实验1-华工电信数学实验-大二下.docx

实验名称：斐波那契数列专业：电子科学与技术 班级：姓名：序号：36提交日期：2011年4月16日一、 实验目的与要求1 认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；2 了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；3 掌握matlab软件中plot, polyfit等函数的基本用法；4 提高对数据进行分析与处理的能力。二、 问题描述1 讨论数列的变化规律。（1）在平面坐标系中画出数列变化的折线图；（2）观察图形，你认为数列的极限是什么；（3）观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；2 讨论调和级数的 变化规律。（1）画出部分和数列 变化的折线图，观察变化规律；（2）引入数列： ，作图观察其变化，猜测是否有极限；（3）引入数列： ，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合；（4）调和级数的部分和数列的变化规律是什么？三、 问题解决第一题：讨论数列的变化规律。（1）在平面坐标系中画出数列变化的折线图；（2）观察图形，你认为数列的极限是什么；（3）观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；解:（1）为了研究题设数列的变化规律，我们分别取此数列的前50项、前100项、前200项和前500项来观察。利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）显示数组fn。具体的代码如下：fn=1,2; %将数列的第一项第二项放到数组fn上for i=3:n %fn的第三项到第n项fn=fn,fn(i-1)+1/fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来n=50n=100n=200n=500综上：从图像看来，该数列是递增数列。（2）从图像看来，随着n的增大，数列趋向于无穷大。即极限为无穷大。（3）经过上一步的观察，觉得这些数据应该是幂函数的形式。为了进一步验证这个结论是否正确，可以利用幂函数取对数后，将lnx作为x轴，如果这些数据确实是幂函数的形式，则经过变化后应该是一个线性关系，即一阶多项式，从图形上看应该象一条直线。因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）数组fn取对数；（3）显示数组fn。具体的代码如下：fn=1; %将数列的第一项放到数组fn上for i=2:n %fn的第2项到第n项 fn=fn,fn(i-1)+1/fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束fn=log(fn); %将原来的数据取对数x=1:n;x=log(x);plot(x,fn) %将装有数列前n项的数组显示出来 经观察，觉得它确实象一条直线。可以改变参数n的值，反复观察。n=50n=100n=200n=500经过以上第一步的观察，确定数列的数据是幂函数的关系，第二步验证了第一步得到的结论，因此我们认为数列的数据关系就是幂函数，乘方后就是线性函数，即一阶多项式。利用Matlab软件的数据拟合功能，通过取对数后的数据，用一阶多项式拟合出它的函数关系式，可以得到数列通项公式的一个近似表达式。具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）数组fn取对数；（3）用一阶多项式拟合数组fn。具体的代码如下：fn=1; %将数列的第一项放到数组fn上for i=2:n %fn的第2项到第n项 fn=fn,fn(i-1)+1/fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束fn=log(fn); %将原来的数据取对数xn=1:n;xn=log(xn);polyfit(xn,fn,1) %拟合装有数列前n项的数组为了提高精度，可以加大n的值。取n10000时得到结果：0.4994,0.3518从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：fn1.422n0.4994经过第三步的拟合，得到了题设数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。具体的实现流程为：（1）定义数组fn1,fn2；（2）显示数组fn1,fn2。具体的代码如下：fn1=; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,1.424*i0.4991; %将第i项添加到数组fn1中 endfn2=1; %将数列的第一项放到数组fn2上for i=2:n %fn2的第2项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-1)+1/fn2(i-1); %将第i项添加到数组fn2中end %循环结束x=1:n; %定义横坐标plot(x,fn1,x,fn2,r*) %显示, fn1:兰线，fn2：红星n=50n=100从图上可以看出可以用函数y=1.424n0.4991近似拟合。第二题:讨论调和级数的 变化规律。（1）画出部分和数列 变化的折线图，观察变化规律；（2）引入数列： ，作图观察其变化，猜测是否有极限；（3）引入数列： ，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合； （4）调和级数的部分和数列的变化规律是什么？解：（1）为了研究 数列的变化规律，我们取此数列的前50项、前100项、前200项和前500项来观察。利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的代码如下：S=; %装拟合数据的数组S(1)=1; %将数列的第一项放到数组S上for n=2:n, %S的第二项到第n项S=S,S(n-1)+1/n; %将第i项添加到数组fn中end %循环结束x=1:n; % x的范围plot(x,S,x,S,r*) %将装有数列前n项的数组显示出来得到图像：n=50n=100n=200n=500观察得到部分和数列开始增长极快，随后上升趋势慢慢减缓，增长越来越慢。依照图猜测其极限为正无穷。（2）同上我们取此数列的前50项、前100项、前200项和前500项来观察。利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的代码如下：Hn=1/2,7/12;for i=3:nHn=Hn,Hn(i-1)+1/(2*i*(2*i-1);endplot(Hn)图形如下：n=50n=100n=200n=500由上图猜测该数列有极限为0.7.（3）引入 ，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合：代码如下：Gn=1.5;for j=2:nSn=1;for i=2:2jSn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endplot(Gn)图像如下：n=10n=20观察发现，Gn的图像近似于一条直线，利用拟合代码如下：Gn=1.5;for j=2:20Sn=1;for i=2:2jSn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endx=1:20;polyfit(x,Gn,1)返回：0.6871 0.6640即： Gn=0.6871n+0.6369下面观察拟合数据与原始数据的吻合程度。经过第三步的拟合，得到了gn数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将gn数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。具体代码如下： Gn=1.5;for j=2:nSn=1;for i=2:2jSn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endfn1=;for i=1:nfn1=fn1,0.6871*i+0