初中数学论文：巧搭“新学习”型问题的脚手架.doc

初中数学论文 巧搭“新学习”型问题的脚手架摘要：中考数学考试说明中明确指出：以立足基础、注重本质、考查能力、适度创新为命题的核心思想，以“易而不死，活而不难”为命题的最高境界，达到检测学生的数学综合素养及数学能力，检测初中数学老师在落实四基、增强四能、培养学生科学态度方面的实际教学能力。基于这样的命题方向，近几年台州市中考题的压轴题都以“新学习”型问题这类创新题型呈现。这类题型以能力立意为着力点，不但考查了学生的阅读理解能力、观察分析能力、归纳类比能力、抽象概念能力，而且还考查了学生即时学习的能力。关键词：新学习型 新数 新运算 新图形在市“十二五”教师专业发展初中数学教师中考数学复习策略探究培训会上，丁老师提到这样一种现象：很多老师觉得上复习课难，不会上复习课，平时在复习课中讲得面面俱到。但学生一碰到没见过的“新”题型，一下子就傻眼了，无从下手。其主要原因就是老师在讲课时就题论题，没有拓展解题方法和思维，结果是学生抓不住问题的本质；甚至有些老师在中考复习中从没上过专题复习课。这对于培养学生的创新能力是不利的，碰到新的题型当然就无从下手了。尤其是碰上近几年中考中比较流行的“新学习”型题目。丁老师特别指出：在最近几次市统考的试卷中，暴露了大部分学生解答“新学习”型题型的思维缺陷，这正是我们教学上需要加强和改进的地方。针对这种现象，丁老师让我准备上一节“新学习”型问题的中考专题复习示范课。 该从哪里着手准备呢？复习课难上，中考专题复习课更难上，而且是最近流行的“新学习”型问题。肯定不能像往常那样，先老师讲解例题，再让学生练习。怎样设计才能让学生学得更有效，又能让学生掌握解答这类题型的解题技巧呢？笔者决定先研读近几年各省市的中考试卷，找出其中的“新学习”型题目，进行解题分析，再查阅相关资料，并进行深入探究与归纳。一、“新学习”型问题的特征“新学习”型问题，即“新定义、新概念”题型，这类题型旨在呈现学生没有学过的数学知识、数学规律、数学方法等情境，要求学生通过自主阅读、理解、实践操作等方式进行即时的学习，然后加以概括、归纳，并运用现学所得的知识解决相关问题。这类题型能有效承担数学中考考查学生阅读理解能力、应用数学解决实际问题的能力，及学习习惯与能力培养的任务，它已逐步成为中考命题探索的焦点问题。因此，作为一名数学教师有必要对此进行深入的探讨与研究。二、“新学习”型问题的复习方式通过分析近年来中考试卷中出现的这类“新学习”型试题，笔者发现虽然这类试题在题型结构上五花八门，但经过整理也能发现它们存在着一定的规律。为了打破复习课上就题论题的常规，笔者认为应该将这些“新学习”型试题加以归类，这样才能让学生学得更轻松、更有效。联系数学的学习过程是从数到运算再到图形，受此启发，笔者把“新学习”型问题分为新数、新运算、新图形三大类。而最难的就是新图形，常出现在压轴题。这样一来，学生接受起来也很自然，并不觉得这类“新”题型很陌生、很可怕了，还能激发学生创造的热情和灵感，迸发出创新的思维火花。（一） 学习一种新数要求解答者读懂“新数”的概念，并结合已有的知识进行理解，再根据新的定义进行运算、找规律、迁移知识。例1、定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数。如：2的差倒数是，的差倒数是。已知，是的差倒数，是 的差倒数，是的差倒数依此类推，则= 。点评：本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，利用差倒数的公式算出，由此发现3个一循环，20133=671，所以。练习：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，若，则的取值可以是（ ）A.40 B.45 C.51 D.56点评：本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题，可以通过画数轴数形结合来分析x的取值范围。考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。解完这两题后让学生及时小结解决这类“新数”问题的一般方法，老师再进行概括。方法总结：弄清概念是前提，寻找规律是方向，敢于尝试是精神，学会探究是目标。 （二）学习一种新运算要求解答者要弄清新定义中的运算法则，转化为已经学过的代数式运算或方程来解决。例2、定义新运算“”如下：当时，=,当时，=；若(2-1)(+2)=0，则= 。 点评：根据“新运算”此题需要分类讨论，当212时，即3时，由(21)(2)=0得(2-1) (2)(2)=0，解之得=2或0，均不合3，舍去；当212时，即3时，由(21)(2)=0得(21) (2)(21) =0，解之得=1或，符合3。本题中的新定义运算主要是检测学生学习新知识的能力，转化为一元二次方程来解决，而在解一元二次方程中很多学生没有选择因式分解法来解，使计算量增大，本题难度较大。练习：请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3）=，（3）5=5（3）=，你规定的新运算ab=（用a，b的一个代数式表示）。点评：由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，可以先把结果的分母看成等号左边两个数之积，再去变形分子找到规律，最后总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算ab其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题的关键。完成这两题后也让学生及时小结解决这类“新运算”问题的一般方法，老师再进行概括。方法总结：运算规则弄清楚，运算实质要把握，化生为熟是关键，问题解决显能力。（三）学习一种新图形要求解答者要弄清新概念图形的意义，把新概念图形分解转化，化为我们熟悉的图形，运用熟悉的知识加以解决。例3、定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离。已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点。（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式。（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MNx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。点评：本题定义了一个教材中从来没出现过的新概念两条线段之间的距离，3个问题从特殊到一般，静态到动态进行探索。全新的概念，环环相扣的问题链，给了学生以极大的新奇感，也给大部分学生带来了恐惧感。本题的解决不仅需要扎实的“四基”，更需要用平时积累的学识和数学素养来进行即时阅读、即时认识、即时理解，并予以理性客观的综合思考，只有在有效阅读给定材料的基础上经过有价值的发现与提炼，才能顺利地解决问题。 第（1）问是求特殊情形下（m=2,n=2或m=5,n=2）线段BC与线段OA的距离的计算，当m=2，n=2时，,如题图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BNx轴于点N，则AN=1，BN=2，在RtABN中，由勾股定理得AB的长。本质上此题就已经代表着两种不同状态下的线段之间的距离的计算方法，而括号里的“即线段AB的长”给了学生友好提示。教师在讲解时要注意，当学生完成第（1）问后一定要追问：线段BC与线段OA的距离有几种不同的状态，并引导学生通过画出图形去发现结果，在画图过程中学生会发现应分为三类当时，d=2；当m4时，d=AB的长。让学生做这样承上启下的思考，就能破解第（2）问中需要用分段函数解题的难点。 第（2）问的解决还是要让学生通过画图才能发现怎么如何分段，如答图2所示，当点B落在A上时，m的取值范围为2m6：在第（1）问的铺垫下，显然又要以4为分界点，当4m6，显然线段BC与线段OA的距离等于A半径，即d=2；当2m4时，作BNx轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OAON=4m，在RtABN中，由勾股定理得：d= 第（3）问给出了很宽广的探索空间，又新增了一个点，即线段BC的中点M，这使问题更加扑朔迷离，好在有一个附加条件“动线段BC与线段OA的距离始终为2”，就可以回归第（1）问研究的成果。在讲解时还是要继续引导学生通过画图找出点M的轨迹，教师还可以借助教具（木棒）摆一摆，让学生有直观的认识，由于点M是在一条封闭曲线上，因此在找与AOD相似的三角形时就会受到制约。在老师的引导下，环环相扣的问题串的解决使学生在经历了一场“新学习”的同时，体会到了画图的奥妙所在，也经受了一次能力的考查。例4、已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”。例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个“伴侣正方形”。（1）如图1，若某函数是一次函数，求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD，点在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数的解析式；第（1）问中要注意是求一次函数图像的所有“伴侣正方形”的边长，要找出除图1外的情况，在授课过程中应要求学生自己动手画出图形找到结果，教师再作画图方法引导，画图时应按点A、B的不同位置来分类：当点A在x轴正半轴、点B在y轴正半轴上时，画不出正方形ABCD；当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，就是图1这种情况，但还要让学生对照图形说明为什么点C、D就在x轴和y轴上；当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，如图3所示；（图2）xyO当点A在x轴负半轴、点B在y轴负半轴上时，也画不出正方形ABCD。（图3）BAxyODC而对于两种存在的情况图1和图3，要求出正方形的边长，教师又要指导学生要把已知条件标到图形当中去，这样利用图形就能轻而易举地找到解决的方法。第（2）问求m的值及反比例函数的解析式，也是要先画出反比例函数图像的“伴侣正方形”为ABCD，画图时要先根据点D坐标（2，m）确定它的位置应在第一三象限角平分线下方，再去画出“伴侣正方形”ABCD。鼓励学生大胆动手去画，然后老师讲解方法：当点A在x轴正半轴、点B在y轴正半轴上时，能画出一个伴侣正方形ABCD，如图4；当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，如图5若四边形ABCD是正方形，则可得DAE=ABO,AD=AB,可证得DEAAOB,OA=DE=m，而已知OE=2，这与m2矛盾，所以不存在；当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，如图6所示画不出正方形ABCD；当点A在x轴负半轴、点B在y轴负半轴上时，如图7所示也画不出正方形ABCD。图4 图5图6 图7如图4中的求解过程又要求学生尽量把已知条件标到图形中，作DEx轴，CFy轴，垂足分别为点E、F，利用“三垂足共线”易证ADEBAOCBF。点D的坐标为，DE = OA = BF = m，OB = AE = CF = 2 m OF = BF + OB = 2，点C的坐标为，解得反比例函数的解析式为点评：本题给出新图形“伴侣正方形”，同学们要理解它的确切含义，能判断能画出一个函数图象的所有伴侣正方形，然后才能运用它进行解题。在解题时，要求同学们要大胆猜想，敢于动手画图，一步一个脚印。解后让学生及时小结解决这类“新图形”问题的一般方法，老师再进行概括。方法总结：弄清概念是前提，构建三图为基础(画图、标图、用图），化生为熟是方法，积累经验是财富。所谓画图：就是将题中的已知条件用图形去呈现（注意多种可能情况的问题）；所谓标图：就是将已知条件，用“符号”很清晰地呈现在几何图形中；所谓用图：就是能利用图中的符号语言构建已知与未知的关系，联想有关的定义、公理、定理，不断地构建新的已知点，最终实现目标。构建“三图”的成功教学，能使许多几何问题的答案不言而喻，能杜绝学生“动眼不动手，有花而无果”的不良行为习惯。如果说：以不变的“四基”、“四能”能应对千变万化的题海，那么用静态的“三图”就能创造星云流水、千姿百态的“动态几何”中的奇迹。 三、“新学习”型问题的再思考 按上述方式完成的“新学习”型问题中考专题复习课，教师为学生提供了利于创造的学习环境和机会，也让学生轻而易举地学会了解决这类试题的方法和策略，改变了以往见“生”就怕，遇“难”而退的现象，整个课堂学生想学、乐学、会学、善思，敢于发现问题、敢于创造、勇于探究。 笔者上完这一节课后，仍不断地学习和研究此类问题。在市“十二五”教师专业发展初中数学教师中考数学复习策略探究培训和初三数学复习研讨会上，上了十几次示范课，在每一次的课堂中，笔者尝试着去讲解最近几年中考压轴题中出现的典型的“新学习”型问题，每一次都会出现一些值得思考的问题，每一次都有意想不到的收获。总之，“新学习”型问题是近几年中考命题的“新宠”，是被浙江省教育厅命题分析与评价小组给予高度评价的新题型，应引起老师们的高度关注。这种试题题型五花八门，内容丰富，源于教材，又高于教材，不仅考查学生的阅读能力和即时学习