概率论与数理统计第2章复习题解答.doc

概率论与数理统计第二章复习题解答 1. 将4只球（1-4号）随机放入4只盒子（1-4号）中去，一只盒子只放一球. 如一只球装入了与之同号的盒子, 称形成了一个配对. 记为总的配对数, 求的分布律.解：；因为当3个球形成配对时，另1个球一定也形成配对； 当4个球中的某2个形成配对时，另2个球（标号a,b）都不形成配对的放法只1种，即分别放入标号b,a的盒中； 当4个球中的某1个形成配对时，另3个球都不形成配对的放法只2种：以abc记3个空盒的号码排列，则3个球只能以bca或cab的次序对应放入3个盒中；. 于是，分布律为X01234pk9/241/31/401/242. 盒中装有10个大小相等的球, 编号为0-9. 从中任取一个, 在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况下，分别记随机变量 求的分布律、分布函数、分析服从什么分布.解：（1）10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有5、1、4个，于是的分布律为X012pk0.50.10.4（2）的分布函数为； （3）分布律为 Y01pk0.10.9即服从参数为0.9的0-1分布.3. 设随机变量的分布密度为. 求（1）的值;（2）;（3）的分布函数;（4）的分布密度.解：（1）, ，；（2）；（3）；（4）求导得.4. 根据历史资料分析, 某地连续两次强地震间隔的年数的分布函数为，现在该地刚发生了一次强地震，求（1）今后3年内再发生强地震的概率；（2）今后3-5年内再发生强地震的概率；（3）的分布密度，指出服从什么分布.解：（1）；（2）.（3）的分布密度，故服从参数为10的指数分布.5.（1）设, , 且, 求.（2）设, 且, 求.（3）设，试分析当时，概率的值将如何变化.解：（1），故，. 从而, .（2）, 且, 即, 亦即, 又, . 从而, , 于是.（3），故.故当时，概率的值保持不变, 始终是常数0.6826.6. 设某城市男子的身高(单位:cm).（1）应如何设计公共汽车的车门高度, 才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm, 求100个男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.解：（1）设公共汽车的车门高度应为cm. 则要使, 只须, 从而只要, 于是即可.（2）若车门高度为182cm, 则1个男子会与车门碰头的概率为设100个男子中会与车门碰头的人数为, 于是, 从而.7. 设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹, 若炸弹落在铁路两旁40米以内, 即可破坏铁路交通. 记弹落点与铁路的距离为(单位: 米), 落在铁路一侧时的值为正, 落在另一侧时为负. 的概率密度为若3颗炸弹全部使用, 求敌人铁路交通受到破坏的概率. 解：1颗炸弹落在铁路两旁40米以内的概率为设3颗炸弹中落在铁路两旁40米以内的颗数为, 则，从而至少1颗炸弹落在铁路两旁40米以内（可破坏铁路交通）的概率为8. 设, 证明: 当时, 仍服从均匀分布.证明：，而求导得. 又因为，故.即当时, 在上服从均匀分布. 证毕.9.（1）设的分布密度, 用分布函数法求的分布密度；（2）设, 用公式法求的分布密度. 解：（1）, 求导得注意到当且仅当时取非零表达式，故（2），而当时单调可导；反函数为，；，由定理知10. 试证明：若, 则,