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概率论习题册答案第一章 随机事件及其概率1.1 样本空间与随机事件一、 计算下列各题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；(4) 有三只盒子，三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解 1（1）；（2）；（3）；其中分别表示红色，白色和蓝色；（4）其中表示求放在盒子中，可类推；（5）其中分别表示三段之长。2. 设为三事件，用运算关系表示下列事件：（1）发生,和不发生； （2）与都发生, 而不发生；（3）均发生； （4）至少一个不发生；（5）都不发生； （6）最多一个发生；（7）中不多于二个发生； （8）中至少二个发生。解 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）3下面各式说明什么包含关系？(1) ； (2) ； (3) 解 （1）； （2）； （3）4. 设具体写出下列各事件：(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5). 解 （1）5； (2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10； (3) 2,3,4,5；(4) 1,5,6,7,8,9,10； (5) 1,2,5,6,7,8,9,10。5如下图，令表示“第个开关闭合”, ，试用表示下列事件，（1）系统为通路，（2）系统为通路。 系统 系统 1 5 2 3 1 2 3 4 4 6 解 (1) (2) 。1.2 事件的频率与概率一填空题1设事件的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件的概率 0 ；2设随机事件及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6，若表示对立事件，那么积事件 的概率 0.3 ；3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, (1) 当A,B互不相容时, P(A+B)= 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当B+A时, P(A+B)= 0.4 ; P(AB)= 0.3 ；4. 若,;=。二、选择题1. 若二事件和同时出现的概率P()=0则（C）（A）和不相容； （B）是不可能事件；（C）未必是不可能事件； （D）P()=0或P()=0.2. 对于任意二事件和有 (C ) (A) ; （B）; （C）; （D）.3. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）(A) 不相容; (B)相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A).4. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）三、计算下列各题1. 已知，求事件全不发生的概率。2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。解 3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即该学生这门课结业的可能性为70%。4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。解 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、证明题试证.证 。1.3 古典概型与几何概型一、填空题1一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 ；2一批(个)产品中有个次品、从这批产品中任取个，其中恰有个个次品的概率是 ；3某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；4在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为 0.68 ；5. 将C、C、E、E、I、N、S七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 1/1260 ；6.在区间中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。二、选择题1. 张奖券中含有张有奖的，个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是（B） (A) ; (B) ; (C) ; (D) .2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B） 三、计算下列各题1已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解 （1） 2. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？解 。4从0 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率；（2）取的至少有3个电话号码相同的概率。解 ； 5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率。解 。6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率（2）3名优秀生在同一个班的概率。解 基本事件总数有种(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =. (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中分法总数为, 共有种, 所以 q =。7. 随机的向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与轴的夹角小于的概率。解 这是几何概型, 样本空间占有面积为,所求事件占有面积为所以, 所求概率。8. 设点随机地落在平面区域D: |p|1, |q|1上, 试求一元二次方程两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。 1.4 条件概率三、计算下列各题1某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。 解 。2. 设某种动物由出生而活到20岁的概率为 0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20 岁的这种动物活到25岁的概率。 解 。3. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。 解 =“第次取到正品” =1，2，3，4.4. 比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6和0.4，若比赛进行了两局，甲以20领先，求最终甲为胜利者的概率。解 设 B=“最终甲胜”，Ai=“第i局甲胜” 四、证明题1. 若，且证明。 证 。2. 证明事件与互不相容，且01,则。证 。1.5 全概率公式和贝叶斯公式三、 计算下列各题1. 三个箱子, 第一个箱子里有4个黑球1个白球, 第二个箱子里有3个黑球3个白球, 第三个箱子里有3个黑球5个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率; （2）已知取出的一个球为白球, 此球属于第二个箱子的概率。解 =“在第箱取球” =1，2，3，=“取出一球为白球”2. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。 解 设=取得的产品为正品， 分别为甲、乙、丙三厂的产品= ，=，=，所以 0.83。3. 一群人中有37.5 %的为A型血型，20.9 %为B型，7.9 %为 AB型，33.7 %为 O型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血者能成功的概率是多少？ 输血者受血者A型B型AB型O型A型B型AB型O型解 设=输血成功 分别表示型血型则 同理可求出 则 0.717。4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 =从人群中任取一人是男性， =色盲患者 因为 所以 。5. 某一工厂有三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是车间生产的概率。解 分别表示三车间生产的螺钉，=“表示次品螺钉” =同理 = ； =。6. 某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q.所以 。1.6 事件的独立性三、计算下列各题 1. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。 解 表示一个灯泡使用时数在1000小时以上三灯泡中最多有一个坏=三个全好+只有一个坏= (0.2)3+(0.2)2(10.2)=0.104。 2. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为, 求该射手的命中率。解 。3. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？ 解 设需要配置门高射炮=“高炮击中飞机”， 则 飞机被击中=门高射炮中至少有一门击中 =1门高射炮全不命中 至少配备6门炮。4. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。 解 设=目标一次射击中被击毁=目标被击中的发数，（0，1，2，3，）则=0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70.5=0.47=0.20.30.5+0.20.70.5+0.80.30.5=0.22=0.20.30.5=0.03 所以 0.470.2+0.20.6+0.030.9=0.253。5. . 掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率.解 =“正好在第6次后停止”，=“第5次也正面朝上”.四、证明题设是事件独立的充分必要条件。证 第二章 随机变量及其函数的概率分布2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其概率分布三、 计算下列各题1. 袋中有10个球，分别编号为110，从中任取5个球，令表示取出5个球的最大号码，试求的分布列。 解 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列为 5 6 7 8 9 10 2. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第次首次测到正品，试求的分布列。解 的取值为1，2，3， 且 . 此即为的分布列。3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令为取出的球的号码，试求的分布列及分布函数。 解 的分布列为 1 2 3 由分布函数的计算公式得的分布函数为 4. 设随机变量的分布律为。 求 解 5. （1）设随机变量的分布律为为常数，试确定。（2）设随机变量只取正整数值，且与成反比，求的分布律。 解 （1）因为 及，所以（2）令类似上题可得 。所以的分布律为 6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求的概率分布解 =0, 1, 2, 3, =“汽车在第个路口遇到红灯.”，=1，2，3.=, =，= 01231/21/41/81/8为所求概率分布7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数的概率分布律.四、证明题试证明： 2.3 连续型随机变量及其概率密度函数三、计算下列各题1. 设连续型随机变量的密度函数为；求的分布函数。解 ， 2. 设随机变量的分布函数为；求的密度函数。解 3. 设连续型随机变量的密度函数为；（1） 求常数，使； （2）求常数，使。解 （1）因为 ，所以故。（2） 因为 4. 在半径为，球心为的球内任取一点，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。 解 当时，设，则点落到以为球心，为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此，所以，的分布函数为的密度函数为 5. 设随机变量的分布函数为,+,试求 (1) 系数与, (2) P (1 ，令，则4. 已知随机变量服从二维正态分布, 其联合密度为, , 求随机变量的概率密度函数。 解5. 已知随机变量X与Y相互独立，且都服从区间上的均匀分布，求的概率密度函数。解：X与Y相互独立，且，6. 设随机变量的联合概率密度, 求的概率密度。 解.7. 设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度。解：(I) (II) 所以 8. 设二维变量的概率密度为 求；求的概率密度。解：（），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间T的概率分布。解 以表示第个元件无故障工作时间，则独立且分布函数为. 所以T服从参数为的指数分布10. 随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X, Y)的分布函数，()求Y的概率密度；()。解：（） ； .所以：（）。11. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 设各周的需求量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。解：设某种商品在第i周的需求量为，由题意得相互独立，且有（1）记两周需求量为Z，即，则Z的概率密度为（2）记三周需求量为W，即，又与相互独立，则W的概率密度为第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望 4.2 方差二、计算下列各题1. 设球直径的测量值在上服从均匀分布,求球体积的数学期望。解 设球的直径为,其概率密度为 2. 设随机变量服从上的均匀分布，,求的数学期望和方差。解 的概率密度，。3. 在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ， ，令， 这时 。4. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。解 “第次命中目标”,)=, 取 所以 , ,取 1故 从而 。5. 设轮船横向摇摆的振幅的概率密度为，为常数 试确定常数,并求和。解 1230.20.1000.100.310.10.10.16. 设的联合分布为右表 求 设、求 设、求。 解 -1 - 0 1 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 0 1 4 9 160.1 0.2 0.3 0.4 0。7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量的方差。解 令。8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则为多少？解：条件期望的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望，先要求得条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故，由此可算得下的条件期望。9. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在210层中的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在210层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为，设表示第k人在第i层下电梯，则有，又设，则因此，电梯停的总次数为， 。10. 设随机变量X的概率密度为 已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系数a、b、c。解：由密度函数性质及已给条件，知有， ， ，三个方程，三个变量，解之可得：。11. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从，设，求。解：设，则，由于X与Y相互独立，则有而，则有。因此。四、证明题 设随机变量X和Y相互独立，试证明证明： ，因为X和Y相互独立，所以有，又，从而有。4.3 协方差和相关系数4.4 原点矩与中心矩.三、计算下列各题1. 若随机变量在区域上服从均匀分布, 求随机变量,的相关系数。解 。2. 设随机变量的密度函数为 , 求：（1）系数,（3）协方差及相关系数。解 ；3. 设随机变量X的概率密度为.求：（1）；（2）的协方差，并问是否不相关；（3）问是否独立？为什么？解：（1）， （2） （3）对于任意实数，有4. 设随机变量()的概率密度为, 求的相关系数。 。5. 设随机变量服从上的均匀分布，令，求。解 6.二维随机变量的分布律为-101-11/81/81/801/801/811/8ab问a,b取何值时，不相关？此时是否独立？解 （1） ， ， ，若不相关，则（2）。7. 已知随机变量X与Y分别服从正态分布, 且X与Y的相关系数设， 求（）的数学期望和方差；（）X与的相关系数；（）问X与是否相互独立？为什么？解：(1) ， ， 由于X与Y分别服从正态分布，所以也服从正态分布；(2) 因为，注意到，且，所以 ，由协方差定义：；(3)由于X与均服从正态分布，故“相关系数为零”等价于“相互独立”，因此X与相互独立。8. 设，=，=，=，求和。解：；。9. 若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从，令，（为不相等的常数），求随机变量与的相关系数，并说明当满足什么条件时，不相关。解：（1）依题意，有，且因为，而，由方差公式可求出，同理可得，所以又，同理有，综合上述结果，可得（2）若不相关，则，因此，又，则时不相关。四、证明题 设是随机变量，其中为常数，且同号.证明：第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律 5.2 中心极限定理三、计算题1. 设在每次实验中事件以概率发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件出现的次数在400与600范围内？解： 设表示1000次试验中出现的次数，则 ，由切比雪夫不等式有所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件出现的次数在400与600范围内.2. 将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为，估计概率。解：设为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：，所以 ，；依题意 ，所以.3. 设是相互独立的随机变量, 且服从参数的泊松分布,记，利用中心极限定理，求。解：.4设某部件由10个部分组成，每部分的长度为随机变量，相互独立同分布，毫米，毫米，若规定总长度为（201）毫米是合格产品，求产品合格的概率。解：设总长度为，则，由林德贝格列维中心极限定理，知 ，所以合格的概率为：.5有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。解：设为选择第题所得到的分数，由题设，服从分布，另设总得分为，则，且，由德莫弗拉普拉斯定理，查