数学分析中几个基本定理的推广.pdf

第卷第期 年月 商洛师范专科学校学报 数学分析中几个基本定理的推广 郭健 商洛师范专科学校数学 系 陕西商州 摘要 把经 典分析数学中 连续函数 的微积分基本定理 牛顿一菜布尼兹公式 推 广到 了对任一黎 至可积函数仍成立 在理论 上肯定了任一黎 曼可积函数 都存在连 续的广义 原函数 并给出了求连续的广义原函数的一般方法 关键词徽积分基本定理连续的广义原函数广义不定积分 中图分类号 引言 数学分析教程中 微积分基本定理是这样给出的 定理 占 尺 如果 任 占 则 二 一艺 是在 占 上的一个原函数 即 二 任 占 由于 司 厂 二 无疑在 司上连续 但是在 司上存在 有限个间断点的函数及单调函数至多有可列个间断点 它们均是 一 可积函数 它们有无 原函数多数分析教程回避不提 个别则干脆肯定 有第一类 间断点的函数一定不存在原函 数 因此有必要对此问题加以讨论 连续的广义原函数 定理设 一 则 一 妙 在 证因为任 司 故必有界所以 任 司 目上连续 镇 对 及 二 任 司 取 镇 一二 磊 当 占时 一 二 厂 盯 方 十 二 占 盯 咨乙 少 诊乙 产 了 尸一 当 一 舀 时 上式仍成立 所以在 目上连续 定义设在 司上连续 且在 司上一个有聚点的点列 上不可导外 其余处处可导 称在 司上几乎处处可导 收稿日期 一一 作者简介郭健 男 岁 副教授 商洛师范专科学校学报 年月 不难理解 定义也包含了在有限个点上不可导这一情况 事实上 当点列 的聚点 不在 司上时 包含在 司上的不可导点必然是有限有个点 不妨设 任 取 簇 一 因 故日 任 一 则 至多是 枷包含于 司 定义设 司 如 果在区间 司上 几乎处处有 二 称 二 是在 司上的一个广义原函数如果在 司上连续 称在 司上 的连续的广义原函数 一 阵 例 仗了 一 一 一 二 二 井 一 一 气一 工 了 均在 一 十 上定义 除 二 上的一个广义原函数且在 一 外 处处有 称为在 一 上连续 例设 厂 一 青 任 一 七 一 刀 显然 二 在 上 单调增加 且有一列收敛于 的间断点 工 二 一 厂气一一一万一 一下一下灭 工七 一 二 乙 刀一刀 刀一刀刀一 十 二 丈 一一 不难验证 二 在 上连续 除在的间断点上不可导外 处处有 二 亩 八 一 月片多 厂气 一下二一 十户气一一一丁一 一一不一一一了万 一工 一击一 一 一 一 刀气 一 一 一 二户一一一一万 二户 一丁十 二 一一 所以在工 一 上连续 特别 一 时 一 并规定 二 一 十二户 工 一 与 一 了 二 任 立 一 一一二 一 一 一 一 户 气一 二 一 一 一一一 二 二万 自父户气 仕一 刁 日宁子 宁二 一 个 二 哎 一一 产了 水 口曰 依定义 是在 上一个连续的广义原函数 定理推广的微积分基本定理设 任 司 则 是在 司上的一个连续的广义原函数 分析众所周知 司 包括三类函数在 司上连续的函数在 司上有有 限个 间断点的逐段连续函数及单调函数 而单调函数至多有一列第一类 间断点 任 一 而且函数在各间断点处的跳跃度总和不超过 第期郭健数学分析中几个基本定理的推广 因此 在此仅就这三类函数分别证之 证明设 定理即定理 任 是通 常意义下的原函数 证 明过程不再赘述 可参考任一数学分析教程 设 任 司 是 上有个第一类间断点的逐段连续函数 不失一段性 仅 就 一 证之 二 一 当 时 沪 沪 任 产 司 上连续 由定理 故 二 杯 拟 在 在 内连续 同理 司 时 厂拟 二 在 司内连续 所以 当尹 时 二 当 时 因 一 甲 一 十 沪 沪 一 笋功 所以 在点 不可导 但 由定理知在点 连续 故是在 目 上的一个连续的广义原函数其实 卜 粼 伞 一 中 一 任 任 其中 时 二 扒 司 时 少 二 拟由数归纳法 对 时 结论仍成立 设是 上的单调函数 不失一般性 设在 上单调增加 且有 间断点 二 对 取占 因 所以日 当时 任 一 乙 习 在 一 司内 仅有 伽这有限个 间断点 由上述证明知 是 司上一个连续的广义原函数 即笋 二 时 由 古 时 由 的任意性知 在 司上是一个连续的广义原函数 对单调函数结论仍然成立 例求 二一 石下屯 石 云乓 二 一 粤 要 使在 一 贡 乙 汀汀 上连续 二一 丁 一 叫 盆 一 工 亡 任 专 解 任 一 要 乙 要在点连续 取 一 二 队 一 一 仍工 二 即可 份 共时 二一 一 一 镇 簇镇 使在 簇 一 十 人 气 二 二 任 卜 丝 例求 一 丁 其中 上连续 共 时 二 商洛师范专科学校学报 年月 解 二 二 屯 一 气 一 气 一 百 工 任 一 任 由在 上的连续性 求得 二 十 二丁 一 任 任 一尹 了 一一以所 不能验证 在 一 上连续 且尹 时 厂 定义 设 二 卜 分 是 二 在 上一个连黝 故脑 数 称做在 二 上的连续 的广义不定积分 记为 才 例如 便 例 中 的广义不定积分分别是 户 一 飞 二 任 令 一 粤 百 任 卜 任 任 一尹 卫 定理推广的牛顿一莱布尼兹公式设是在 司上的一个连续的广 义原函数 证 则分 一 一 仅就在 司上有限个点处不可导证之 设在 二 点不可导 当 二 尹 时 且在 司上连 续 不妨设 二 则 加 二一 丁丁 厂 二 一 盆一 二 亡 李 二 砂口一 一 二 工 仁 一 少 二 又因在 一 上连续 由连续函数的 一 公式 有 分 二 一 一 一一 一 一 一 艺 一 因为在 点连续 十 所以分 一 一 第期郭健数学分析中几个基本定理的推广 例 求 一 广 解由例知 二 原函数 所以由定理有 一 是了 不 蕊了王在 一 参韵 上的一个连续的广义 晋 厂不一气万 一 二一 晋 兀 一了 一 粤 乙 另外 因丫了二石兀是偶函数 故 一 户 吓 一 二 可见上述计算正确 兀 一 例求 一 丁 同例 解由例 知 一 剪 合 是在 一 上一个 连续 的广义原函数 故 由定理有 丁 上例中 计算时 任 时 任 一 任 二 二 一 二 二一 合 合 没有用 形式上是这样 实质 任 口 亡 上是用过 了 在定理的证明过 程中 如果设 二 倪 亡 任 厂 一 二 一 杯 十 十 夕 十 一 艺 一 一 因为 所以 在 点连续 一 十 分 一 一 一 一 这里 定理 定 理 中 连 续的 广 义原函数 的连 续性起了关键作用 否则 分 一 而这一切 都是 由定理确定的 因此 定理至关重要 如果注意到 了这一 点 由定理 仅管在 司上有一列有限或无穷第一类 间断点 仍然存在连 续的广义原函数 而且 由定理 分 二一 卜 卜 卜 不连续的广义原函数 定义设在的不连续 点处 间断 在 司上的一切连续点处有 商洛师范专科学校学报年月 了 则称做了在 司上不连续的广义原函数 即逐段连续的广义原 函数 一个函数如果存在一个逐段连续的广义原函数 则就有无穷多个逐段连续的广 义原函数 称 为的逐段连续的广义不定积分 其中任意两个函数 之间仅相差一个常数 例 合 十 合 二 任 一 任 是例中中的一个不连续原函 菩 之 十 合 合 二 的不连续的广义不定积分 其中 可以取相同 一一数 一 一尹 的值 数一 一 也是 了一 二 任 个不连续的广义原函数 应用 不连续的广义原函数求定积分 我们有如下的定理 注 定理设 了 断点为 二 是在 习上的一个不连续的广义原函数 其间司 则 吞 工产 证设 一一 习 一 一 吞 为方便起见 记 因 则 兮 二二一 宝 一 李 二二 一 二 在 十 一 上 连续 故应用连续函数的 一 公式有 一 扮 二二一 一 十 一 从而分 二 一 客 一 一 一 艺 十 一 卜 习 一 十 一 一 若在 右连续 则 左连续 则 一 二 其相应形 式不再赘述 例在例中 求 一 丁 工 解例中 及 巾均是 的不连续的广义原函数 我 们分别拿来用定理 求 一 丁 二 第期郭健 数学分析中几个基本定理 的推广 一一一 一一 一一一 中 一 巾 一 一 巾 一 中 一 一 中 一 中 一 这里计算的两个结果 与例中借连续 的广 义原函数运用定理所求结果一致 结论 设 任 司则在 司上存在连续的原函数 包括常义的与广义的 且有相 应的微积分基本定理和 一 公式 当 任 相应定理 见任一数学分析教程当可积 有一列 有 限或无穷间断点时 其连续的广义原函数在的间断点处连续 但不可导 在的 连续点上 处处有 二 在 司上也存在不连续 的广义原函数 二 与 的不连续点相同 在的连续点处 仅管早就给出了 处处连续但又无处可导的函数的例子 注 这里前提是 任 司 二 在 上连续的广义原函数 是把其任一不连续的广义原函数拿来 把其逐段 连续支上下平移使之成为连续 的广义原函数 平移幅度正好等于 士 十 一 一 如果是单纯地为了求积分 而求连续的广义原函数没有必要 因为找出连续广义原函 数应用定理求积分 和找出任一 不连续的广义原函数应用定理求积分 计算量一样 而 且找连续的广义原函数 显 然比找任一个不连续的广义原函数困难得 多 我 们认为 结论 在理论上的