ZXXKCOM201309122341155993836.doc

2012-2013学年江苏省南京市江宁高中高三（上）12月迎市统测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（5分）已知，其中nR，i是虚数单位，则n=1考点：复数相等的充要条件专题：计算题分析：化简原式可得2=1+n+（n1）i，由复数相等可得，解之即可解答：解：，2=（1i）（1+ni），化简可得2=1+n+（n1）i，由复数相等可得，解得n=1，故答案为：1点评：本题考查复数相等的充要条件，属基础题2（5分）命题p：xR，2x2+10的否定是x0R，考点：命题的否定专题：证明题分析：根据全称命题“xM，p（x）”的否定p为“x0M，p（x）”即可求出解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，命题p：xR，2x2+10的否定是“x0R，”故答案为“x0R，”点评：掌握全称命题的否定是特称命题是解题的关键3（5分）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有36个（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题专题：概率与统计分析：如果一个数为奇数，且只能取1，2，3，4，5这五个数字，则个位数只能取1，3，5，进而根据分步原理，可得答案解答：解：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数必满足：个位数只能取1，3，5中一个，百位数和十位数没有限制故共有343=36个故答案为：36点评：本题考查的知识点是排列组合及简单计数问题，其中分析解决问题需要多少步骤，每个步骤分别有几种情况是解答的关键4（5分）若根据5名儿童的年龄x（岁）和体重y（kg）的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是17kg考点：回归分析的初步应用专题：计算题；概率与统计分析：根据所给的5名儿童的年龄做出平均年龄，这是样本中心点的横标，把横标代入线性回归方程求出纵标，就是要求的平均体重解答：解：5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，这5名儿童的平均年龄是=5，用年龄预报体重的回归方程是，这5名儿童的平均体重是y=25+7=17（kg）故答案为：17点评：本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是知道样本中心点满足线性回归直线的方程，代入求解即可5（5分）定义=x（x+1）（x+2）（x+n1），其中xR，nN*，例如=（4）（3）（2）（1）=24，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数考点：函数奇偶性的判断专题：计算题分析：由于f（x）=（x1004）（x1003）（x1）x（x+1）（x+1004），可判断f（x）=f（x），从而可得答案解答：解：f（x）=（x1004）（x1003）（x1）x（x+1）（x+1004），f（x）=（x1004）（x1003）（x1）（x）（x+1）（x+1004）=（1）2009（x+1004）（x+1003）（x+1）x（x1）（x1004=f（x），f（x）为奇函数故答案为：奇函数点评：本题考查函数奇偶性的判断，分析得到f（x）=（x1004）（x1003）（x1）x（x+1）（x+1004）是判断的关键，考查分析与转化的能力，属于中档题6（5分）曲线y=x2+6x，则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为y=6x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：由y=x2+6x，知y=2x+6，由曲线y=x2+6x过坐标原点，能求出过坐标原点且与此曲线相切的直线方程解答：解：y=x2+6x，y=2x+6，曲线y=x2+6x过坐标原点，k=y|x=0=6，过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为y=6x故答案为：y=6x点评：本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用7（5分）已知复数z=x+yi，且，则的最大值考点：复数求模专题：计算题；数形结合分析：由题意求出x，y的关系，利用 的几何意义点与原点连线的斜率，求出它的最大值解答：解：，即（x2）2+y2=3就是以（2，0）为圆心以 为半径的圆，的几何意义点与原点连线的斜率，易得 的最大值是：故答案为：点评：本题考查复数的基本概念，复数求模，简单线性规划，考查计算能力，是中档题8（5分）用反证法证明命题：“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除考点：反证法专题：阅读型分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故答案为：a，b都不能被5整除点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧9（5分）给出下面类比推理命题（其中R为实数集，C为复数集）：“若a，bR，则ab=0a=b”类比推出“若a，bC，则ab=0a=b”；“若a，bR，则ab=0a=0或b=0”类比推出“若a，bC，则ab=0a=0或b=0”；“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若a，bR，则a2+b20”类比推出“若a，bC，则a2+b20”所有命题中类比结论正确的序号是考点：类比推理专题：规律型分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答解答：解：在复数集C中，若两个复数满足ab=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等故正确；在复数集C中，若两个复数满足ab=0，则它们的中必有一个为零故正确；若a，bC，当a=1+i，b=i时，ab=10，但a，b 是两个虚数，不能比较大小故错误若a，bC，当a=i，b=i时，a2+b2=20，不能得出a2+b20，故错故所有命题中类比结论正确的序号是 故答案为：点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明10（5分）对于R上的可导函数f（x），若满足（x2）f（x）0，则f（0）+f（3）与2f（2）的大小关系为不小于（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）考点：函数的单调性与导数的关系专题：导数的概念及应用分析：借助导数知识，根据（x2）f（x）0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可解答：解：对于R上可导的任意函数f（x），满足（x2）f（x）0有或，即当x2，+）时，f（x）为增函数，当x（，2时，f（x）为减函数，f（0）f（2），f（3）f（2）f（0）+f（3）2f（2）故答案为：不小于点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小11（5分）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，m，nN），共有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有C10Cnm+C11Cnm1=C10Cn+1m，即有等式：Cnm+Cnm1=Cn+1m成立试根据上述思想化简下列式子：Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk=Cn+km（1kmn，k，m，mN）考点：归纳推理专题：压轴题；规律型分析：从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，m，nN），共有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m1个白球，则Cnm+Cnm1=Cn+1m根据上述思想，在式子：Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案解答：解：在Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数Cn+km故选Cn+km点评：这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案12（5分）已知x（0，1，则f（x）的值域是0，2）考点：微积分基本定理；函数的值域专题：导数的综合应用分析：利用微积分基本定理先求出函数f（x）的解析式，再利用一次函数的单调性即可求出其值域解答：解：=22x，即f（x）=2x+2x（0，1，f（1）f（x）f（0），即0f（x）2函数f（x）的值域是0，2）故答案为0，2）点评：熟练微积分基本定理和一次函数的单调性是解题的关键13（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的数据如下表：阅读时间（小时）00.511.52人数52010105由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为0.9小时考点：众数、中位数、平均数专题：计算题；图表型分析：根据通过样本去估计总体的统计思想：可用这50名学生平均课外阅读时间，估计该校学生平均课外阅读时间结合已知中的数据，我们可以根据不同阅读时间段的大小及相应的学生人数，求出学生总人数和阅读总时间，代入平均数公式，即可得到答案解答：解：50名学生总的阅读时间为：0.520+110+1.510+25=45小时故校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间约为4550=0.9（小时）故答案为：0.9点评：本题考查了平均数的定义和从图表中获取信息的能力同时考查了用样本估计总体的统计思想的运用14（5分）下列四个命题：“ab”是“2a2b”成立的充要条件；“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件；函数f（x）=ax2+bx（xR）为奇函数的充要条件是“a=0”定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的必要条件是其中真命题的序号是（把真命题的序号都填上）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用分析：根据函数y=2x是R上的增函数可得正确通过举反例可得不正确根据奇函数的定义可得正确由偶函数的定义不能推出，但由能推出函数y=f（x）是偶函数，可得不正确解答：解：由于函数y=2x是R上的增函数，故由“ab”能推出“2a2b”，而且由“2a2b”成立能推出“ab”成立，故“ab”是“2a2b”成立的充要条件，故正确由“a=b”成立不能推出“lga=lgb”成立，如a=b=1时，“lga=lgb”不成立但由“lga=lgb”成立，能推出“a=b”成立，故“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件，故不正确函数f（x）=ax2+bx（xR）为奇函数，等价于f（x）=f（x），即 ax2 bx=（ax2+bx），等价于 a=0，故函数f（x）=ax2+bx（xR）为奇函数的充要条件是“a=0”，故正确由函数y=f（x）是偶函数可得 f（x）=f（x），但不能推出 成立，（如f（x）=0时）但由可得 f（x）=f（x），即函数y=f（x）是偶函数，故定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的充分条件是，故不正确点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的奇偶性可单调性，属于基础题二、解答题（共5小题，满分70分）15（14分）试求使不等式对一切正整数n都成立的最小自然数t的值，并用数学归纳法加以证明考点：数学归纳法专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法分析：设，确定函数的单调性，求出最小值，即可得到最小自然数t的值，在用数学归纳法加以证明解答：解：设=f（n）递增，f（n）最小为f（n）52t对一切正整数n都成立，自然数t2自然数t的最小值为2 （7分）下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=，n=1时成立（2）假设当n=k时成立，即那么当n=k+1时，左边=n=k+1时也成立根据（1）（2）可知成立 （14分）注：第（1）小题也可归纳猜想得出自然数t的最小值为2点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（14分）已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图2）（I）证明：平面PADPCD；（II）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA：VMACB=2：1；（III）在M满足（）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：计算题；证明题分析：（I）由已知中CDAD及面PAD面ABCD，我们根据面面垂直的性质定理得到CD平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PADPCD；（II）根据（I）的结论，平面PAB平面ABCD，在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，利用体积公式，分别计算VPDCMA，VMACB，再根据VPDCMA：VMACB=2：1，即可求出满足条件的M为PB的中点；（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如如图所示的空间直角坐标系，求出相关顶点的坐标，进而求出直线AM的方向向量及平面PCD的法向量，判定两个向量是否垂直，即可判断直线AM是否平行面PCD解答：解：（I）证明：依题意知：CDAD又面PAD面ABCDDC平面PAD（2分）平面PADPCD；（II）由（I）知PA平面ABCD平面PAB平面ABCD（4分）在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，设MN=h则（6分）要使即M为PB的中点；（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如如图所示的空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）由（I）知平面PAD平面PCD，作AQPD，则的法向量（10分）又PAD为等腰Rt因为所以AM与平面PCD不平行（13分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线、平面间平行与垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答此类问题的关键17（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，cR）满足：对任意实数x，都有f（x）x，且当x（1，3）时，有成立（1）证明：f（2）=2；（2）若f（2）=0，f（x）的表达式；（3）设，x0，+），若g（x）图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法专题：综合题；转化思想；数形结合法分析：（1）由已知f（2）2恒成立，又由成立得（2），由此两种情况可得f（2）=2（2）f（2）=0，由（1）证明知f（2）=2，f（x）的表达式中有三个未知数，由两函数值只能得出两个方程，再对任意实数x，都有f（x）x，这一恒成立的关系得到一0，由此可以得到a=，将此三方程联立可解出三个参数的值，求出f（x）的表达式；（3）方法一：由题f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，由于f（x）图象与y轴交点在直线与y轴交点上方，在与y轴相交点处的切线斜率为，故在直线与二次函数相切的切点处一定有切线的斜率大于直线的斜率，且，将两个方程联立，用判别式为0求m的最大值方法二：必须恒成立，即x2+4（1m）x+20在x0，+）恒成立转化为二次函数图象与x轴在x0，+）无交点的问题，由于g（x）的单调性不确定，故本题要分两种情况讨论，一种是对称轴在y轴右侧，此时需要判别式小于0，一类是判别式大于0，对称轴小于0，且x=0处的函数值大于等于0，转化出相应的不等式求解解答：解：（1）由条件知f（2）=4a+2b+c2恒成立又取x=2时，与恒成立，f（2）=2（2）4a+c=2b=1，b=，c=14a又f（x）x恒成立，即ax2+（b1）x+c0恒成立，整理得0故可以解出：，（3）解法1：由分析条件知道，只要f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：解法2：必须恒成立，即x2+4（1m）x+20在x0，+）恒成立0，即4（1m）280，解得：；解出：又时，经验证不合题意总之，点评：本题是二次函数的一道综合题，考查到了分类讨论的思想，对分析转化的推理能力要求较高18（14分）（2010攀枝花二模）已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax3），其中a为常数（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若函数f（x）在区间（1，0）上是增函数，求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+f（x），x0，2，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题分析：（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f（1）=0，代入导函数即可；（2）要求函数f（x）在区间（1，0）上是增函数，则要求导函数f（x）在区间（1，0）大于等于零即可，另外要注意对a的讨论；（3）要求函数g（x）=f（x）+f（x），x0，2，在x=0处取得最大值，即求函数g（x）的极值并将之与函数端点值g（0），g（2）进行比较大小，得出在函数g（x）0，2上的最大值只能为g（0）或g（2），再根据条件在x=0处取得最大值，得到g（0）g（2）即可解答：解：（1）f（x）=ax33x2f（x）=3ax26x=3x（ax2）x=1是f（x）的一个极值点，f（1）=0，a=2（2）当a=0时，f（x）=3x2在区间（1，0）上是增函数，a=0符合题意；当a0时，f（x）=3ax，令f（x）=0得：x1=0，x2=当a0时，对任意x（1，0），f（x）0，a0 （符合题意）当a0时，当时，f（x）0，2a0（符合题意）综上所述，a2（3）a0，g（x）=ax3+（3a3）x26x，x0，2g（x）=3ax2+2（3a3）x6=3ax2+2（a1）x2，令g（x）=0，即ax2+2（a1）x2=0（*），显然有=4a2+40设方程（*）的两个根为x1，x2，由（*）式得，不妨设x10x2当0x22时，g（x2）为极小值所以g（x）在0，2上的最大值只能为g（0）或g（2）当x22时，由于g（x）在0，2上是单调递减函数所以最大值为g（0），所以在0，2上的最大值只能为g（0）或g（2）又已知g（x）在x=0处取得最大值所以g（0）g（2）即020a24，解得a，又因为a0，所以故答案为：（1）a=2；（2）a2；（3）点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，关键在于比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 的大小，从而得到函数的最值，另外还有分类讨论的思想，属于基础题19（14分）（2008杨浦区二模）（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（x，y）（为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（x，y）=0，则称曲线C