跳伞安全性问题.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： j4228 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 9 月 10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：降落伞在下降过程中的安全分析摘要本文主要研究降落伞在下降过程中的安全性问题，关键在建立降落伞下降过程的数学模型，通过给定不同参数，对降落过程模型进行求解分析，确定影响下降过程的安全因素后，在安全因素限制下，确定安全下降的条件，并对安全条件进行可行性分析和评价。问题一，本文建立了分两个阶段下降的运动微分方程模型。第一个阶段，伞未打开，只考虑人受到的阻力和重力，建立了加速度逐渐减小的加速运动模型，用MATLAB对微分方程模型进行求解，得到含人体质量参数的运动方程；第二阶段，伞打开，考虑伞所受到的阻力和人的重力，建立了加速度逐渐减小的减速运动模型，求解得到含第一阶段运动的末速度、人的质量和伞面积的运动方程。问题二，在高空、中空、低空跳伞时，本文通过给定第一阶段运动时间和下降的总高度，对于不同伞面积和人的质量，得到各阶段的末速度，下降高度和运动时间，并用表格的形式对所得运动量进行记录。最后分析数据，得到在第一阶段运动时间和下降的总高度一定时，人的质量越大，第一阶段末速度越大；人的质量与伞面积的比值越大，第二阶段末速度越大。问题三，本问确定了伞绳的断裂、加速度超出人承受的极限、落地速度过大、高空稀薄空气导致人缺氧四个影响安全的因素，分别对各因素进行定量求解，得到安全下降的条件为：人的质量与伞面积的比值小于2.1，伞面积的平方与人质量的比值小于29.7，伞能承受的最大拉力的平方与伞面积平方和人的质量的乘积的比值大于20.7，人在高空跳伞时97秒后打开降落伞。问题四，在问题三确定的安全条件的基础上，本文得出了几组符合安全条件的参数，通过与现有伞绳的最大抗拉能力和现在制伞的标准对比，考虑人跳伞后开伞时间控制的合理性，得到本文提出的安全条件可行性较强，提出的安全条件合理。关键词：微分方程模型 抗拉能力 收尾速度 安全条件一、问题重述 降落伞是利用空气阻力，依靠相对于空气运动充气展开的可展式气动力减速器，是人或物从空中安全降落到地面的一种航空工具，在航空航天、军事、抢险救灾等方面有着广泛的用途。降落伞性能好坏直接关系飞行员、设备物资的安全性。所以研究降落伞性能显得很有必要。结合实际我们考虑到飞行员在空中滞留时间不宜过长，否则会对后续工作有影响，同时考虑使飞行员安全着陆，则要求落地速度在安全范围之内等来解决以下问题:1、若人体和伞衣之间由四根弹性绳连接，从一定高度处降落。忽略降落伞的重力，考虑人体的重力、伞的空气阻力(与受力面积成正比)，弹性绳的拉力。各参数自拟，通过受力分析，进行合理假设，建立人体竖直方向的运动模型，并得到相应的运动方程。2、通过该模型，讨论在不同参数下，对系统的运动情况进行分析。3、考虑到人员的安全性，分析该系统在何种条件下可以让人员安全降落。4、对于所提出的安全条件进行可行性分析和评价。二、问题分析结合降落伞安全下降过程提出的四个问题，和人降落过程的运动情况经验，本文从以下几个方面对其进行分析和讨论。问题一，针对人在竖直方向的运动，在降落伞未打开时，人受到重力和空气对人的阻力作用，查阅资料知道人所受阻力与人速度的平方成正比关系，则可以认为人开始做加速运动，且加速度逐渐减小；当打开降落伞时，速度较大，查阅资料知，降落伞所受阻力与其速度成正比，此时远大于人所受重力，忽略人所受阻力，则系统做减速运动，随着速度的减小，加速度逐渐减小，由此建立各阶段的运动微分方程模型，求解得出运动方程。问题二，要对系统的运动情况进行分析，则必须讨论各参数在不同取值的情况下，确定两个阶段的下降高度、运动时间和各阶段末速度，进而对运动情况进行分析。问题三，要考虑人员的安全性，必须确定影响安全的因素，我们可以从伞绳的断裂、加速度超出人承受的极限、落地速度过大、高空空气稀薄导致人缺氧这四个因素进行安全性分析，并通过这些因素得到安全降落的参数限制条件。问题四，通过第三问的安全性限制条件，我们可以求解得出符合限制条件的伞面积和伞绳抗拉强度和对开伞时间的要求，通过与现有制伞标准进行对比，分析得出我们限制条件的可行性，并对我们给出的安全条件进行合理性评价。三、符号说明: 跳伞人员的质量： 重力加速度，本文取： 空气密度，本文取: 人的空气阻力系数，本文取：人在未打开伞时受到的空气阻力： 打开伞后受到的空气阻力： 跳伞人员的迎风投影面积，本文取： 伞的完全张开时的迎风投影面积： 未打开伞的下降路程: 打开伞后的下降路程： 未打开伞时人的降落速度： 打开伞后人的降落速度： 第一阶段的极限速度： 第二阶段的收尾速度： 开伞后的阻力系数，本文取2.937： 绳的拉力： 降落伞的伞绳和中心轴的夹角： 跳伞人员能承受的最大加速度： 着陆时的安全着陆速度： 达到极限速度时运动的路程：达到收尾速度时运动的路程。四、条件假设（1） 降落伞的质量忽略不计；（2） 假设空气密度均匀，不随高度变化；（3） 忽略降落伞打开过程的时间和速度的变化；（4） 忽略第二个运动阶段人受到的阻力；（5） 假设人在水平方向不受风的干扰；（6） 假设降落伞能正常打开；（7） 降落伞和人的系统始终保持轴对称，人的重心在系统的中心。五、模型的建立与求解5.1 问题一5.1.1 人在竖直方向的运动模型由问题分析可知，人在跳伞过程中的运动过程分两个阶段：刚跳下但未打开伞时的加速阶段，刚跳下时速度快速增加，较短时间后速度基本达到稳定，然后做加速度非常小的加速运动；打开伞后的减速阶段，伞打开时速度较大，阻力较大，将很快减速，较短时间后速度基本达到稳定，然后做加速度较小的减速运动，最终将以趋近于收尾速度的速度着陆，整个过程的运动示意图如下：图一：系统下降过程示意图5.1.2 阶段一：刚跳下但未打开伞时的加速达到最大速度阶段人在跳出机舱未打开降落伞时，受到空气对人的阻力和重力作用，受力如下图所示：图二：第一阶段人的受力示意图其中人受到的阻力为： ，其中常数1由牛顿第二定律有：，其中取由运动学规律知：解得：代入数据化简得： （1） （2）取平均体重画出了第一阶段的下降高度和速度随时间变化图像：图三：第一阶段运动图像（）人一直做加速运动，加速度逐渐减小，但无法达到零，当t=20s时，加速度已非常小，此时近似是匀速运动的，速度趋近于稳定速度，当重力与空气阻力相等时可求出稳定速度：取人的平均体重为，代入数据解得5.1.3 阶段二：打开伞后的减速阶段打开降落伞后，降落伞所受阻力:其中。要使降落伞达到减速的效果，应满足：由牛顿第二定律：由运动学由MATLAB求解得：化简得： （3） （4）取参数，画出了第二阶段所下降的高度和速度随时间变化的图像：图四：第二阶段运动图像（）人一直做减速运动，加速度逐渐减小，但无法达到零，当t=10s时，加速度已非常小，此时近似是匀速运动的，速度趋近于稳定速度，当重力与空气阻力相等时可求出收尾速度：人和降落伞整体将以加速度很小的减速运动，以趋近于的速度下落，直到着地。5.2 问题二 不同参数下，系统运动状态的讨论5.2.1 参数的确定分析问题一中求解得到的运动方程，由（1）、（2）式知，要确定第一阶段的运动状态，必须确定第一阶段运动的时间和；要确定第二阶段的运动状态，由于收尾速度受受力平衡限制，由（3）、（4）知，只需确定降落伞的面积，就能确定收尾速度和第二阶段的下降高度，所以，本问以、为讨论参数，通过他们的取值讨论各阶段的运动情况。5.2.2 运动状态的讨论低空跳伞时，运动员打开伞的时间较早，则第一阶段时间较短，第一阶段的末速度较小；中空跳伞时，运动员有足够时间调整打开伞的时间，打开伞的时间接近达到速度稳定状态；高空跳伞时，为避免在高空稀薄气层中待的时间过长，则打开伞的时间较长，第一阶段将在速度达到稳定后继续下降较长时间。查阅资料可知，跳伞的高度在500-10000米之间，低空跳伞的高度大概为500米左右，人的体重为55-70千克，降落伞的面积一般在30-60平方米。由第一问中的(一)、（二）式知，当给定参数后，即可求出第一阶段下降的高度和第一阶段末的速度；同理可得到第二阶段下降的高度和最终速度基本达到稳定时的收尾速度。根据上面的定性讨论，我们取定几组具体参数值，利用MATLAB计算，给出整个过程运动参数表：（一）低空跳伞时，高度较小，伞打开时间较早，此时的参数与运动情况如下文：表一：，时的运动情况表4.864.874.874.879.469.679.689.69495.14495.13495.13477.237.7980.5873.8968.2463.404.864.874.874.879.669.679.689.69495.14495.13495.13495.134.084.454.825.19120.84110.76102.2494.934.864.874.874.879.669.679.689.69495.1495.13495.13495.133.063.343.613.89161.21147.74136.36126.60表二：，时的运动情况表41.3941.5941.7741.9325.9526.2126.4226.61658.60658.40658.22658.076.116.677.237.78105.6496.6889.0982.6041.3945.5941.7741.9325.9626.2126.4226.61658.60658.40658.23658.074.074.444.285.19159.26145.77134.37124.6041.3941.6041.7741.9325.9626.2126.4226.61658.61658.40658.23658.073.063.333.613.81212.99194.99179.77166.73（2）中空跳伞时，伞打开时间稍晚，此时的参数与运动情况如附表一、二：取，和 ， （3）高空跳伞时，伞经过很长时间才打开，此时的参数与运动情况如附表三、四：取，和 ， 5.2.3 运动情况的分析 由上面的表格中不同参数下的运动状态分析知：（1） 第一阶段运动时间大于10秒时，第一阶段的末速度基本达到稳定，接近于一个极限速度，即：。（2） 第二个阶段运动时间大于5秒时，第二阶段的末速度基本达到稳定，接近于收尾速度，即（3） 当第一个阶段运动时间给定时，人的质量越大，第一阶段末速度越大； 越大，第二阶段的末速度越大。5.3 问题三系统在何种条件下可以让人员安全降落要使人员安全降落，则需要考虑一下几个影响安全的因素：（一）绳子强度足够，在整个运动过程中不会断裂 第二个运动过程中，以绳子为研究对象进行受力分析有：得到： 由第一问知：当速度最大时，伞绳拉力最大，最大速度可认为：则： 由于伞绳较长，取定，查阅资料知，绳子承受的最大拉力为300公斤，代入数据化简得： （5）（二）人在下降过程中的最大加速度不能超过人的承受极限当打开伞的瞬间，人所受加速度最大，此时有：则 由，得：查阅资料知，人在瞬间的最大承受在速度 （6）（三）收尾速度小于安全速度当系统在第二阶段末速度基本稳定时，由第一问中人的运动分析知：查阅资料知，收尾安全速度为（四）高空跳伞时，高空空气稀薄，则开伞高度要小于由第一阶段运动状态知：取，得到 当人的质量取较大值75千克时，只要开伞时间比其晚，一定能保证安全。5.4 问题四 安全条件的进行可行性分析和评价5.4.1 限制条件计算：由问题三所得限制条件，我们可以得到如下符合安全条件的参数:当时，绳子要求的最大拉力，；当时，绳子要求的最大拉力，；当时，绳子要求的最大拉力，；当时，绳子要求的最大拉力 ，。5.4.2 可行性分析按照制作降落伞的一般标准，得到标准降落伞制作表： 表七：降落伞制作的一般标准对照表查阅资料知：一般降落伞绳承受的最大拉力为200公斤2，即将我们在安全条件限制下得到的数值与实际情况和能够承受的情况相比，一般的伞制作工艺和标准即可达到我们的安全限制要求，而人在跳伞时可以配备手表，用手表大致确定97秒的开伞时间，故我们的安全条件可行性较强，易于实现。5.4.3 安全条件评价 在我们确定的安全条件下，从人的承受能力和装备的承受的能力两方面能保证人员安全落地。从人的角度：考虑了人能承受的最大加速度条件和在高空跳伞时的避免人在空气稀薄区时间过长。从装备的角度：考虑了降落伞的面积不能太大或太小，降落伞的绳子承受拉力要在其抗拉限度范围内。本文的安全条件考虑周到，能保证人员和装备的绝对安全，且易于满足，安全条件合理。六、模型检验通过模型的求解，我们得到了系统在整个阶段的运动情况：先加速运动，然后打开伞做减速运动，直到速度接近稳定。而现实情况中跳伞的情形是，人在跳下以后，加速运动，速度迅速增大，然后打开伞，速度又迅速减小，最终以一个较稳定的收尾速度着陆。而我们的模型在运动员快着陆时，虽然是减速运动，但加速度很小，基本近似是匀速运动的，这与现实情况是很吻合的，则证明本文第一问的模型是合理的。在确定安全条件时，本文选择了四个限制因素，得到在限制条件下的伞的参数和伞绳的承受拉力，这与实际情况下制造降落伞时的伞面积和伞绳承受的拉力也是接近的，再次说明了我们的模型是合理的，具有很强的实际意义。七、模型评价7.1模型优点（1）本文的模型假设比较切合实际，在模型一中，把下降过程具体分为加速下降和减速下降过程，并且整个过程的速度和下降高度都能用具体的数学表达式准确表示。（2）模型二中，把跳伞高度分为低空、中空和高空三种，采用列表的方式具体分析了不同参数对于整个跳伞过程运动过程的影响，并对图标进行分析，结果和实际情况相符。（3）模型三中，我们从绳子强度、人能承受的最大加速度、安全着陆和高空滞留时间四个方面考虑，给出了安全着陆的具体条件，分析的比较全面，结果可行性比较好。7.2模型缺点（1）由于打开降落伞时间比较短，而且开伞时运动情况比较复杂，所以本文忽略了这个时间，但由于该过程会影响第二阶段的最大速度，进而影响本文的最大加速度和绳子的最大拉力，导致我们的结果与实际存在一定的误差。（2）本文空气密度取1.25，而实际是随着高度的变化空气密度是变化的，受到温度、压强的影响，导致结果和实际存在一定的误差。（3）在计算最大拉力时，用最大速度算出最大拉力，而实际绳的拉力是连续变化的，不会瞬间突变为最大拉力。八、 模型改进（1）在实际问题中，空气的阻力系数与空气的稀薄程度有关，空气的稀薄程度又和海拔高度有一定关系，可以认为，一般认为与成正比，可将变化的代入求解。（2）由于空气密度是随着高度而变化的，我们对空气密度的值做了一定的修正，查相关资料7的如下公式：其中地面空气密度取，（3）可以考虑空气密度随高度变化，建立空气密度与高度的三叔关系，算出相应的阻力值和运动情况。（4）人和伞的系统在下降过程中，考虑在水平方向风的影响，也就是说人在着陆时的速度不仅是竖直方向的速度，而是竖直与水平方向的合速度。因此 ，人在竖直方向的着陆速度应该小于根据上述模型计算得到的速度。 参考文献1 佘守宪等.跳伞塔跳伞和高空跳伞J.物理与工程，2007，（02）：1-2 2 百度百科.伞绳介绍. /view/1967683.htm.2011年10月15日3 李炳杰,刘卫江,贺筱军等.数学建模M.陕西西安:陕西师范大学出版社,2012:101-1124 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型 M.北京：高等教育出版社，20035 周义仓，赫孝良.数学建模实验M.西安：西安交通大学出版社，20076 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社，20087 韩中庚.数学建模方法及其应用M.北京：高等教育出版社，20058 赵宝烽，蔡铁权.关于跳伞运动员如何安全着陆问题的几点讨论. /Article/CJFDTotal-DXWL200006006.htm.2000附录附一：第一问求解微分方程的MATLAB程序代码clc,clear dsolve(D2y+a*Dy-b=0,y(0)=0,Dy(0)=v)%a为ks/m,b为gdsolve(D2y-c(Dy)2+b,y(0)=0,Dy(0)=0)%c为0.5cps/m附二：第一问画运动曲线的MATLAB程序代码subplot(1,2,1)m=60;t=0:0.01:20;h=-6.1993*t*sqrt(m)+3.9216*m*log(0.5*exp(3.1617*t*m.(-0.5)+0.5);plot(t,h)xlabel(时间/s)ylabel(下降距离/m)subplot(1,2,2)x=0:0.01:20;m=60;y=-6.1993*m.0.5+12.3989*m.0.5-12.3989*m.0.5*(1+exp(3.1617*m.-0.5*x).-1;plot(x,y)xlabel(时间/s)ylabel(速度m/s)gtext(下降路程)gtext(速度)subplot(1,2,1)t=0:0.01:20;m=60;v=50;s=40;k=2.937;g=9.8;h=m*g*t/(k*s)-m*m/(k*k*s*s)*exp(-t*k*s/m)*(v*k*s/m-g)+v*m/(k*s)-m*m*g/(k*k*s*s);plot(t,h)subplot(1,2,2)t=0:0.01:20;a=50;v=3.3367*m/s+(a-3.3369*m/s)*exp(-2.937*s*t/m);plot(t,v)xlabel(时间 /s)ylabel(速度m/s)gtext(下降路程)gtext(速度)附三：第二问给定参数求各阶段运动情况的MATLAB程序代码clc,cleart1=2;h=500;s2=30;m=55;h2=0;h1=-6.1993*t1*m(0.5)+3.9216*m*log(0.5*exp(3.1617*t1*m(-0.5)+0.5);v1=12.3989*m0.5*exp(3.1617*t1*m(-0.5)/(exp(3.1617*t1*m(-0.5)+1)-6.1993*m(0.5);h2=h-h1;t2=solve(0.3404*v1*m/s2-1.1358*m2/(s2)2)*exp(-2.937*s2*t2/m)+3.3367*m*t2/s2+0.3405*m*v1/s2-1.1361*m2/(s2)2=h2,t2)v2=3.3367*m/s2+(v1-3.3369*m/s2)*exp(-2.937*s2*t2/m);h1v1h2v2t2附四：中空和高空的运动情况表附表一：，时的中空跳伞运动情况表403.52414.93425.4435.0945.4347.3149.0950.771596.51585.11574.61577.237.79256.97233.38213.53196.61403.52414.9191425.40435.0945.4347.3149.0950.771596.51585.11574.61564.94.07824.454.825.1938702485351.91322.18296.85403.52414.92425.40435.0945.4347.3149.0950.771596.51585.11574.61564.93.063.343.623.89517.63470.56430.96397.22附表二：，时的中空跳伞运动情况表586.3737605.6012623.521640.287945.877347.882149.794951.62472413.62394.42376.52359.76.11736.67347.22957.7856390.5011354.59223