平行线等分线段定理.ppt

平行线等分线段定理 黑龙江省大庆市萨尔图区进修校付淑艳 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 A B C 证明 连结AB1 A1B BC1 B1C AB BC S ABB1 S CBB1 l1 l2 l3 A1B1 B1C1 说明 这里是用面积来证明的 请你注意学习这种方法 l1 l2 l3 A1 B1 C1 S A1BB1 S C1BB1 已知 直线l1 l2 l3 AB BC 求证 A1B1 B1C1 S ABB1 S A1BB1 S CBB1 S C1BB1 定理的适用情况1 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 直线l1 l2 l3 AB BC A1B1 B1C1 定理的适用情况2 A B C l1 l2 l3 A1 C1 直线l1 l3 AB BC A1B BC1 不再用全等三角形来证明 定理的适用情况3 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 直线l1 l2 l3 AB BC A1B1 B1C1 从特殊情况的研究中得到后面的两个推论 推论1 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论1 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论1 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论1 A B C A1 B1 C1 推论1 A B C A1 B1 C1 推论1 A B C A1 B1 C1 推论1 A B C A1 B1 C1 推论1 A B C A1 B1 C1 推论1 A B C A1 B1 C1 推论1 经过梯形一腰的中点与底边平行的直线 必平分另一腰 A1B1 B1C1 在梯形ACC1A1中 AA1 CC1 AB BC BB1 CC1 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C B1 C1 推论2 A B C B1 C1 推论2 A B C l1 l2 l3 A1 B1 C1 推论2 A B C B1 C1 推论2 A B C B1 C1 推论2 推论2 A B C B1 C1 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 在 ACC1中 AB1 B1C AB BC BB1 CC1 A B C B1 C1 AF交BE于O 且AO OD DF 厘米 若BE 60厘米 那么BO C D E F O 20 一 填空题 1 已知AB CD EF A B 且AE BE 那么DF CF 2 已知AD EF BC E F B C A D E是AB的中点 则DG H是 E F B C A D G H 的中点 F是 的中点 BG AC CD 3 已知AD EF BC 4 已知 ABC中 AB AC AD BC M是AD的中点 CM交AB于P DN CM交AB于N 如果AB 6厘米 则PN 厘米 2 A B C D M P N 5 已知 ABC中 CD平分 ACB A B C D AE CD交BC于E E DF CB交AB于F F AF 4厘米 则AB 厘米 8 二 判断题 1 若AB CD EF A B C D E F AC CE 则BD DF AC CE 则AB CD EF 2 如图 若AC CE BD DF A B C D E F A B C D E F 3 过平行四边形对角线的交点且平行于一 组对边的直线必平分另一组对边 4 如图 已知 ABCD中 AA1 l BB1 l CC1 l DD1 l 连结AC BD交于点O 作OO1 l 则A1B1 C1D1 A B C D O l A1 B1 C1 D1 O1 5 过梯形一腰的中点且平行于底边的直线平 分两条对角线及另一腰 P N Q 三 证明题 1 已知 Rt ABC中 ACB 90 A B C D为BC边的中点 D DE BC交AB于E E 求证 AB 2CE 证明 ACB 90 BDE ACB DE CA D是BC的中点 E是AB的中点 AB 2CE DE BC BDE 90 2 已知 ABCD中 E F分别是AB DC A B C D E F 的中点 M N 求证 BM MN NC 分析 需证明EC AF 证明 四边形ABCD是平行四边形 AB DC AB DC 分别交BD于M N E F分别是AB DC的中点 AE FC 四边形AECF是平行四边形 EC AF BM MN MN ND 即BM MN ND CE AF 3 已知 梯形ABCD中 AD BC A B C D E E是AB边的中点 EF DC 交BC于F F 求证 DC 2EF 证明 M 作EM BC交DC于M E是梯形ABCD的腰AB的中点 M是DC的中点 即DC 2MC EF DC EF MC DC 2EF 4 已知 直角梯形ABCD中 AD BC ABC 90 A B C D E E是DC边的中点 求证 AE BE 分析 需证E在AB的中垂线上 证明 F 作EF BC交AB于F E是梯形ABCD的腰DC的中点 F是AB的中点 EF BC ABC 90 AFE ABC 90 EF是AB的垂直平分线 AE BE 5 已知 ABC的两中线AD BE相交于点 A B C D E G G CH EB交AD的延长线于点H H 求证 AG 2GD 分析 需要证明GH 2GD 2DH 证明 AD BE是中线 AE EC BD DC CH EB AG GH AG 2GD 本题说明三角形的两中线的交点把中线分成2 1的两部分 这个结论叫做重心定理 现行课本已把它略去 GD DH 6 已知 梯形ABCD中 AD BC A B C D E ABDE是平行四边形 AD的延长线交EC于F F 求证 EF FC 分析 需证明AF BC在其他直线上截得相等的线段 6 已知 梯形ABCD中 AD BC A B C D E ABDE是平行四边形 AD的延长线交EC于F F 求证 EF FC 分析 需证明AF BC在其他直线上截得相等的线段 证法1 O 连结BE交AF于点O 四边形ABDE是平行四边形 AF BC EF FC BO OE A B C D E F 证法2 H 延长ED交BC于点H 四边形ABDE是平行四边形 AF BC EF FC 四边形ABHD是平行四边形 AB DH ED DH AB ED 即AB DH 且AB ED A B C D E F 证法3 M A B C D E F 证法4 N 证法5 A B C D E F P AAS 分析 本题还有多种构造全等形的证法 例如 证法6 AAS A B C D E F Q 证法7 A B C D E F S AAS 证法8 A B C D E F T AAS 证法9 AAS A B C D E F P 证法10 AAS A B C D E F Q 证法11 AAS A B C D E F S 证法12 AAS A B C D E F T 7 已知 ABC中 AB AC D在AB上 F在AC的延长线上 且BD CF DF交BC于E 求证 DE EF 分析 这是一道应已证过的题 除用证三角形全等的方法外 本题还可用平行线等分线段定理的推论来证明 这里给出动画显示 证明的语句略去 证法1 A B C D E F H 证法2 A B C D E F H 以下略去 8 已知 AC AB DB AB O是CD的中点 求证 OA OB 分析 需证明点O在AB的垂直平分线上 证明 作OE AB于E AC AB DB AB CAB 90 DBA 90 CAB OEA DBA AC OE DB O是CD的中点 E是AB的中点 OE是AB的垂直平分线 OA OB 则 OEA 90 A B C D O E 9 已知 AD为 ABC的中线 A B C D M P M为AD的中点 直线CM交AB于点P 求证 AP 1 3 AB 分析 可证明BP 2AP 证明 Q 作DQ CP交AB于点Q D是BC的中点 M是AD的中点 Q是BP的中点 P是AQ的中点 AP PQ QB AP 3 1 AB 10 已知 ACB 90 AC BC A B C 求证 MN NB 分析 若结论成立 则过B作NC的平行线交直线AC必截得相等的线段 反之亦然 D E F M N C