.由A，有B，在进行运算时，只考虑了,而忽略的情况，因此解题的过程并不完善，导致结果错误，必须补上B=时，得,得到的取值范围是.由此可见，如果解题后不进行反思，很容易因为忽视某些因素导致解题的不完整或错误，因此，我们必须从平时的每一节课、每道习题开始养成解题后反思的习惯，及时发现遗漏，弥补遗漏，完善过程，最大限度减少错误，避免错误，从而更深刻、更准确、更全面对概念、定理、公理进行理解，这对培养学生思维的深刻性也大有裨益.三、 反思解题方法的多样性，培养学生思维的广阔性引导学生从不同的角度、不同的方位进行反思，或从方法技巧反思，可以获得解决问题的不同方法在解题过程中，学生的解题方法有时是教师始料不及的，教师要善于了解学生的思维动态，鼓励学生进行反思，以唤醒其解题的灵感，抓住关键，及时点拨，指明方向，促使思维的连锁反应从而达到总结规律，寻求最优的快速灵活的解题习惯例3 方程至少有一个负实根的充要条件是 .解法1 由二次方程根的分布知识和二次函数图像性质求解，应分类讨论（此处过程略）反思1 此题正面求解较繁，可运用补集思想，从反面求解解法2 方程无实根等价于：， 方程有两个正根等价于，综合得方程无负根等价于，运用补集思想可得方程至少有一负根等价于反思2 用参变分离思想，有解法3 原方程变形为：，因为，故当时，此时可得解数学题，可以从不同的角度去思考.不同的策略、角度得到不同的解题方法，不同的解题方法又有助于拓宽解题思路，提高学生分析问题的能力，促进学生思维的灵活性.反之，如果仅限于满足结果，没有联想、类比、变式，久而久之解题的思路将会变得越来越狭窄，思维的创造性也会因此渐渐消失.因此在解题中不能满足于某种解法，而是引导学生从各个不同视角去分析，留给学生更广阔的探求空间，使学生的思维在百花丛中绽放. 四、反思解题中错误的根源，培养思维的批判性解数学题，出现错误在所难免，出现错误的因素多种多样，有的因为审题不清，有的因为概念模糊，有的因为解题策略有误，有的因为运算量大、计算马虎等，解题出现错误并不可怕，关键是要重视错误，反思错误，找出错误的地方，是由于什么原因导致的，如何改正，给学生一个对基础知识重新理解的机会，使学生在纠错的过程牢牢掌握基础知识，在反思中不断得到提高.例4 已知圆的方程和某一定点P（1，1），要使过点P所作圆的切线有两条，求k的取值范围.解：圆的方程可变为: 圆心坐标为(-1,-) ,半径r= 过P点要作圆的两条切线， P 点在圆外 ，即 得到： 又 对 恒成立,所以，的取值范围是.反思本例的解题错误，是由于对圆的一般方程这一概念不够清楚，因为方程表示的曲线不一定是圆，也可能是一个点或没有图形，只有化成标准形式：，且时，此方程才表示圆，此题正是由于忽视这个条件导致错误， 因此，必须同时满足 解得：所以，的取值范围是通过对此错解题的反思，可以帮助我们及时发现解题过程出现的错误，剖析错误的原因，并及时地加以纠正，这样，既加深对基本概念的理解，又为以后正确、灵活应用奠定坚实的基础，更重要的是通过这种反思可极大培养学