基本不等式题解[1].doc

3.4基本不等式 经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，不可能同时大于 思路分析:本题是一个含否定词的命题,考虑用反证法进行证明.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时成立,则, .三式相加得+.又,就是a+b2 , ,三式相加得+ +=.与矛盾.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.当堂练习：1. 若，下列不等式恒成立的是（A）ABC D2. 若且，则下列四个数中最大的是 （B ） 2aba 3. 设x0,则的最大值为 （ C）3 1 4. 设的最小值是(D ) A. 10 B. C. D. 5. 若x, y是正数，且，则xy有（ C）最大值16 最小值 最小值16最大值6. 若a, b, cR，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ D）A BC D7. 若x0, y0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （B ） A B C D8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是（ D） 9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（ C） 10. 下列函数中，最小值为4的是 （C ） 11. 函数的最大值为1/212. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 5400元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 (根号2-1)/2。14. 若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答 对.15. 已知：, 求mx+ny的最大值. 根号ab16. 已知若、, 试比较与的大小，并加以证明.17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值. 18. 设.证明不等式 对所有的正整数n都成立.参考答案：经典例题：【 解析】 证法一 假设，同时大于， 1a0，b0， ，同理，.三个不等式相加得，不可能， (1a)b，(1b)c，(1c)a不可能同时大于.证法二 假设，同时成立， 1a0，1b0，1c0，a0，b0，c0， ，即. （*） 又 ，同理，与（*）式矛盾，故不可能同时大于.当堂练习：1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.D; 7.B; 8.D; 9.C; 10.C;11. ; 12. 5400 ; 13. ; 14. 对;15 答案：当堂练习1. 解：A：原式化为：a2-a+ 0 即：(a - )(a - )202+0 成立 B：因为a2+11 则1 有等于1的时候，则不成立 C： a2+92 =6a 即a2+96a，则不成立D：lg上面的a2+12 即a2+12a 有相等，则不成立2. 解：A：B：2=2ab 而(a+b)2=a2+b2+2ab=1 则a2+b2=1-2ab，又a+b已知条件a+b=12，即21 ，两边平方得4ab1 则2ab ，即a2+b2=1-2ab1-， a2+b2 C：2ab D：0ab，则aCD，又B，即BA 选B3.解：化为y=3-(3x+)对这部分用基本不等式，常数项3不带入。 根据基本不等式a+b2 设a=3x，b=，就有3x+2 即3x+2则注意：后项用大值代入了，不等号要反向。3-(3x+)此为后项=3-2 即3-2 选C 这题中：a可以是3x，b是4. 解：3X+3Y2(此题中设a=3x，b=3y) ，3X+3Y2=2=29=185. 解：a+b2=2，即21, x, y是正数,两边平方1，xy16(最小值是16)6. 解：基本不等式a+b+c3 ，ab+bc+ca3=3 ，即13，此式开平方为1A：a2+b2+c23（13） 即a2+b2+c22不成立B：(a+b+c)2用基本不等式a+b+c333（13） 即a+b+c)23不成立(小于1的数乘小于1的数应小于1)C：设a=1/a，b=1/b，c=1/c3=3=3，（1代入）D：基本不等式a+b+c3（1代入，注意不等号反向）则a+b+c1= 成立选D7. 解：A：已知x+y4，则 B：x+y2，+2 =分母中代入大值，整个式值更小了。=4/4=1，即+1成立 C：x+y2，即42，2(这里要注意：x+y最大值是4) D：x+y2两边平方得(x+y)24xy 即164xy， (两边同除xy的前提是x0, y0)8. 解：根据基本不等式a+b2，=，而=（a+b）则选D9. 解：设原年产量为y，则第1年总产量为y(1+p)，第2年为y(1+p)(1+q)=y(1+x)2， 即(1+p)(1+q)=(1+x)2 ，x=这里有，就以(1+p)和(1+q)为基本项来用基本不等式-1而(1+p)+(1+q)2 即p+q+22 ，（ -1）=x 选C 这道题要清楚年产量与增长率的关系，p、q是增长的部分的百分比率。第2年是在第1年总产量y(1+p)的基础上增长的，y(1+x)2是第2年总产量，因为x是二年的平均增长率，要以原年产量y为基础算。10. 解：A：当x0时：x+2= 4 最小值为4；当x1或x-1时，不成立做题时必须分清条件；当-1x1时，原式化为y2= x2(1-x2)此题关键在两边平方后，再用基本不等式。 用基本不等式：x2+(1-x2) 2 ，即12平方得：14x2(1-x2) 即x2(1-x2) ，则y2 ，y 最大值为1/2。12. 解：设长方形无盖水池的长边为a，短边为b。则容积18=2ab(2为深)，ab=9 造价为： abAb为池底面积200+22（a+b）2(a+b)池壁周长，乘深2为壁面积。150=1800+600(a+b) 基本不等式a+b2=2=6则 造价1800+600(a+b) 1800+6006=5400元 最低13.解：设直角三角形两直角边为a和b。由直角三角定律得c=1，即a2+b2=1(a+b)2-2ab=1 而a+b2 ，代入上式：(2)2-2ab注意变了，因为a+b21 ，则2ab1 即ab1/2 从上图可以得出：c=(a-r)+(b-r)=(a+b)-2r，即r= - a+b2代入：r-=-=14. 解：先把题拆分出两块：和用基本不等式求值。即：2=2 ，2=2代入原代数式得：2-82+15=1 证明1值恒为正。对15.解：用基本不等式：x2+y22xy 则xya/2xya/2和mnb/2代入mx+ny2时不等号要反向，因为符号正相反。 m2+n22mn 则mnb/2 而：mx+ny2=2