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大学物理 第五章刚体力学基础 1 刚体 在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体 刚体是一种理想模型 刚体上任两点间的距离始终保持不变 5 1 1 刚体平动与转动 2 刚体的平动 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行 这种运动称为刚体的平动 平动的刚体可当作质点 质点力学的规律适用 注意 刚体平动时 运动轨迹不一定是直线 特征 各个质点的位移 速度 加速度相等 3 刚体的转动 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动 4 刚体的一般运动 刚体的一般运动可看成是平动和转动的叠加 定轴转动 转轴在空间的位置固定不动 1 各点的角位移 角速度 角加速度相同 2 各点的线位移 线速度 线加速度不同 特征 5 1 2 刚体定轴转动的角量描述 平均角速度 角速度 矢量 角加速度 矢量 角位移 规定ox轴逆时针转动为正方向 反之为负方向 角位置 刚体定轴转动的运动学方程 定轴转动只有两个转动方向 刚体作匀变速转动时 相应公式如下 角量与线量的关系 线速度与角速度之间的矢量关系为 由于在定轴转动中轴的位置不变 故只有沿轴的正负两个方向 可以用代数值代替 例题5 1一半径为R 0 1m的砂轮作定轴转动 其角位置随时间t的变化关系为 2 4t3 rad 式中t以秒计 试求 1 在t 2s时 砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小 2 当角 为多大时 该质点的加速度与半径成45o 解 1 2 舍去t 0和t 0 55 此时砂轮的角度 例题5 2一飞轮从静止开始加速 在6s内其角速度均匀地增加到200rad min 然后以这个速度匀速旋转一段时间 再予以制动 其角速度均匀减小 又过了5s后 飞轮停止了转动 若飞轮总共转了100转 求共运转了多少时间 解 整个过程分为三个阶段 加速阶段 匀速阶段 制动阶段 解 1 棒做变加速运动 例题5 3一细棒绕O点自由转动 并知 L为棒长 求 1 棒自水平静止开始运动 3时 角速度 2 此时端点A和中点B的线速度为多大 平动动能 转动动能 5 2 1 刚体的动能 定义 刚体对转轴的转动惯量 SI单位 kg m2 即 注意 转动动能实质与平动动能相同 表达式不同 2 转动惯量的计算 若质量离散分布 质点 质点系 若质量连续分布 其中 1 定义 刚体对转轴的转动惯量 5 2 2 转动惯量的计算 描述刚体转动惯性大小的物理量 SI单位 kg m 例题5 4求质量为m 半径为R的均匀圆环对中心轴的转动惯量 解 设质量线密度为 例题5 5求质量为m 半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量 取半径为r宽为dr的薄圆环 解 设质量面密度为 质点作圆周运动 圆筒 圆柱 滑轮等 例题5 6求长为L 质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量 解 1 取A点为坐标原点 在距A点为x处取dm dx 2 取C点为坐标原点 在距C点为x处取dm 2 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同 凡提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的 刚体的转动惯量是由刚体的总质量 质量分布 转轴的位置三个因素共同决定 3 平行轴定理 若有任一轴与过质心的轴平行 且两轴相距为d 刚体对该轴的转动惯量为J 则有 例均匀圆盘对O轴的转动惯量 5 2 3 对转轴的力矩 1 F在转动平面内 大小 Mz Frsin Fd d rsin称为力F对转轴的力臂 Mz的方向平行于转轴 由右手螺旋定则确定 2 F不在转轴平面内把F分解为三个分量Fz Fr Ft Fr的力矩为零 Fz的力矩不为零 但不影响刚体的定轴转动 Ft的力矩沿轴向 它对角动量有贡献 3 多个力作用于刚体各外力作用点各不相同 外力对转轴的合力矩 可证 刚体中内力对给定轴的力矩的矢量和为零 只需考虑外力矩的作用 合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和 5 2 4 定轴转动定律 由牛顿第二定律得 其切向分量和法向分量方程分别为 由于法向力的作用线穿过转轴 其力矩为零 故只讨论切向方程 令 则有 上式便可写成 刚体的定轴转动定律 它表明 刚体绕定轴转动时 刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积 等于作用于刚体上所有外力对该轴力矩的代数和 1 转动定律适用条件 刚体定轴转动 2 M一定 作用不同刚体上 J大时 小 转速不宜改变 转动惯性大 反之 J小 转动惯性小 转动惯量是物体转动惯性大小的量度 3 刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律 应用时应注意以下问题 当系统中既有转动物体 又有平动物体时 用隔离法解题 对转动物体应用转动定律建立方程 对平动物体则用牛顿第二定律建立方程 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言 选定转轴的正方向 以确定力矩或角加速度 角速度的正负 类比 的薄圆盘 的定滑轮 视为半径为 例题5 7 一轻绳跨过一质量为 两物体 且 和 绳两端挂质量为 绳与滑轮无相对滑动 滑轮轴间摩擦阻力矩为 求物体的加速度和绳中的张力 解 由牛顿第二定律和转动定律得 4 5 联立 1 2 3 4 5 式可解得 例题5 8质量为m1 半径为R的定滑轮可绕轴自由转动 一质量为m2的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上 求 物体m2的下落加速度a和滑轮转动的角加速度 联合解得 关联方程 解对m1分析力矩 取滑轮转动方向为正方向 对m2分析受力 取向下为正方向 由转动定律 由牛顿运动定律 例题5 9一刚体由长为l 质量为m的均匀细棒和质量为m的小球组成 且可绕O轴在竖直平面内转动 且轴处无摩擦 求 1 刚体绕轴O的转动惯量 2 若棒自水平静止开始运动到棒与竖直方向成 角时 小球的角速度和法向加速度 2 取逆时针转动为正方向 棒与竖直方向成 角时 合外力矩 解1 分离变量积分得 小球的法向加速度 由转动定律 解选取斜面为参考系 规定滑轮的转动方向为转动正向 沿斜面向上为重物运动的正方向 隔离物体分析受力 对重物应用牛顿第二定律 得 对滑轮应用转动定律 得 关联方程为 例题5 10一恒力矩M作用于斜面顶点的滑轮上 滑轮的半径为r 质量为m1 质量为m2的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的边缘 重物沿倾角为 的斜面上升 重物与斜面间的摩擦系数为 求 轮子由静止开始转过角后获得多大的角速度 联立得 由于为常量 故滑轮作匀变速转动 则 一般刚体动能 5 2 5 力矩的功和功率 力矩功的表达式 由功的定义式 如果有几个外力矩对刚体做功 则各外力矩做功之和为 M为刚体所受合外力矩 根据质点力学中功率的定义 力矩的功率可表示为 5 2 6 刚体定轴转动的动能定理 由力矩的元功表达式得 定轴转动的动能定理积分形式 合外力矩的功等于刚体转动动能的增量 定轴转动的动能定理微分形式 例题补充冲床的飞轮m 600kg 飞轮半径r 0 4m 正常速度为n1 240r min 冲一次孔转速减低20 求冲一次孔冲头做的功 解 冲孔前后的角速度分别表示为 1和 2 孔铁板阻力对冲头做功 故冲头做功 刚体质量全部集中于质心时 相对于零势点所具有的势能 5 2 7 刚体的重力势能 刚体的重力势能 hc是刚体质心相对重力势能参考点的高度 重力矩所做的功等于重力势能增量的负值 5 2 8 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律 则有 刚体定轴转动功能原理的积分形式 统称为刚体的机械能 刚体定轴转动功能原理的微分形式 如果在刚体定轴转动的过程中 除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零 则 下摆 求 例题5 11一长为l质量为m 的匀质细棒 如图所示 可绕图中 水平轴o在竖直面内旋转 若轴间光滑 今使棒从水平位置自由 解 1 由定轴转动定律可得 在水平位置 在竖直位置 竖直位置棒的角速度为 物体的质量为m 物体与斜面间光滑 物 斜面的倾角为 弹簧的劲度系数为k 解 选取定轴转动的滑轮 弹簧 物体和地球为系统 这时重力 弹性力均为系统内保守力 而其它外力和非保守内力均不做功 故系统的机械能守恒 联立求得 5 3 1 刚体对定轴的角动量 当刚体作定轴转动时 刚体上各质元某一瞬时均以相同的角速度w绕该轴作圆周运动 设刚体上某一质元 mi距轴的距离为ri 则其对该轴的角动量 其矢量式为 5 3 2 刚体的角动量原理 刚体定轴转动时 当转动惯量J不变时 转动定律可表示为 或 5 3 3 刚体的角动量守恒定律 当作用于刚体上的合外力矩等于零时 刚体的角动量保持不变 1 定轴转动的刚体 若J C 角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动 2 若J不为恒量时 角动量守恒即 J 恒量 这时 刚体的角速度随转动惯量的变化而变化 但乘积保持不变 当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时 刚体对此转轴的总角动量保持不变 3 角动量守恒定律中的都是相对于同一转轴的 4 守恒条件 例 例题5 13如图所示 一质量为m的子弹以水平速度v0射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端 子弹穿出后其速度损失了3 4 求子弹穿出后棒的角速度 已知棒的长度为l 质量为M 解 取细棒和子弹为系统 在碰撞过程中 系统受到的外力 重力和轴的作用力 它们对转轴的力矩为零 所以系统的角动量守恒 即 例题5 14如图所示 一长为2l 质量为M的均匀细棒 可绕中点的水平轴o在竖直面内转动 开始时棒静止在水平位置 一质量为m的小球以速度v0垂直下落在棒的端点 设小球与棒作弹性碰撞 求碰撞后小球的回跳速度v及棒转动的角速度 各为多少 解 以小球和棒组成的系统为研究对象 取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力 则系统对轴o的角动量守恒 取垂直纸面向里为角动量L正向 根据弹性碰撞 机械能守恒 有 联立可解得 例题5 15一质量为M半径为R的水平转台 可看作匀质圆盘 可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动 一个质量为m的人站在转台边缘 人和转台最初相对地面静止 求当人在转台上边缘走一周时 人和转台相对地面各转过的角度是多少 解 如图 对盘和人组成的系统 当人走动时系统所受到的对转轴的合外力矩为零