中考数学专题复习二次函数与圆、三角函数 训练 （含答案）

与三角函数、圆的关系 专题练习（含答案）一、与圆的问题1（2018日照）如图，已知点A（1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上（1）求抛物线解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使BQC=BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由2、（2019日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由3、（2019潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），ABO的中线AC与y轴交于点C，且M经过O，A，C三点（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PEy轴，交直线AD于点E若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F当EF4时，求点P的坐标4.（2019鄂尔多斯）如图，抛物线y=ax2+bx2（a0）与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x与该抛物线交于E，F两点（1）求抛物线的解析式（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PHEF于点H，求PH的最大值（3）以点C为圆心，1为半径作圆，C上是否存在点M，使得BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由二、三角函数的关系1、(2019泰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,3),该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式; (2)求tanABC.2（2019滨州）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值答案与提示一、与圆的问题1、【分析】本题虽未直接与圆无关，但BC和BAC一定，可根据同弧所对的圆周角相等，解决此问题，因此转化成圆的问题去解决。解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），将C（0，1）代入得3a=1，解得：a=，抛物线的解析式为y=x2+x+1（2）过点P作PDx，交BC与点D设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=，直线BC的解析式为y=x+1设点P（x，x2+x+1），则D（x，x+1）PD=（x2+x+1）（x+1）=x2+x，SPBC=OBDP=3（x2+x）=x2+x又SPBC=1，x2+x=1，整理得：x23x+2=0，解得：x=1或x=2，点P的坐标为（1，）或（2，1）（3）存在A（1，0），C（0，1），OC=OA=1BAC=45BQC=BAC=45，点Q为ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点设ABC外接圆圆心为M，则CMB=90设M的半径为x，则RtCMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），AC的垂直平分线的为直线y=x，AB的垂直平分线为直线x=1，点M为直线y=x与x=1的交点，即M（1，1），Q的坐标为（1，1）2、解：（1）直线y5x+5，x0时，y5 C（0，5）y5x+50时，解得：x1 A（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A，C两点 解得：抛物线解析式为yx26x+5当yx26x+50时，解得：x11，x25 B（5，0）（2）如图1，过点M作MHx轴于点HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5 SABCABOC4510点M为x轴下方抛物线上的点 设M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四边形AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD BD541AB4，BP2 PBDABP PBDABP PDAP PC+PAPC+PD 当点C、P、D在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD最小CD PC+PA的最小值为3、解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），点A（4，0），则点M（2，1）；（2）P与直线AD，则CAD90，设：CAO，则CAOODAPEH，tanCAOtan，则sin，cos，AC，则CD10，则点D（0，8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：直线AD的表达式为：y2x8；（3）抛物线的表达式为：ya（x2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx23x+4，过点P作PHEF，则EHEF2，cosPEH，解得：PE5，设点P（x，x23x+4），则点E（x，2x8），则PEx23x+42x+85，解得x或2，则点P（，）或（2，1）4.解：（1）抛物线y=ax2+bx2（a0）与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点， 抛物线的解析式为y=x2+x2；（2）如图1，过点P作直线l，使lEF，过点O作OPl，当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP，直线EF的解析式为y=x，设直线l的解析式为y=x+m，抛物线的解析式为y=x2+x2，联立化简得，x2+x2m=0，=4(2m)=0，m=，直线l的解析式为y=x，令y=0，则x=，M（，0），OM=，在RtOPM中，OP=，PH最大=（3）当CMB=90时，如图2，BM是O的切线，C半径为1，B（1，0），BM2y轴，CBM2=BCO，M2（1，2），BM2=2，BM1与BM2是C的切线，BM1=BM2=2，CBM1=BCM2，CBM1=BCO，BD=CD，在RtBOD中，OD2+OB2=BD2，OD2+1=(2OD)2，OD=，BD=，DM1=，过点M1作M1Qy轴，M1Qx轴，BODM1QD，=，=，M1Q=，DQ=，OQ=+=，M1（，），当BCM=90时，如图3，OCM3+OCB=90，OCB+OBC=90，OCM3=OBC，在RtBOC中，OB=1，OC=2，tanOBC=2，tanOCM3=2，过点M3作M3Hy轴于H，在RtCHM3中，CM3=1，设CH=m，则M3H=2m，根据勾股定理得，m2+(2m)2=1，m=，M3H=2m=，OH=OCCH=2，M3（，2），而点M4与M3关于点C对称，M4（，2），即满足条件的点M的坐标为（，）或（1，2）或（，2）或（，2） 二、三角函数的关系1、解：(1)因为二次函数图像的顶点坐标为(4,3),设该二次函数表达式为ya(x4)23,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入ya(x4)23,解得a,所以y(x4)23;(2)令x0,得y,所以C(0,),OC,令y0,得,x11,x27,所以B(7,0),OB,所以在RtOBC中,tanABC;2、解：（1）当x0时，y4，则点A的坐标为（0，4），当y0时，0x2+x+4，解得，x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（8，0），OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90OAD45，ODA45OAOD，点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+4；（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t， t2+t+4），则点N的坐标为（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，PNx轴，PNy轴，OADPNH45，作PHAD于点H，则PHN90，PH（t2+t）t（t6）2+，当t