理论力学谢传锋第九章习题解答.doc

第九章部分习题解答第九章部分习题解答 9 2 解 解 取整个系统为研究对象 不考虑摩擦 该系统具 有理想约束 作用在系统上的主动力为重力 如图 a 所示 假设重物的加速gMgM 21 2 M 度的方向竖直向下 则重物的加速度竖直向 2 a 1 M 1 a 上 两个重物惯性力为 I2I1 F F 11I1 aMF 22I2 aMF a 该系统有一个自由度 假设重物有一向下的虚位 2 M 移 则重物的虚位移竖直向上 由动力学普遍方程有 2 x 1 M 1 x a b 0 2I21I12211 xFxFxgMxgMW 根据运动学关系可知 c 21 2 1 xx 21 2 1 aa 将 a 式 c 式代入 b 式可得 对于任意有0 2 x b 2 12 12 2 m s8 2 4 24 g MM MM a 方向竖直向下 取重物为研究对象 受力如图 b 所示 由牛顿第二定律有 2 M 222 aMTgM 解得绳子的拉力 本题也可以用动能定理 动静法 拉格朗日方程求解 N1 56 T 9 4 解 解 如图所示该系统为保守系统 有一个自由度 取为广义坐标 系统的动能为 2 2 1 RlmT M1g M2g FI2 FI1 x2 x1 M2g T a2 取圆柱轴线 O 所在的水平面为零势面 图示瞬时系统的势能为 cos sin RlRmgV 拉格朗日函数 代入拉格朗日方程VTL 0 LL dt d 整理得摆的运动微分方程为 0sin 2 gRRl 9 6 解 解 如图所示 该系统为保守系统 有一个 自由度 取弧坐标 为广义坐标 系统的动s 能为 2 2 1 SmT 取轨线最低点 O 所在的水平面为零势面 图 示瞬时系统的势能为 mghV 由题可知 因此有 则拉格朗日函数 b s ds dh 4 sin b s d b s h S o 8 s 4 2 22 82 1 s b mg smVTL 代入拉格朗日方程 整理得摆的运动微分方程为 解得质点0 s L s L dt d 0 4 s b g s 的运动规律为 其中为积分常数 2 1 sin 0 t b g As 0 A 9 13 解 解 1 求质点的运动微分方程 圆环 质量不计 以匀角速度绕铅垂轴 AB 转动 该系统有一个自由度 取角度 为广义坐标 系统的动能为 零势面 h 零势面 22 sin 2 1 2 1 rmrmT 如图所示 取为零势位 图示瞬时系统的势能为0 cos1 mgrV 则拉格朗日函数 cos1 sin 2 1 2222 mgrmrVTL 代入拉格朗日方程 整理得质点的运0 LL dt d 动微分方程为 0sin cos 2 r g 2 求维持圆环作匀速转动的力偶M 如果求力偶 必须考虑圆环绕铅垂轴 AB 的一般转动 因此解除 圆环绕铅垂轴M AB 匀速转动 这一约束 将力偶视为主动力 此时系统有两个自由度 取角度和圆 M 环绕轴 AB 的转角为广义坐标 系统的势能不变 动能表达式中以代替 则拉格朗 日函数为 cos1 sin 2 1 2222 mgrmrVTL 力偶为非有势力 它对应于广义坐标和的广义力计算如下 取 M 0 0 在这组虚位移下力偶所做的虚功为 因此力偶对应于广义坐标的广义M0 WM 力 取 在这组虚位移下力偶所做的虚功为 0 M Q 0 0 M MW 因此力偶对应于广义坐标的广义力 M M W Q M 代入拉格朗日方程 整理可得0 M Q LL dt d 0sin r g 代入拉格朗日方程 整理可得MQ LL dt d M 零势位 Mmrmr 2sinsin 222 圆环绕铅垂轴 AB 以匀速转动 即 代入上式可得 0 2sin 2 mrM 9 14 解 解 以刚体为研究对象 有一个自由度 如图 a 所示 取和 OC 的夹角为广义GO3 坐标 若以框架为动系 则刚体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动 OCOO 21 21O O 牵连运动是以角速度绕轴的定轴转动 绝对角速度是和的矢量和 以 OC a 为轴 为轴 建立一个固连在刚体上的坐标系 该刚体的角速度可表 21O O x GO3 y a 示成 a zji sincos a b 由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴 则系统的动能为zyxO 33 O sin cos 2 1 2 3 2 2 2 1 JJJT 取为零势位 图示瞬时系统的势能为 则拉格朗日函数0 cos1 mglV cos1 sin cos 2 1 2 3 2 2 2 1 mglJJJVTL 代入拉格朗日方程 整理可得物体的运动微分方程为0 LL dt d sincossin 32 2 1 mglJJJ x z y z G O3 垂直于 O1O2的平面 y 9 15 解 解 框架 质量不计 以匀角速度绕铅垂边转动 系统有一个自由度 取 AB 杆与铅垂 边的夹角为广义坐标 若以框架为动系 AB 杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相 对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和 且相对速度和牵连速度相互垂直且相对速度和牵连速度相互垂直 因此杆 AB 的 动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和 如图所示 AB 杆相对于框 架作平面运动 速度瞬心 为 O 点 设 AB 杆的质心为 C 由几何关系可知 则质心为 C 的速度大小为 杆 AB 相对于框架运动的动能lBCOCAC lvC 2222 2 C1 3 2 2 12 1 2 1 2 1 mllmmvT 杆 AB 随框架转动的动能 222 2 0 2 2 sin 3 2 sin 22 1 mlxdx l m T l 系统的动能 21 TTT 假设时杆势能为零 则任意位置系统的 0 90 势能为 则拉格朗日函数 cosmglV cos sin 3 2 2222 mglmlVTL 代入拉格朗日方程 整理得系统的运动微分方程0 LL dt d 0sin3cossin44 2 gll 由于角描述的是杆 AB 相对于框架的位置变化 因此上式也就是杆的相对运动微分方程 9 17 解 解 取楔块 A B 构成的系统为研究对象 该系统有二个自由度 取楔块 A 水平滑动的位 移 以及楔块 B 相对于 A 滑动的位移为广义坐标 若以楔块 A 为动系 则楔块 A 的速xs 度 楔块 B 的速度 以及 B 相对于 A A v B v 的相对速度满足如下的矢量关系 方向如图 所示 C O x s A v Br v BrAB vvv 系统的动能为 sin cos 222 1 2 1 22 2 2 1 2 BB 2 AA ssx g P x g P vmvmT 2 22 2 21 2 1 cos 1 2 1 sP g sxP g xPP g 取过轴的水平为零势面 某瞬时系统的势能为 则拉格朗日函数x sin 2s PV sin 2 1 cos 1 2 1 2 2 22 2 21 sPsP g sxP g xPP g VTL 水平力对应于广义坐标和的广义力计算如下 取 在这组虚位移Fxs0 0 sx 下力所做的虚功为 因此力对应于广义坐标的广义力 取FxFW x FxFQ F x 在这组虚位移下力所做的虚功为 因此力对应0 0 sx FsFW s cos F 于广义坐标的广义力 s cosFQ F s 代入拉格朗日方程 整理可得FQ x L x L dt d F x a FgsPxPP cos 221 代入拉格朗日方程 整理可得 cos FQ s L s L dt d F s b gPFsPxP sincos cos 222 由方程 a b 解得 楔块 A 的加速度 方向水平向右 sin sin cossin 2 21 2 A g PP PF xa 楔块 B 的相对加速度 方向沿斜面向上 g PPP PPPFP sa sin sin cos 2 212 2211 Br 9 18 解 解 取楔块 ABC 和圆柱构成的系统为研究对象 该系统为保守系统 有二个自由度 取楔 块水平滑动的位移 以及圆柱的转角 A 点 0 为广义坐标 若以楔块为动系 则x 楔块的速度 圆柱轴心 O 的速度 A v o v 以及轴心 O 相对 A 的相对速度满足如下的 矢量关系 方向如图所示 OrAO vvv 圆柱在斜面上作纯滚动有 系rv Or 统的动能为 22 1 2 O1 2 A 2 1 2 1 2 1 2 1 rmvmmvT 22 1 22 1 2 4 1 sin cos 2 1 2 1 rmrrxmxm 22 11 2 1 4 3 cos 2 1 rmxrmxmm 取过楔块上 A 点的水平面为零势面 图示瞬时系统的势能为 sin 1 rgmV 则拉格朗日函数 sin 4 3 cos 2 1 1 22 11 2 1 rgmrmxrmxmmVTL 代入拉格朗日方程 整理可得0 x L x L dt d a 0cos 11 rmxmm 代入拉格朗日方程 整理可得0 LL dt d b sin2cos23gxr 求解方程 a b 得 楔块的加速度 方向水平向左 g mmm m xa 2 11 1 cos2 3 2sin 圆柱的角加速度 顺时针方向 g rmmm mm cos2 3 sin 2 2 11 1 x A v Or v 零势面 9 21 解 解 以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象 该系统为保守系统 有二个自由度 如图 所示 设重物的坐标为 重物相对于滑轮 B 的轮心的位置为 系统的动能 1 M 1 x 2 M 2 x 为 2 213 2 212 2 11 2 1 2 1 2 1 xxmxxmxmT 2123 2 232 2 1321 2 1 2 1 xxmmxmmxmmm 设时系统的势能为零 则任意位置系统的势能为0 21 xx 21312211 xxgmxxgmgxmV 2321321 gxmmgxmmm 拉格朗日函数 2123 2 232 2 1321 2 1 2 1 xxmmxmmxmmmVTL 2321321 gxmmgxmmm 代入拉格朗日方程 整理可得0 11 x L x L dt d a 0 3212321321 gmmmxmmxmmm 代入拉格朗日方程 整理可得0 22 x L x L dt d b 0 32132232 gmmxmmxmm 由方程 a b 解得重物的加速度 1 M g mmmmm mmmmm xa 32321 32321 11 4 4 初始时刻系统静止 若使下降则 即 1 M0 1 a 32 32 1 4 mm mm m x1 x2 9 22 解 解 取整个系统为研究对象 该系统有二个自由度 取平台的水平坐标 以及物体相xM 对于平台的坐标 弹簧原长为坐标原点 为广义坐标 系统的动能为s 2221 22 sx g P x g P T 2 22 2 21 2 11 2 1 sP g sxP g xPP g 设初始时刻势能为零 则任意时刻系 统的势能为 2 2 1 ksV 则拉格朗日函数 22 22 2 21 2 1 2 11 2 1 kssP g sxP g xPP g VTL 水平力对应于广义坐标和的广义力计算如下 取 在这组虚位移Fxs0 0 sx 下力所做的虚功为 因此力对应于广义坐标的广义力 取FxFW x FxFQ F x 在这组虚位移下力所做的虚功为 因此力对应于广义坐0 0 sx F0 s W F 标的广义力 s0 F s Q 代入拉格朗日方程 整理可得FQ x L x L dt d F x a FgsPxPP 221 代入拉格朗日方程 整理可得0 F s Q s L s L dt d b 0 22 kgssPxP 由方程 a 可得 c s PP P PP Fg x 21 2 21 代入方程 b 得 d FgPkgsPPsPP 22121 x s 0 l 解微分方程 d 得 其中 cos 21 2 21 2 PPk FP pt PPk FP s 21 212 PP kgPP p 求导得 代入方程 c 可得pt P Fg scos 1 平台的加速度 方向水平向右 cos1 1 2 21 1 pt P P g PP F xa 物体 M 的加速度 方向水平向右 cos1 21 2 ptg PP F sxa 9 27 解 解 取整个系统为研究对象 该系统有二个自由度 取 滑块的水平坐标 以及杆 AB 与铅垂方向的夹角为x 广义坐标 如图所示 系统的动能为 2 B2 2 A1 2 1 2 1 vmvmT sin cos 2 1 2 1 22 2 2 1 llxmxm 22 22 2 21 2 1 cos 2 1 lmxlmxmm 设时势能为零 图示瞬时系统的势能为 拉格朗日函数0 cos1 2 glmV cos1 2 1 cos 2 1 2 22 22 2 21 glmlmxlmxmmVTL 拉格朗日函数中不显含广义坐标和时间 t 存在循环积分和广义能量积分 即x 常数 cos 221 lmxmm x T x L 常数 cos1 2 1 cos 2 1 2 22 22 2 21 glmlmxlmxmmVT 9 28 A v BA v 解 解 取整个系统为研究对象 该系统有二个自由度 取滑块 B 沿斜面的坐标 以及杆s OD 与铅垂方向的夹角为广义坐标 如图所示 杆 OD 作平面运动 有 CBBC v