求异面直线距离的几种方法毕业论文.doc

学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 学士学位论文求异面直线距离的几种方法2摘要本论文分别借用向量方法，平行六面体的高，向量的射影，点到平面的距离，两点间的距离和平行平面的距离，给出空间两异面直线的距离公式的方法来总结了求异面直线之间距离的定义法，转化法，极值法，射影法等十种方法。关键词：异面直线； 异面直线之间的距离； 目录摘要1引言11.定义法（直接法）12.转化法22.1 转化为线面距离法22.2 转化为面面距离法33.极值法34.射影法45.公式法56.平移法77.垂面法88.向量法89.行列式法10总结12参考文献13致谢1414引言求异面直线之间的距离是中学数学中的重要概念之一，也是空间距离问题的难点，弄清异面直线距离的有关概念和性质是求异面直线距离的前提。求异面直线之间的距离在中学数学中没有具体讲解，所以本论文利用定义法（直接法），转化法，极值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法和实际例题来解决关于求异面直线之间的距离问题。求异面直线间的是中学数学的一个难点，难就难在不知怎样找异面直线的公垂线段，也不会将所求的问题进行转化。解答此类问题，主要的方法有将两条异面直线的距离转化为直线与平面的距离，或转化为平面与平面的距离，或转化为一元二次函数的最值问题，或转化为用等体积的方法等来求解。特点：即不平行也不相交，两直线永远不可能在同一平面内。定义 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分叫做异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离。性质1 任意两条异面直线有且只有一条公垂线。性质2 两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连接两条异面直线上两点线段中最短的长度下面我将求两条异面直线的距离的几种方法作一归纳总结。1.定义法（直接法）定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线段，然后求出公垂线段长即异面直线之间的距离。例1： 如图所示，边长均为的两个正方形ABCD和CDEF成120的二面角。求异面直线CD与AE间的距离。解：如图中，四边形ABCD与CDEF是正方形得, CD平面AED过点D作DHAE，垂足为H又CD平面AED ，得 CDDH又因为DHAE，得 DH是CD与AE的公垂线（异面直线AE与CD间的距离）在ADE中，ADE=120，AD=AE= ，DHAE， 得 DH = AD = DE = 即异面直线CD与AE的距离为；2.转化法 转化法将两条异面直线的距离转化为直线与平面距离或转化为平面与平面的距离求解。2.1 转化为线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，因此直线与平面的距离即为所求异面直线的距离。例2.如图所示，正方体-的棱长为，求异面直线与之间的距离。解：连接 因为 得 而从而与的距离就是与平面的距离为h；用体积法， 因为，所以 是等边三角形即 从而 得 ；2.2 转化为面面距离法面面距离法就是所求异面直线的距离转化为求分别过两条异面直线的两个平行的平面间的距离。例3.如图所示，正方体的棱长为1，求异面直线的距离。解：如图，分别连接 因为,得平面平面且对角线为两个平面的公垂线，由体积法可以得出A到平面的距离等于到平面的距离为因为从而与平面的距离等于 ,两平面间的距离就是 与 之间的的距离，即 与 之间的的距离为；3.极值法极值法就是把两条异面直线间的距离表示成某一个变量的函数，从而通过求函数的最小值来求异面直线间的距离。例4，如图，棱长为4的正三棱柱中，D是AB的中的，求与 间的距离。解：在上任取一点M，作垂足为N，则平面又作,垂足为Q，连接NQ，则 因此,为直角三角形设，则在中，得，由勾股定理，当 时 ，；即 与 间的距离为 ；4.射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条异面直线，那么点和直线两条平行线的距离就是这两条异面直线射影间的距离。例5. 如图在正方体中，分别是棱的中点，是的中点，求异面直线间的距离。 解：把异面直线的射影到同一平面内，两射影间的距离就是所求异面直线之间的距离。 取的中点Q，连接EQ,EN因为E,Q是中点，得 得 又因为得，的射影为QN。再取的中点F，同理，MF是的射影， 得是的射影。从而是EN和 在平面上的射影。QN与间的距离就是两条异面直线的距离因为Q是BC的中点，得 又，设QN与的距离为，从而 得 ，即异面直线 间的距离为 ；5.公式法求异面直线之间的距离，我们还可以用下面两个公式来求。公式1 如图 ，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为，三棱锥A-BCD的体积为 , 则异面直线AB与CD间的距离 公式2 .已知面积，二面角的平面角为，如图（2），直线b与平面分别交与A,E到棱的距离为n ,m, 则异面直线与之间的距离例6.如图，已知正方体，其边长为是的中点，求AC与BP间的距离。解：（公式1） 设异面直线AC与BP所成的角为 取的中点N，连接AN因为P是的中点，得很容易解能求出 ; 即AC与PB之间的距离为 ；（用公式2）解：设B到AC的距离为m，P到AC的距离为n. 设二面角P-AC-B的平面角为用面积的射影公式得 因为 得 即AC与PB之间的距离为 ；6.平移法找出一条直线，使两条直线都垂直，但这条直线不是公垂线，这时把这条直线设法平移到这两异面直线相交然后求出这两异面直线的公垂线。例7.已知正方体，其边长为，求AC与间的距离。解：如图，由正方体的性质BD与AC交与O在中，将平移到ON处，连接AN，可知N为的中点设AN与交点为Q,将DN平移到PQ， 可知，PQ是AC与AD的垂线由平面几何知识，则得 ，则，得出 即AC和间的距离为7.垂面法若两条直线是异面直线，过其中一条做平面，使这条直线与平面垂直，在平面内，过这条直线垂足点作另一条直线的垂线，垂足和前一个垂足的连线就是公垂线。例8.，其边长为1求BD与之间的距离。 解：连接AC，AC与BD交与P点 过P作又因为PQ平面 所以又,所以PQ为BD与AC的公垂线 因为, 即BD与之间的距离为；8.向量法向量法又叫做法向量投影法，一般步骤是： 建立空间直角坐标系,求异面直线,b的方向向量在求出的法向量 （向量均与向量垂直） 分别在直线,b上各取一点A,B，求做向量 求向量在法向量上的投影例9，如图，已知正方形，其棱长为1，求异面直线与之间的距离。解：建立空间直角坐标系 设 = 是过直线且平行于AC的平面的法向量。 因为 , 所以 又, 所以 即 令=1得， 因为在上且 ，所以 即； 9.行列式法定理1 两直线异面的充分必要条件是 M=定理2. 异面直线： 与 ： 得距离为， 其中， =() ，（） 例10.已知两直线方程为与 证明它们是异面直线. 求出它们之间的距离.解： 由两直线异面的充要条件可知，这两直线的一般方程的条数构成四阶行列式 = -25 由已知方程，=（1，-1，-1），=（2，-3，1），=（1，-2，1），=（1，-1，-1），（，）=-8 ，（，）= -6（，）-（，）=-8（2，-3，1）+ 6（1，-1，-1）=（-10，18，-14)=由定理2中的公式得，两条异面直线的距离为；总结异面直线间的距离是立体几何的核心概念，位于知识网络的交汇处和思想方法的结合部，是立体几何的学习的难点。求异面直线的距离不仅考察空间想象力逻辑思维能力。综上可知，求异面直线间的距离要如下三种意识；定义意识，转化意识和函数意识，同时要注意向量方法和坐标法在解题中的重要作用。参考文献1王成岩（牡丹江教育学院黑龙江 牡丹江 157005）文章编号1009-2323（2001）04-068-032薛金星主编 中学教学解题方法与技巧（上旬）北京教育出版社 2011.3 出版M（62-63）3同济大学数学系编 高等数学（第五版）上册 高等教育出版社 20024单壿著编 中学数学研究 上海教育出版社 2012年第4期M(37-39)5数理化解题研究 2012年（15-17）6朱洪亮编 数理化学习（高中版）天津科学技术出版社 2012年第6期M（2-4）7杨天林编中学生数理化（高中版）南京大学出版社 2009年第12期M（46-47）8吕林根，许子道 编 解析几何（第五版）北京高等出版社 2006.5致谢在喀什师范学院经过五年学习，使我做人做事等各方面得到了很大提高