2013年广州市中考数学第23题分析与思考.doc

2013年广州市中考数学第23题分析与思考 数学科 姚瑶 2013年广州市中考结束后，我有幸参加中考阅卷工作，我所阅卷的题目是第23题，是一道函数与几何结合的综合题，学生在考完之后有些捉摸不透，不敢确定自己做的是否正确。从6月24日到28日经过五天的阅卷（整个广州市今年一共约有11.4万考生参加中考），我感触颇深。下面我就从原题呈现、本题考查的主要功能、平均分及难度系数统计、学生答题总体情况、典型错误及原因分析、今后教学建议等这几个方面来谈一谈。一、原题呈现： 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2,2），反比例函数的图象经过线段BC的中点D.（1）求的值；（2）若点在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作轴于点，作所在直线于点，记四边形的面积为S，求S关于的解析式并写出的取值范围. 解答：（1）正方形的边、分别在轴、轴上， 点的坐标为， ， 是的中点， ， 反比例函数的图象经过点， .（2）当在直线的上方时，即，如图1， 点在该反比例函数的图象上运动， ， ；当在直线的下方时，即，如图2，点在该反比例函数的图象上运动，.综上所述：当0x1时，S=2x2 二、本题考查的主要功能：本题主要考查平面直角坐标系、矩形的性质、反比例函数的图像与性质、函数的概念和性质等基础知识；考查用待定系数法求函数解析式，用分类讨论思想方法解决动点问题，考查合理推理能力和计算能力；涉及的基本思想方法有待定系数法、分类讨论思想.三、本题平均分、难度系数统计：（以广州市考生总人数113215人作统计）题号满分值平均分难度系数23124.40.37四、学生答题情况：1.答题的总体情况本题各分数段及百分比情况如下图表所示（1）分数分布曲线百分比: （2）分数分布表：（广州市区的人数为65036人，广州市的总人数为113215人，其中包括了番禺、增城、花都、从化在内）:得分0分1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分11分12分广州市区1966010375301585533202421163055982180894176231447005百分比30.23%1.59%0.81%24.38%5.10%3.72%2.51%8.61%3.35%1.37%2.71%4.83%10.77%广州市342431962934273775806410830129490386816223072561712104百分比30.25%1.73%0.82%24.18%5.13%3.63%2.66%8.38%3.42%1.43%2.71%4.96%10.69%学生答题较好的地方是:在第(1)问，大部分学生能准确求出D的坐标，然后用待定系数法求出k的值；在第(2)问中，部分学生数学思维很强，对动点问题很敏感，能用分类讨论的方法快速解题；较多学生能准确作图，发现有多种情况存在，再用分类讨论的思想方法解题；学生对矩形的面积公式很熟悉，绝大部分学生都能直接利用矩形面积公式求解，还有部分学生用割补法来求矩形的面积.薄弱的地方是:对函数的概念理解不透，不能很好地理解题意并用函数的思想方法解题；对动点问题有畏惧的心理，不知何处是分界点，不能很好地用分类讨论的思想分析解决问题，出现分类不完整或错误；不会准确表示出未知点的坐标或设元用未知量表示线段的长度，数量之间的关系不会灵活转化.2.出现的主要新增解法(1)第23题（1）问没有新增解法(2)第23题（2）问新增解法：解法：割补法当0x1时，如图4，过点P作PEx轴交CB于点Q，交x轴于点E，过点P作PRy轴于点R点P坐标为（x，y），且由（1）题知，点P在函数的图象上，CQ=OE=x ， OC=2，.综上所述：当0x1时，S=2x2 3.答题中出现的主要错误，以及暴露教学中存在的问题：没有掌握函数的性质：函数图象经过某点，则该点的坐标满足该函数解析式如较多学生直接把点B的坐标(2,2)代入函数解析式求的值；在第(2)问中，没有用分类讨论的思想解题，或是分类不完整如x的取值范围只认为是而没有考虑的情况，或是没有排除，或者一开始就认为，或是分类出错，或是对也进行了讨论，不知道哪些属于同一类，弄不清楚分类的依据是什么；审题不认真，比如：题目已经设了点的坐标，学生在答题时另外再设点的坐标为；题目中给出了“”和“点P不与点D重合”这些条件，而学生却在讨论时包含了和这些情况；较多学生出现或，最后结果或，不会用反比例函数关系式中的替换或对点的横、纵坐标不知道对应的是哪条线段；少部分学生把矩形的面积公式写成三角形的面积公式；少部分学生计算出错，如，或不知道最后结果该写成什么形式，多此一举写成；少部分学生结果保留绝对值的形式，没有对自变量的取值范围进行分类讨论，如；有学生用特殊值法求函数的解析式，比如：在和范围内分别取两个特殊点，然后直接代入这一函数关系式中求出解析式，但是都没有说明S与x之间是一次函数关系的理由4.学困生的学情分析及对策对本题来说，第（1）小题并不难，但学困生出现的情况要么是空白，要么是看到题目中点B的坐标（2，2）就直接代入函数解析式求值对学困生来说，建议今后我们的教学要继续加强对简单、基础知识和基本技能加强训练，并多强化一些知识点本质的教学比如本题中我们除了教会学困生会直接代入求值外，还要跟学生说要选正确的点代入求值，即函数图象经过该点，该点的坐标才满足函数解析式同时我们对学困生的评价也要与教学同步，这样才可以激发学困生继续学习的兴趣和积极性五、今后教学建议：1.消除学生的畏惧心理在函数章节的教学中，教师一开始尽量用通俗易懂的语言来解释函数的概念或各种名称，也可用数形结合的思想方法让学生好接受和理解函数中比较难理解的概念和名词，先让学生会用自己的思维方式去理解函数，这能消除学生在开始函数的学习时所产生的畏惧心理.2.重视对函数概念的理解在教学中，重视学生对函数的概念与性质的理解，包括函数的图象、取值范围等，会用待定系数法求函数的解析式，重视函数的每一个小知识点的清晰讲解.理解概念是一切函数教学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容,因此对于函数概念的教学时,要舍得花时间、花力气,要让学生有充分的认识和理解. 例如，对于反比例函数概念的教学，大多经历这样的过程：从一些具体实例引入（包括匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；等等）；让学生概括其中的共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义（给出反比例函数的文字和符号描述）；辨析概念（从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用）；例题（给出用概念作判断的操作步骤）；反思（与正比例函数、一次函数作比较，纳入概念系统）等。这个过程实际上体现了概念教学的几个基本环节：(1)概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）；(2)概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）；(3)概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）；(4)概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）；(5)概念的巩固和应用（以实例为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）.实际上，初中阶段所学习的几个相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程.因此在教学过程中，适时地给他们一些“先行组织者”，加以研究方法的引导，对于学生理解相关概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果.3注意函数思想的渗透注意函数思想的渗透，用函数观点统领相关内容.函数描写运动，刻画一个变量随着另一个变量的变化.变化与对应是函数思想的核心内容，而变量思想是函数思想的基础.在数学思维的发展过程中，由“常量”到“变量”是一个质的转变，发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程.这就要求教师在教学中要挖掘知识中蕴含的函数思想，有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养，潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法.在进行函数内容教学时，要适时明确函数思想.在进行一般函数概念教学时，要把函数思想明确给学生，结合生活中函数关系的实例，使学生对函数中变化、对应的思想有初步理解，这是理性认识的开始.在进行具体初等函数教学时，要进一步充实函数思想的理论内容.这时，一方面要继续结合具体函数概念的建立让学生体会函数的变化对应的思想；另一方面要结合函数性质、函数图象的教学，进一步提炼和介绍函数思想方法.在数学教学中，应该坚持重视数学本质、数学思想方法的教学，这实际上是培养学生良好的数学修养，是真正的有效教学.4. 精选例题讲解透彻教师必须具备丰富的题目经验，并能灵活从头脑中提取出,选准针对性很强的题讲解，立足一个“透”字，一是要讲透；二是要展开；三是要跟上足够量的跟踪练习题； 四要以题代知识,对学生要进行有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习.要切忌就题讲题，这样很可能障碍学生的思路的发展,要尽可能的讲一些相类似的题型和题目,拓宽学生的思路，活跃思维,同时培养学生他们举一反三的能力.教师平时在自拟考试试题要遵循中考试题的难度系数、难度比例，要弄清楚中考试题的趋向性、某部分知识要求掌握的程度、各种知识所占的比例等,多考查学生从数学的角度读懂问题、理解问题，加强综合题目、新颖题目的训练，让学生能在不同的背景下以及多个知识点结合的情况下灵活解题，提高学生解决问题的综合能力,以考促学.5.让学生养成规范的书写习惯近几年的中考试题逐渐偏向浅易，平时的训练题远远超过中考