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文档简介

一 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 第二节微积分基本定理 积分的基本原理 微积分基本定理 由艾萨克 牛顿和戈特弗里德 威廉 莱布尼茨在十七世纪分别独自确立 微积分基本定理将微分和积分联系在一起 这样 通过找出一个函数的原函数 就可以方便地计算它在一个区间上的积分 积分和导数已成为高等数学中最基本的工具 并在自然科学和工程学中得到广泛运用 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德 黎曼给出 参见条目黎曼积分 黎曼的定义运用了极限的概念 把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限 从十九世纪起 更高级的积分定义逐渐出现 有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分 比如说 路径积分是多元函数的积分 积分的区间不再是一条线段 区间 a b 而是一条平面上或空间中的曲线段 在面积积分中 曲线被三维空间中的一个曲面代替 对微分形式的积分是微分几何中的基本概念 对积分概念的推广来自于物理学的需要 并体现在许多重要的物理定律中 尤其是电动力学 现代的积分概念基于抽象代数学 主要是由昂利 勒贝格建立的勒贝格积分 设 记作 一 积分上限函数及其导数 1 定义 即 2 定理1 且 证 因为 若 思路 根据导数的定义 求增量 算比值 取极限 积分中值定理 显然 又 注 定理说明了 若 就是在上的一个原函数 由此 证 3 定理1 3 2 例1 解 例2 解 解 例3 例4 解 证 例6 证 证 是单调增加的 又 证 证 二 牛顿 莱布尼茨 Newton leibniz 公式 1定理2 所以Newton Leibniz公式也称微积分基本公式 解 解 解 注 公式又可记为 例5设 求 解 例6求 解 由图形
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