概率论与数理统计模拟试题.doc

一 选择题1.设,为两个分布函数，其相应的概率密度,是连续函数，则必为概率密度的是（D）A B 2C D 2设随机变量XN（0,1），YN（1,4）且相关系数=1，则（D）A P(Y=-2X-1)=1 B P(Y=2X-1)=1C P(Y=-2X+1)=1 D P(Y=2X+1)=13.已知概率论的期末考试成绩服从正态分布，从这个总体中随机抽取n=36的样本，并计算得其平均分为79，标准差为9，那么下列成绩不在这次考试中全体考生成绩均值的0.90的置信区间之内的有（ ），并且当置信度增大时，置信区间长度（ ）。A.76,减小 B.78,减小C.81,增大 D.82,增大答案：D解析：由题知，=9，n=36,=79当=0.10时，1-=0.95所以 =1.645即的0.90的置信区间为（76.5325，81.4675）且当的置信度1-增大时，置信区间的长度也增大。故，答案为D.4.下列选项中可以正确表示为分布函数F(x)或连续性随机变量的概率密度函数f(x)的是（ ）。A. B.C. D.答案：B.解析：考点1.分布函数要满足右连续。A不满足右连续 考点2.连续性随机变量的概率密度函数的x范围为，且在这个范围上积分和为1.C.为0.5，D为（-1）。故C，D错误5. 设随机变量服从正态分布,并且不相关，与亦不相关，则（ ）.（A） （B） （C） （D）应选（D）.解 ，于是.又.由协方差的性质有 故.故选（D）.6.设X为离散性随机变量，且，则X的期望EX存在的充分条件是（ ） A. B. C.收敛 D.收敛答案：D解析：EX存在收敛，所以A.C是EX存在的必要条件并不一定是充分条件，而B不能保证收敛，因而正确选项是D 期望和级数知识的综合考察。7设服从二项分布，其分布律为若不是整数，则取何值最大？ 答案：D解析：方法一（排除法）：求取何值最大，由为众数的时候最大，易得必须取整数 则：由题设可知不是整数，不对 可由不对可知，B也不是整数，不对 不一定是不是整数，不对 为取整函数，为整数，则为正确答案方法二：即解得 由答案必须为整数，将联立并取整，即为答案8.假设A、B、C是三个随机事件，其概率均大于零，A与B相互独立，A与C相互独立，B与C互不相容，则下列命题不正确的是( )A.A与BC相互独立B.A与BC相互独立C.A与B-C相互独立D.AB、BC、CA相互独立答案：（A）由A与B相互独立，A与C相互独立，B与C互不相容不能得出A与BC相互独立。9. 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（ ）. 答案：C解析：题中的X与Y未说明是相互独立的，所以A.B.是不对的， D.中X与Y都应除以它们各自的自由度。10.设平面区域是由与直线所围成（如图），二维随机变量在上服从均匀分布，求关于的边缘分布密度在处的值（D） A、1 B、 C、 D、解：区域D的面积为由题设可知，的概率密度为关于的边缘密度为（1） 当或时，（2） 当时，有 于是 故 11. 设总体服从正态N（，）分布，,，是来自正态总体的样本，要使是的无偏估计量，则的值为（ D )A. B. C. D.解答：由题意得且相互独立，=1,2,n 故 而 从而 故 因此 故有 即时，是的无偏估计量，故选择答案D 12. 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N，Y的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为 ( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）3答案：B解析：当时，当时,因此为其间断点。13. 设总体X的概率密度为 其中 1 是未知参数，X1 ， X2， ，Xn 是取自 X 的样本， 则参数的矩估计量是（）. B. . . 答案：C 解析：=E(X)=，解得=， 的矩估计量为=14设总体，其中都未知，分别是的样本，两个样本相互独立，这时假设检验的统计量F=（）(A) (B)(C) (D)解答：C.15.现在有三个盒子装着小球，已知一号盒子装了个红球个黑球，二号盒子装了个红球个黑球，三号盒子装了个红球个黑球。现在某人从三个盒子中摸出一个红球。则红球取自一号盒子概率为（）A. B C D解 记 i = 取到第 i 号罐 i=1, 2, 3; = 取得红球 其中P(|1)=2/3, P(|2 )=3/4, P(|3 )=1/2, P(i)=1/3,i=1,2,3求得结果为.结果为16. 设是来自正态总体的样本，则统计量服从的分布是.(A) (B) (C) (D) 解：因为，因而，于是.而，又与相互独立，故由分布的定义知.因此，答案（D）正确.17. 设、独立同分布，且P(=0）=0.6，P(=1）=0.4，i=1,2,3,4.方程组只有零解的概率（ ）A：0.7312 B：0.2688 C：0.16 D:0.84答案：B解析：齐次方程组只有零解的充要条件是系数行列式不为零，即为=由于、相互独立所以、相互独立P(=1)=P(=1)=0.16P(=0)=P(=0)=0.84P(=1)=0.160.84=0.1344 P(=1)=0.160.84=0.1344 P(=0)=0.7312P(0)=0.268818. 设随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则必有 。 答案A二 填空题19.设是分别来自总体和的两个样本，的一个无偏估计形式为，则和应该满足条件_，当=_，=_时，最有效。答案： 解析：要使为的无偏估计，应有，所以当，。当带入中得求导得令得20.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为，则A= 。答案：1解题： 21.设XU（a ,b），且E (X )= 2, D (X )= 1/3, 则a = ，b = 。解：XU（a ,b） E (X )= 2 =(a + b)2 a + b = 4D (X )= 1/3=(b a )212 b - a = 2联立得a = 1 ，b = 3 。答案：a = 1 ，b = 322.1、 设,是随机变量，且：N，：N，：N，则、的大小关系为_解答：由标准正态分布的对称性知，由标准正态分布函数的几何意义知。23.设随机变量，随机变量 ,则 .解：已知，则解不等式得，则由题意得，为连续型随机变量已知，当时连续型随机变量时，是不可能事件，则有则答案为 0 .24. 解答： 设 25.设总体X的概率密度为为总体X的简单随机样本， 其样本方差为，则解答： 26.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则函数P=_.答案：解析：EX=DX= 又 于是有P=PX=2=27以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为答案：甲种产品滞销或乙种产品畅销。28.在【0，】上均匀地任取两数X与Y，求Pcos（X+Y）0为未知参数。,.,为简单随机样本，则的极大似然估计量为_答案：解： 似然函数 令其等于0， 的极大似然估计量为32.设相互独立，都服从参数为的指数分布，则当n充分大时，随机变量的近似服从的分布是三 解答题33.设为来自总体X的样本，且(1) 证明：,都是的无偏估计量，并判断哪一个更有效。(2) 是不是的无偏估计量。证明：（1） 同理 同理34.35.设总体X的概率密度为其中是未知参数，从总体中抽取简单随机样本，记。（1） 求总体的分布函数；（2） 求统计量的分布函数；（3） 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。解：（1）（2)（3) 的概率密度为 ，因为。所以作为的估计量不具有无偏性。36.设二维随机变量（X+Y）的概率密度为 求常数A及条件概率密度 解析：37.设二维随机变量的联合分布函数为，其中求：（1）A,B,C;(2)试问与是否独立？解答：（1） 由联合分布函数性质知：因为，从上往下分别为1,2,3式，由2,3解得，代入1式得所以（2） 由上可知，和的边缘分布函数分别为则，知与相互独立38.从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于，问样本容量应取多大？解：设样本均值为，则由题意，有，或，于是由 ，得，因此，即，故样本容量至少应取35.39.设二维随机变量（X，Y)的概率密度为 4041.在正常情况下，某炼钢厂的铁水含量（%）XN（4.55，），一日测得5炉铁水含碳量如下： 4.48, 4.40， 4.42， 4.45， 4.47在显著性水平=0.05下，试问该日铁水含碳量的均值是否有明显变化（在显著性水平=0.05下，查表可得=2.7764）解： 设铁水含碳量作为总体X，则X（4.55，），从中选取容量为5的样本，计算可得=4.444，=0.0011由题意，设原假设为：=4.55，则备择假设：4.55若原假设成立，则构造统计量t=t(4)P（）=拒绝域为代入数值：=7.051在显著性水平=0.05下，查表可得=2.77647.051所以拒绝接受原假设，即认为有显著性变化42.设随机变量X与Y独立分布，且X的概率分布X12P记(1) 求（）的概率分布；(2) 求的协方差。解答：(1)易知的可能取值均为：1，2.且 , 故的概率分布为UV12102(2) 而 故 43设两个随机变量X、Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量的方差。【解】令，则,。因独立正态变量的线性组合仍服从正态分布，故。44. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 45.设随机变量的概率分布为 P（=k）=，k=1，2求E，D。答案：E=k。右边级数求和可引进幂级数k，易知当1时，幂级数收敛，而当x=时，即为E。=()=，令=，故E=2，由于D=E，先求E=。引进幂级数=，令= =所以=。于是=，令=，E=6，所以D=E=64=246.点随机地落在中心在原点，半径为的圆周上，并且对弧长是均匀地分布，求（1） 落点的横坐标的概率分布密度函数;（2） 落点与点的弦长的概率分布密度函数.解：设落点的极角为，落点的横坐标为，落点与点的弦长为，则由题设可知 （1） 已知 对于,有 两边对求导，得的密度函数为 （2） 已知，又因为 所以 对于，有 两边对求导，所以，的密度函数为 47.小川去吃黄焖鸡米饭，饭场的人员采用大刀尽量均匀切之食指更具有和谐美，小川当天恰巧上完概论，甚是好奇，于是从已切好的鸡块中随机取9块获得每块重量如下：99.3、98.7、100.5、101.2、98.3、99.7、99.5、102.1、100.5设每块鸡服从正太分布N(,)小川上课时不小心睡着了，但他对鸡的口感要求很苛刻，一定要质量相近才会觉得好吃，你能帮小川求出在=1时每块鸡平均重的95%的置信区间吗？（）构造随机变量U=的置信区间为代入难度一般，只要学会了正太函数的参数估计公式并能灵活应用之那么解答不存在较大的困难48.设X，Y是相互独立的随机变量，Xb(n1,p),Yb(n2,p),证明： Z=X+Yb(n1+n2,p)证明：X和Y相互独立，都服从二项分布，设其分布律分别为PX=k=(k=0,1,2n)PY=r=(r=0,1,2n)则有PZ=i= = =下面证明=由=由二项式定理知左端的系数为，右端的系数为+=所以=故PZ=i=所以Z=X+Yb(n1+n2,p)49. 某车间生产一种零件，机器A生产出的零件长度X满足 X N (, )，其每个零件的合格率为。(1) 现在从机器A生产的零件中抽取3个零件，其中合格的个数为Z，求其分布律。(2) 在车间中有另一台机器B，它生产的零件长度满足YN（，），请比较=PX和=PY+的大小。 （3）现在对机器A生产的零件进行抽样调查，抽出9个零件量得长度如下（单位：毫米 ）6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 未知，请求出的置信度为0.95的置信区间。（，) 解：（1）P=（Z=k）=,k=0,1,2,3 （2） 将X，Y标准化，即 N(0，1)， N（0,1） ，则 =PX=P1， =PY=P1，又标准正态分布的对称性可知，=（3） 考虑样本方差，有 t(n-1) 则P=(（n-1）(n-1)=，其中=0.05， 所以的置信度为0.95的置信区间为（，） 计算得样本均值=6，样本方差S=0.33,，（8）=2.3060，50. 设随机变量的分布密度为=且E，求常数，并D.解：由题设及E 得 ， 方差 51.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为，Y的概率密度为 ，记Z=X+Y（1） 求 （2）求Z的概率密度【解析】（1） = （2）设Z的分布函数为 当时， Z的概率密度为 52.设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X 而Y的概率密度为f（y），求随机变量U=X+Y的概率密度g（） 解：设F（y）为y的分布函数，则 有全概率公式得 U=X+Y的分布函数为： G（）=P(X+Y) =0.3PX+Y/X=1+0.7X+Y/X=2 又X、Y