概率论与数理统计习题解答(第4章).doc

第4章习题答案三、解答题1. 设随机变量的分布律为X 202pi0.40.30.3求，解：E (X ) = = +0+2= -0.2E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 4.42. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，E (Xi ) =1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =821/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的 (1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望(2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则XB(n, p1),所以E (X )= n p1(2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y B(n, p),记A =借甲种图书， B =借乙种图书，则p =A B= p1+ p2 - p1 p2所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)解：依题意，XB(n，1/n)，所以E (X ) =1.5. 设，且，求E(X)解：由题意知XP（），则X的分布律P =，k = 1,2,.又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6.6. 设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在？解：因为级数， 而发散，所以X的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为求一天的平均耗电量 解：E(X) =6. 8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为求这种家电的平均寿命E(X)解：由题意知，随机变量X的概率密度为 当5时， ，当5时，0.E(X) =所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为求X的数学期望E(X)解：E(X) =1/4 10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)解：.11. 设，求数学期望解：X的分布律为， k = 0，1，2，3，4，X取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以 12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：，（k 0，常数），求W的数学期望解：V的分布律为，所以 13. 设随机变量(X, Y )的分布律为 Y X01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y )，E(X Y )解：E(X)=0(3/28+9/28+3/28）+1(3/14+3/14+0)+ 2(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0（3/28+3/14+1/28）+1(9/28+3/14+0)+ 2(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律X10 11 12 13 14pi0.2 0.3 0.3 0.1 0.1所得利润（以元计）为,求E(Y)，D(Y)解： E(Y) = E1000(12-X)=1000E(12-X)=1000(12-10)0.2+(12-11)0.3+(12-12)0.3+(12-13)0.1+(12-14)0.1 = 400E(Y2) = E10002(12-X)2=10002E(12-X)2=10002(12-10)20.2+（12-11）20.3+（12-12）20.3+（12-13）20.1+（12-14）20.1=1.6106D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=1.6106- 4002=1.44106 16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为其中0 p 1是常数，求E(X)，D(X)解：令q=1- p ,则 D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p217. 设随机变量X的概率密度为，试求E(X)，D(X)解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，解：因为，所以=-1/632=-1,19. 在题13中求Cov(X，Y)，rXY解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+13/14+20+40=3/14, E(X2)= 02（3/28+9/28+3/28）+12(3/14+3/14+0)+ 22(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02（3/28+3/14+1/28）+12(9/28+3/14+0)+ 22(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -E(X)2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- E(Y)2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) (3/4)= -9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ()= -/520. 在题14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)解：,21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的解：，所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相关.当x2 + y21时，f ( x,y)fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 x 1, | y | 2x ,所以Cov(X，Y)=0，从而，因此X与Y不相关 . 所以，当0x1, -2y2时，所以X和Y不是相互独立的 .四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数的指数分布，问若要获利的数学期望最大，应该生产多少件产品？（设m,n,均为已知）.解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数 y 0 y=所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+E(Y)2=1+4=53. 设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量试求：(1)和的联合分布律；(2) 解：(1) PX =-1, Y =-1= PU -1且U 1= PU -1=，PX =-1, Y =1= PU -1且U 1= 0，PX =1, Y =-1= P-1 -1且U 1= PU 1=，所以和的联合分布律为 X Y-11-11/41/2101/4(2) 和的边缘分布律分别为X 11pi1/43/4Y 11pi3/41/4所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0，E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24. 设随机变量X的期望E(X)与方差存在，且有，证明证明：首先证明E（Y）存在(1) 若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：则由E(X)存在知，绝对收敛，且记,则绝对收敛，所以E（Y）存在，,(2) 若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则：5. 设离散型随机变量X的分布律为，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，试证明：函数在时取得最小值，且最小值为D(X)证明：令，则，所以，又，所以时，取得最小值，此时 6. 随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为X12pi2/31/3记， (1) 求(U，V)的分布律；(2) 求U与V的协方差Cov(U，V).解：(1) (X ,Y)的分布律 Y X1214/92/922/91/9(X ,Y)（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）pij4/92/92/91/9U1222V1112 V U1214/9024/91/9(2) E(U)= 4/9+25/9=14/9，E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 21/9=10/9，E(UV)= 4/9+24/9+41/9=16/9,Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为令为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)解： 8.