初中数学论文：九年级复习中的变式教学.doc

初中数学论文一题多教 教学相长-九年级复习中的变式教学【摘要】一题多教是指在一组题中，每道题的内容大致相同，只是在已知条件或探究问题或基本图形上稍加改变，有效地进行一题多变教学是培养学生解题能力和创新思维能力的有效途径之一，同时是让学生脱离题海战术，向45分钟要效率的有效方法之一。通过这种训练有助于学生更深刻地理解所学知识，促进和增强学生思维的深刻性，充分训练学生思维的应变力、想象力及创造力，训练学生对数学知识的理解能力和应用能力，达到“减负”“增效”的目的。【关键词】一题多教 多种变式 数学思想 创新能力前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“学生在学校里，重要的不是学得多少知识和技能，而是学会一种会学习的能力，拥有自己去学习的能力。” 正如新的数学课程标准所提倡的“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”。现实生活中我们老师常有这样的疑惑：有些类型的题不仅是讲了，而且是讲了多遍，可是学生的解题能力及创新思维能力就是得不到提高!我们也常听见学生这样的声音：巩固题做了不少，可数学成绩却迟迟得不到提高!这应该引起我们教育工作者的反思了。诚然，出现上述情况涉及方方面面，但其中的习题教学值得反思，数学的习题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候只是例题继例题，解后并没有及时引导学生进行反思，因而学生的学习也就仅仅停留在解决数学问题的表层，出现上述情况也就不奇怪了。所以复习中善于作解题后的反思、方法的集中归类、数学思想的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多教，一题多问，一题多变，挖掘习题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对数学能力的提高和数学思维的发展是大大有益的。这样，不仅可训练学生对数学知识的理解能力和应用能力，又能达到“减负”“增效”的目的!笔者在教学实践和教学感悟中发现，有效地进行一题多变教学是培养学生解题能力和创新思维能力的有效途径之一。一题多教是指在一组题中，每道题的内容大致相同，只是在已知条件或探究问题或其本图形上稍加改变。通过这种训练有助于学生更深刻地理解所学知识，促进和增强学生数学思维的深刻性，充分训练学生思维的应变力、想象力及创造力。教学时，可以根据教学需要和学生实际情况,教师就要精心设计练习题，有侧重地加以挖掘,有计划是加以落实,加强数学思维训练，使学生练得精、练得巧、练到点子上。让我们的学生从“题海战术”中解放出来！本文借人教版八年级课本中的一道习题的解决过程及中考复习中出现的点滴谈谈自己对数学问题中一题多变教学的一点看法与认识，借此与同行们共鸣！（原始问题）例1：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE， 连结CD、BE。求证：BE=DC【本问题源自于人教版八年级上册课本第57页作业题第11题，考查等边三角形、三角形全等的知识，考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能。此题潜在价值很大：可以添加探索新结论；可以改变条件，探索结论；可以通过图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；也可以把正三角形改为正方形、矩形、圆，把正三角形改为梯形；还可以将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。这样的解题发挥，加深知识间的联系，融会贯通,使学生获得一种如淋春风的感觉。】变式一：问题情境不变、增加探究结论例1：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，（1）求证：BE=DC（2）猜想直线CD与直线BE的夹角【 本题在条件不变下继续探索其它结论，使不同层次的学生得到不同得到发展，由统一规格教育向差异教育转变，是新课程改革的重要理念弹性教学方案的设计，需要教师对各个层次的学生都有不同的准备，尊重差异，舒展个性，使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法，培养学生思维的灵活性、全面性、创新性，提高学生解决问题和数学应变的能力，做到分层教学，因材施教。让学生的思维在“变式”中流淌而增效。】变式二：给出新的结论，探究合适条件例2：如图，在ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,ACE,BC（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？当ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在？EFDABC【本题把由两边向外作正三角形改为由三边向外作正三角形，重点考查平行四边形、矩形、菱形以及行等边三角形等知识，是一道几何型综合题。不仅考查了学生对知识的综合运用，还培养学生分析问题能力和逻辑推理能力，培养学生思维的全面性与创新性，渗透分类与转化的数学思想方法。】练习：（2008年广东佛山市中考题）如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1) 当ABAC时，证明四边形ADFE为平行四边形；(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.变式三：改变问题情境，挖掘内在联系例3：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：（1）BG=CE（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？【本题把向外作正三角形改为正方形，但本质还是运用三角形的全等知识解决，万变不离其宗，设计目的是通过观察，揭示此类问题的实质，训练学生对知识的灵活运用，克服思维定势，培养学生的发散思维，使知识进一步理解和升华，通过这一变式达到了以下目标：从图形变化中探求规律。培养学生用运动变换的观点和由特殊图形到一般图形去观察、研究几何图形的性质，提高学生分析问题与解决问题的能力；达到举一反三的效果。】练习：（2005年海南省中考题）如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H。 (1)求证：BCGDCE；BHDE。 (2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE?请说明理由。练习：（2007甘肃陇南中考题）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连 接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想变式四：改变问题情境，探究原有结论例4：（3）把练习（2007甘肃陇南中考题）中的“正方形ABCD、DEFG” 改为“矩形ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立？【在教学中，教师的“导”需精心创设问题情境，组织学生进行生动有趣“活动”，留给学生想象和思维的“空间”，充分揭示获取知识的思维过程，使学生在过程中“学会”并“会学”，优化学生的思维品质，从而得到主体的智力发展。本题条件正方形改为矩形，探索前面两个结论是否成立，若不成立，探索成立的条件。两个矩形长和宽成比例时，AECG，可以运用三角形相似证明，但AECG.由全等到相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通。】变式五：情境图形旋转，探究原有结论图（1）图（2）例5：（4）接（2007甘肃陇南中考题）条件，把正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD与GD重合时如图（1），上述两个结论是否成立?（5）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如图（2），上述两个结论是否成立？【数学就其学科特点来说，有较强的逻辑性和细致的思维性，有效串联教学就是把多个问题情境通过一条线将其“有效串联”起来，进行数学分析，教学分析研，和过程研究，这样学生从直观上也比较容易掌握这些问题情境，而且由于这些问题情境的引出有一定联系，学生的理解和感悟也会更深刻透彻,从而使这些问题情境之间的联系建立于数学本质意义上.如这题让类似前几变式的题设条件与图形“动”起来，形成“一题多变”或“一图多变”的转化问题。使学生习惯于“开放”与“探究”的思维，揭示利用全等知识证明的本质，熟练地应用知识和技能，准确把握解题方向。渗透转化思想及数形结合思想。 】练习4：（2008年义乌市中考题）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形。请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断。（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=0.5，求的值。图1图2图3图4图5图6变式六：根据相关定理，求图形面积例5. (05年温州市中考题)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4_.【教师的教学设计应该是最大程度地促进学生的主体反思,要培养学生的主动学习、反思意识，教师首先要有引导学生、反思的意识，要对教材习题勇于反思，并结合实践敢于不断优化改进创新。如本题把多个大小不一的正方形组合在一起,利用常用的与正方形有关的三角形全等知识和勾股定理知识,解决问题情境.通过此道习题设计让学生学会探索和发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，要求同学们通过、观察、分析、猜想来探索规律。也充分感受到了正方形的妙用。】练习：（1）.如图，梯形ABCD中，ABDC， ADC BCD90，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是_. (2)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为_变式七：变换条件结论，提高探索能力例7：（2009年河北省中考题）在图141至图 143中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中是M图14-1AHC(M)DEBFG(N)G图14-2AHCDEBFNMAHCDE图14-3BFGMN如图141，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；将图141中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图142，求证：FMH是等腰直角三角形；(3)将图142中的CE缩短到图143的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？(不必说明理由)【九年级复习课可以“问题串”、“情景串”为主线，让学生在探索相关任务串中自主梳理学过的数学知识，达到融会贯通的效果它符合新课程标准的理念：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上教师应激 发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流 的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”，这样，通过以“问题串”、“情景串”为载体的有效预设，可让学生充分参与课堂，成为数学课堂的主人，还数学课堂教学本色如本题以“问题串”为载体，它增加条件，要求解决新的问题，要求正确添加辅助线构造平行四边形与全等三角形，第（1）小题是常规题，第（2）、（3）小题又是探索题，在条件变化时，探究原结论是否成立或有什么新的关系, 这样可以培养和激发学生探究欲望，使学生经常处于一种探究的冲动之中。】变式八：添加背景材料，与函数知识结合例8：（2009兰州市中考）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由【本题在学生已熟悉的正方形问题情境中添加直角坐标系，与函数知识结合，是一道代数与几何的综合题，又是一道解决动态几何的问题，充分运用数形结合和建模的数学思想，考查了解直角三角形，图形与坐标、一次函数、二次函数以及动点运动问题等知识，训练学生对知识的灵活运用，培养学生综合分析问题、处理实际问题的应变能力，使数学学习的最终目的是学以致用。】感悟与反思：实践让我体会到“一题多教”和“一题多问”对数学问题进行再加工，再创新，能够引导学生积极思考，便于学生自主学习探究，有利于激活学生思维。同时也能够方便师生共同梳理