2011年全国高中数学联赛模拟卷(16)(一试+二试.doc

2011年全国高中数学联赛模拟卷(16)第一试姓名：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 设是一个偶函数,使得对所有整数和,都有,则_2. 的图象与轴交点坐标是 3. 将二顶式的展开式按的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中的幂指数是整数的项共有 个.4. 已知数列an是正整数组成的递增数列, , 若，则_5. 在三棱椎PABC中, BC=3, CA=4, AB=5, 若三侧面与底面所成二面角均为45, 则VPABC_6. 数列a0, a1, an满足a0, an+1=an, (x,x分别表示x的整数部分和小数部分), 则=_7. 由直线(nN*)与抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为_8. 有一道数学竞赛题, 甲, 乙, 丙单独解出的概率分别为, , (N*且110), 现甲, 乙, 丙同时独立解答此题, 若他们中恰有一人解出此题的概率为, 那么, 他们三人都未解出此题的概率为_二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9已知定义在上的减函数f (x)，使得对一切实数均成立，求实数的范围10. 设数列an的前n项和Sn与an的关系为Snban+1，其中b是与n无关的常数，且b1.（1）求an与an1的关系式；（2）写出用n与b表示an的表达式.11. 椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点，且最大值的取值范围是，其中 求椭圆的离心率的取值范围； 设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由2011年全国高中数学联赛模拟卷(16)加试姓名：_一、（本题满分40分）圆是ABC的内切圆、是、上的切点，都是圆的直径求证：，共点F/E/D/OFECBAD二、（本题满分40分）若,是正实数，且，求的最小值三、（本题满分50分）证明：对于大于2的任意正整数，存在无限多个使得四、（本题满分50分）给定个共线的点，考虑点与点之间的距离，假设每个距离最多出现两次，证明：至少有个距离分别只出现过一次.2011模拟卷（16） 第 10 页 共 10页2011年全国高中数学联赛模拟卷(16)答案1、令, 得,令, 得, 所以120632、解：, 令，可知是奇函数，且严格单调，所以，当时，所以，故，即图像和轴交点坐标为3、易求前三项系数分别是1,.由这三个数成等差数列,有1+,解得和(舍去). 当时, , 由, 得只能是0, 4, 8.4、，方程的正整数解为或，又，故5、作，OECA于E，OFAB于F，设OP=h，则，于是，在ABC中，即：，所以, 6、由已知得：， ，易得：, 所以 7、直线与抛物线的交点，设直线上位于区域内的线段为CD，其端点坐标为，则线段CD上的整点数为，故区域内的整点数为：8、依题意：即：所以：5|, 不妨设5|，于是=5，即：，所以3|，不妨设3|，于是当时，；时，无整数解。时，无整数解。所以， ， ，于是三人都未解出的概率为9、由题意可得 即，又，所以所以 所以 所以，或10、解（1）当n2时，an=SnSn1ban+1,整理得 当b1时，a1, 两边同乘以2n，得2nan=2n1an1, 可知数列2nan是以2a为首项，公差为的等差数列. 所以当b1，b1时，由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n1an1+从而数列cncn1就是一个等比数列，n取2，3，n得故数列an的通项公式为 11、 设，又，又，得当时，即当时，设，则当轴时，则故故，猜想，使总成立当时，又，又与同在内，=，故存在，使恒成立2011年全国高中数学联赛模拟卷(16) 二试答案F/E/D/OFECBAD一、 设直线交于过作圆的切线交于显然则 连结，记圆半径为易证、与、分别共圆，则所以，因为，所以，将代入得：同理可知：，此时根据塞瓦逆定理，可知三线共点即共点二、由题设条件得：，设其中是正实数，则左边仅当时，即时取等.三、不妨设为的一个素因子，则我们证明（其中）由于，而，中含有素因子的个数为，所以中含有素因子的个数大于个，又，所以可以被整除，可以被整除，因此可以被整除由于有无穷多个，所以，原命题成立四、证明：令为出现一次的间隔数目，为出现两次的间隔的数目，我们想要找到所有的不同间隔的总数的一个下限，为了做到这点，我们从最左面的终点开始，从左到右数一个个间隔的数目，并且把一个个点，从左到右依次记为，于是是个不同间隔的左终点；接着我们继续向前看，这个点是个间隔的左终点，但是其中这些长度的间隔可能在时，我们已经数过了，像这种重复的情况，最多只可能有一个长度是重复的，因为如果，且同时，那么，这样与题设中的一个距离最多只能出现两次相矛盾。因此，与在点数间隔相比较的话，最多只有一个长度是重复的，并且我们现在至少有个新的间隔长度；继续向前到，我们可以作出类似的分析，以为左终点的情况下，一共有个间隔，但是在点时，可能有一个长度被数过了，同样