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常微分方程课件 主讲 罗兆富 统计与数学学院 常微分方程课程简介常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物 物体和现象运动 演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法 物理 化学 生物 工程 航空航天 医学 经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程 如牛顿运动定律 万有引力定律 机械能守恒定律 能量守恒定律 人口发展规律 生态种群竞争 疾病传染 遗 传基因变异 股票的涨伏趋势 利率的浮动 市场均衡价格的变化等 对这些规律的描述 认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究 因此 常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学 而且越来越多的应用于社会科学的各个领域 教材及参考资料教材 常微分方程 东北师大数学系编 高教出版社 参考书目 1 常微分方程 第二版 王高雄等编 中山大学 高教出版社 2 常微分方程讲义 王柔怀 伍卓群编 高教出版社 3 常微分方程教程 丁同仁 北京大学 高教出版社 4 常微分方程及其应用 周义仓等编 科学出版社 5 常微分方程稳定性理论 许松庆编上海科技出版社 6 常微分方程定性理论 张芷芬等编 科学出版社 第一章初等积方法 第五章定性与稳定性理论简介 第三章一阶线性微分方程组 第二章基本定理 第四章n阶线性微分方程 第六章一阶偏微分方程初步 目录 300多年前 由牛顿 Newton 1642 1727 和莱布尼兹 Leibniz 1646 1716 所创立的微积分学 是人类科学史上划时代的重大发现 而微积分的产生和发展 又与求解微分方程问题密切相关 这是因为 微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求 第一章初等积分法 1 1微分方程和解 第一讲 一般地 运动规律很难全靠实验观测认识清楚 因为人们不太可能观察到运动的全过程 然而 运动物体 变量 与它的瞬时变化率 导数 之间 通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系 我们容易捕捉到这种联系 而这种联系 用数学语言表达出来 其结果往往形成一个微分方程 一旦求出这个方程的解 其运动规律将一目了然 下面的例子 将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言 例1物体下落问题 设质量为m的物体 在时间t 0时 在距地面高度为H处以初始速度v 0 v0垂直地面下落 求此物体下落时距离与时间的关系 解 如图建立坐标系 设x x t 为t时刻物体的位置坐标 于是物体下落的速度为 加速度为 质量为m的物体 在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力 当速度不太大时 空气阻力可取为与速度成正比 于是根据牛顿第二定律 可以列出方程 1 1 其中k 0为阻尼系数 g是重力加速度 1 1 式就是一个微分方程 这里t是自变量 x是未知函数 是未知函数对t导数 现在 我们还不会求解方程 1 1 但是 如果考虑k 0的情形 即自由落体运动 此时方程 1 1 可化为 1 1 1 2 将上式对t积分两次得 1 3 一般说来 微分方程就是联系自变量 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式 如果其中的未知函数只是一个自变量的函数 则称为常微分方程 如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数 并且在方程中出现偏导数 则称为偏微分方程 本书所介绍的都是常微分方程 有时就简称微分方程或方程 1 4 1 5 1 6 1 7 例如下面的方程都是常微分方程 1 8 称为一阶隐式方程 1 9 称为一阶显式方程 1 10 称为微分形式的一阶方程 在一个常微分方程中 未知函数最高阶导数的阶数 称为方程的阶 这样 一阶常微分方程的一般形式可表为 1 8 如果在 1 8 中能将解出 则得到方程 1 9 n阶隐式方程的一般形式为 1 11 n阶显式方程的一般形式为 1 12 在方程 1 11 中 如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y y y n 的全体而言是一次的 则称为线性常微分方程 否则称它为非线性常微分方程 这样 一个以y为未知函数 以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式 1 13 显然 方程 1 4 是一阶线性方程 方程 1 5 是一阶非线性方程 方程 1 6 是二阶线性方程 方程 1 7 是二阶非线性方程 通解与特解 微分方程的解就是满足方程的函数 可定义如下 定义1 1设函数在区间I上连续 且有直到n阶的导数 如果把代入方程 1 11 得到在区间I上关于x的恒等式 则称为方程 1 11 在区间I上的一个解 1 11 这样 从定义1 1可以直接验证 1 函数y x2 C是方程 1 4 在区间 上的解 其中C是任意的常数 2 函数y sin arcsinx C 是方程 1 5 在区间 1 1 上的解 其中C是任意常数 又方程 1 5 有两个明显的常数解y 1 这两个解不包含在上述解中 3 函数x C1cost C2sint是方程 1 6 在区间 上的解 其中C1 C2是独立的任意常数 4 函数y2 C1x C2是方程 1 7 在区间 上的解 其中C1 C2和是独立的任意常数 这里 我们仅验证3 其余留给读者完成 事实上 在 上有 所以在 上有 从而该函数是方程 1 6 的解 Q E D 从上面的讨论中 可以看到一个重要事实 那就是微分方程的解中可以包含任意常数 其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等 也可以不含任意常数 我们把n阶常微分方程 1 11 的含有n个独立的任意常数C1 C2 Cn的解 称为该方程的通解 如果方程 1 11 的解不包含任意常数 则称它为特解 由隐式表出的通解称为通积分 而由隐式表出的特解称为特积分 1 11 由上面的定义 不难看出 函数y x2 C y sin arcsinx C 和x C1cost C2sint分别是方程 1 4 1 5 和 1 6 的通解 函数y2 C1x C2是方程 1 7 的通积分 而函数y 1是方程 1 7 的特解 通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定 这种确定过程 需要下面介绍的初始值条件 或简称初值条件 例1中的函数 1 3 显然是方程 1 2 的通解 由于C1和C2是两个任意常数 这表明方程 1 2 有无数个解 解的图像见下面的图a和图b所示 初值问题 1 2 1 3 而实际经验表明 一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹 产生这种多解性的原因是因为方程 1 2 所表达的是任何一个自由落体 在任意瞬时t所满足的关系式 并未考虑运动的初始状态 推得 因此 通过积分求得的其通解 1 3 所描述的是任何一个自由落体的运动规律 显然 在同一初始时刻 从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体 应有不同的运动轨迹 为了求解满足初值条件的解 我们可以把例1中给出的两个初始值条件 即 于是 得到满足上述初值条件的特解为 初始位置x 0 H 初始速度代入到通解中 1 14 它描述了初始高度为H 初始速度为v0的自由落体运动规律 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题 于是我们称 1 14 是初值问题 的解 其中x0是自变量的某个取定值 而 是相应的未知函数及导数的给定值 方程 1 12 的初值问题常记为 对于一个n阶方程 初值条件的一般提法是 1 15 1 16 初值问题也常称为柯西 Cauchy 问题 对于一阶方程 若已求出通 只要把初值条件代入通解中 得到方程 从中解出C 设为C0 代入通解 即得满足初值条件的解 对于n阶方程 若已求出通解后 代入初值条件 1 15 得到n个方程式 1 17 如果能从 1 17 式中确定出 代回通解 即得所求初值问题的解 例2求方程的满足初值条件 的解 解 方程通解为 求导数后得 将初值条件代入 得到方程组 教材上印刷错误 特解 积分曲线 为了便于研究方程解的性质 我们常常考虑解的图象 一阶方程 1 9 的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线 称为方程 1 9 的积分曲线 而通解的图象是平面上的一族曲线 称为积分曲线族 例如 方程 1 4 的通解y x2 C是xoy平面上的一族抛物曲线 而y x2是过点 0 0 的一条积分曲线 以后 为了叙述简便 我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别 对于二阶和二阶以上的方程 也有积分曲线和积分曲线族的概念 只不过此时积分曲线所在的空间维数不同 我们将在第3章详细讨论 1 4 1 9 初等积分法 通过积分求解常微分方程的一种方法 其特点是方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式表示 1 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 2 微分方程的解的分类 1 通解 微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 总结 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 初始条件 用来确定任意常数的条件 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 一阶 过定点的积分曲线 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 例3 一曲线通过点 1 2 在该曲线上任意点处的 解 设所求曲线方程为y y x 则有如下关系式 C为任意常数 由 得C 1 因此所求曲线方程为 由 得 切线斜率为2x 求该曲线的方程 机动目录上页下页返回结束 本节结束 1 2变量分离方程 先看例子 第二讲 定义1 形如 的方程 称为变量分离方程 或 解法 这样变量就 分离 开了 例1求解微分方程 解 当y 0时 分离变量 两端积分 让c可取负值 则 Q E F 解 积分得 故方程的所有解为 Q E F 例3 解 两边积分得 因而通解为 再求初值问题的通解 所以所求的特解为 Q E F 1 2 1显式变量可分离方程的解法 1 在方程 1 18 中 假设g y 是常数 不妨设g y 1 此时方程 1 18 变为 设f x 在区间 a b 上连续 那么 求方程 1 20 的解就成为求f x 的原函数 不定积分 的问题 于是由积分上限所确定的函数 或 变量可分离方程的解法之理论 就是方程 1 20 的通解 其中C是一个任意常数 x0 a b 是一个固定数 x a b 是自变量 2 假设g y 不是常数 仍设f x 在区间 a b 上连续 而g y 在 区间上连续 若y y x 是方程 1 18 的任意一个解 且满足y x0 y0 则由解的定义 有恒等式 假设g y 0 于是可用分离变量法把方程写成 将上式两端积分 得到恒等式 上面的恒等式表明 当g y 0时 方程 1 18 的任意一个解y y x 必定满足下面的隐函数方程 反之 若y y x 是隐函数方程 1 25 的解 则有恒等式 1 24 成立 由 1 24 的两边对x求导数 就推出 1 23 成立 从而 1 22 成立 这就表明了隐函数方程 1 25 的解 在具体求解方程时 往往把 1 24 写成不定积分形式 由上面的证明可知 当g y 0时 微分方程 1 18 与隐函数方程 1 26 是同解方程 即若由 1 26 解出 则它是 1 18 的通解 由于 1 26 是通解的隐式表达式 所以 1 26 亦称为方程 1 18 的通积分 在求解过程中 对于通积分 1 26 应该尽量把它演算到底 即用初等函数表达出来 但是 并不勉强从其中求出解的显式表达式 如果积分不能用初等函数表达出来 此时我们也认为微分方程 1 18 已经解出来了 因为从微分方程求解的意义上讲 留下的是一个积分问题 而不是一个方程问题了 3 若存在y0 使g y0 0 则易见 是方程 1 18 的一个解 这样的解称为常数解 y x y0 1 2 2微分形式变量可分离方程的解法 方程 是变量可分离方程的微分形式表达式 这时 x和y在方程中的地位是 平等 的 即x与y都可以被认为是自变量或函数 在求常数解时 若N1 y0 0 则y y0为方程 1 19 的解 同样 若M2 x0 0 则x x0也是方程 1 19 的解 当时 用它除方程 1 19 两端 分离变量 得 上式两端同时积分 得到方程 1 19 的通积分 例4 解初值问题 解 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得C 1 C为任意常数 故所求特解为 Q E F 本节结束 1 3齐次方程 第三讲 可化为变量分离方程类型 I 齐次方程 II 形如 1 9 1 3 1齐次型方程的解法 如果一阶显式方程 1 9 的右端函数f x y 可以改写为的函数 那么称方程 1 9 为一阶齐次微分方程 下列方程哪些是齐次方程 1 是齐次方程 一阶齐次微分方程可以写为 1 27 2 不是齐次方程 3 是齐次方程 4 不是齐次方程 方程 1 27 的特点是它的右端是一个以为变元的函数 经过如下的变量变换 它能化为变量可分离方程 1 27 作变量代换 代入 1 27 式 得 可分离变量的方程 1 28 方程 1 28 是一个变量可分离方程 当g u u 0时 分离变量并积分 得到它的通积分 1 28 1 29 或 即 其中 以代入 得到原方程 1 27 的通积分 1 27 下面看几个例子 例1 解微分方程 解 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 当C 0时 y 0也是方程的解 C为任意常数 Q E F 例2 解微分方程 解 则有 当u2 u 0时 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 C为任意常数 当u2 u 0 即 以代入 得到原方程的解 Q E F 例3求解微分方程 解 微分方程的解为 Q E F 1 9 下面我们说明零次齐次函数具有此性质 现在我们的问题是 在一般情况下 如何判断方程 1 9 是齐次方程呢 这相当于考虑 什么样的二元函数f x y 能化成形状为的函数 所谓f x y 对于变元x和y是零次齐次式 是指对于任意 0的常数 有恒等式 因此 令 则有 因此 所谓齐次方程 实际上就是方程 1 9 的右端函数f x y 是一个关于变元x y的零次齐次式 例 是齐次方程 Q E F 1 3 2第二类可化为变量可分离的方程 的方程是第二类可化为变量可分离的方程 其中 显然 方程 1 30 的右端函数 对于x y并不是零次齐次函数 然而函数 1 31 则为零次齐次函数 事实上 我们有 解 令 则 代入化简 并分离变量 两边积分 换回原变量 或 例4 解方程 Q E F 下面我们将通过变量变换把 1 30 中的C1及C2消去 将方程 1 30 的右端函数化成 1 31 的形式 从而把方程 1 30 化成齐次方程 分两种情况讨论 在这个情形 行列式的所有元素等于零 这时方程 1 30 成为 1 32 两边积分得到方程的解 a2 b2 0 c2 0 这时方程 1 30 成为 代入上式 得 这是一个可分离变量的方程 a2 b2中恰有一个为零 若a2 0 b2 0 由 1 32 知 这时必有b1 0 这时方程 1 30 成为 若a2 0 b2 0 由 1 32 知 这时必有a1 0 这时方程 1 30 成为 这是一个可分离变量的方程 a2 b2都不为零 由 1 32 知 有 1 30 即 代入 1 30 得 代入上式 得 这也是一个可分离变量的方程 为待定常数 作变换 原方程化为 令 解出 齐次方程 下面我们将通过变量变换把 1 30 中的C1及C2消去 将方程 1 30 的右端函数化成 1 31 的形式 从而把方程 1 30 化成齐次方程 求出其解后 即得原方程 1 30 的解 注 上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移 当时 直线 与直线 相交于一点 将二式联立求得交点 再作坐标平移 就把原点移到 又由于在坐标平移变换 下有成立 这样 1 30 就变成齐次方程了 例5 求解 解 令 得 令 积分得 代回原变量 得原方程的通解 再令 得 得C 1 故所求特解为 思考 若方程改为 如何求解 提示 Q E F 注 上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型 此外 诸如 以及 的通解 分析 解 代入方程并整理得 即 分离变量后得 两边积分得 变量还原得通解为 Q E F 本节结束 1 4一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 1 34 1 35 第四讲 1 4 1一阶线性非齐次方程的通解 1 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 1 36 下面使用常数变易法再求线性非齐次方程 1 34 的解 其想法是 当C为常数时 函数 1 36 的导数 恰等于该函数乘上 p x 从而 1 36 为齐次方程 1 35 的解 现在要求非齐次方程 1 34 的解 则需要该函数的导数还要有一项等于Q x 为此 联系到乘积导数的公式 可将 1 36 中的常数C变易为函数u x 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2 解非齐次方程 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动目录上页下页返回结束 例1 解方程 解 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 机动目录上页下页返回结束 Q E F 解 所以原方程的通解 故所给初值问题的通解为 Q E F 解 但将它改写为 故其通解为 Q E F 1 4 2伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的标准形式 令 求出此方程通解后 除方程两边 得 换回原变量即得伯努利方程的通解 解法 线性方程 伯努利目录上页下页返回结束 解 解以上线性方程得 Q E F 例5 求方程 的通解 解 令 则方程变形为 其通解为 将 代入 得原方程通解 机动目录上页下页返回结束 Q E F 本节结束 1 5全微分方程及积分因子 第五讲 1 5 1全微分方程 如果我们恰好碰见了方程 就可以马上写出它的隐式解 则称 1 10 是全微分方程或恰当方程 而函数称为微分式 1 46 的原函数 例如 都是全微分方程 1 全微分方程的定义 定义 如果微分形式的一阶方程 的左端恰好是一个二元函数U x y 的全微分 即 这是因为 定理1 1假如U x y 是微分 1 46 的一个原函数 1 49 其中c为任意常数 证明 先证 1 10 的任一解y y x 均满足方程 1 49 因为 y y x 为 1 10 的解 故有恒等式 因为U x y 为 1 10 的原函数 所以有 从而 于是y y x 满足 1 49 则全微分方程 1 10 的通积分为 再证明 1 49 所确定的任意隐函数y y x 均为 1 10 的解 因为是由 1 49 所确定的隐函数 所以存在常数c 使 1 49 将上式微分并应用U x y 是 1 46 的原函数的性质 即有 从而y x 是方程 1 10 的解 Q E D 根据上述定理 为了求解全微分方程 1 10 只须求出它的一个原函数 就可以得到它的通积分 下面我们需考虑的问题是 2 若 1 10 是全微分方程 怎样求解 3 若 1 10 不是全微分方程 有无可能转化为全微分方程求解 1 方程 1 10 是否为全微分方程 2 方程为全微分方程的充要条件 定理1 2 为全微分方程的充要条件是 证明 必要性 设 1 10 是全微分方程 则存在原函数U x y 使得 所以 将以上二式分别对y和x求偏导数 得到 因为M N连续可微 所以 成立 即 1 50 成立 充分性 设 1 50 在区域R内成立 现在求一个二元函数U x y 使 它满足 即 由第一个等式 应有 其中为y的任意可微函数 为使U x y 再满足第二个等式 必须适当选取 使满足 由参变量积分的性质和条件 1 50 上式即为 必须适当选取 使满足 由参变量积分的性质和条件 1 50 上式即为 因为只要一个就够了 故取c1 0 1 51 就是所求的原函数 从而全微分方程 1 10 的通积分是 于是 函数 1 52 Q E D 定理1 2不但给出了判断方程 1 10 为全微分方程的充要条件 而且给出了当判别式 1 50 成立时 1 51 式就是 1 10 左端的原函数 而 1 52 就是 1 10 的通积分 3 求原函数的方法 1 不定积分法 例1 验证方程 是恰当方程 并求它的通解 解 故所给方程是全微分方程 积分后得 故 从而方程的通解为 Q E F 2 分组凑微法 直接观察法 采用 分项组合 的方法 把本身已构成全微分的项分出来 再把余的项凑成全微分 应熟记一些简单二元函数的全微分 如 解 故所给方程是恰当方程 把方程重新 分项组合 得 即 或写成 故通解为 Q E F 例3 验证方程 是恰当方程 并求它满足初始条件y 0 2的解 解 故所给方程是恰当方程 把方程重新 分项组合 得 即 或写成 故通解为 故所求的初值问题的解为 Q E F 3 线积分法 定理1 2充分性的证明也可用如下方法 由数学分析曲线积分与路径无关的定理知 从而 1 10 的通解为 例4 求解方程 解 故所给方程是恰当方程 故通解为 Q E F 1 5 2积分因子 对于全微分方程 我们给出了三种方法求解 但是 方程 1 10 未必都是全微分方程 例如 下面这个简单方程 1 54 就不是全微分方程 因为 如果 将上面这个方程两端同乘以 得到方程 1 55 这是一个全微分方程 因为此时有 第六讲 通常我们称为方程 1 54 的积分因子 因为它可使方程 1 54 变成全微分方程 1 55 一般地 我们有下面的定义 假如存在这样的连续可微函数 使方程 1 56 成为全微分方程 我们就把称为方程 1 10 的一个积分因子 例5 解 对方程有 由于 把以上方程重新 分项组合 得 即 也即 故所给方程的通解为 Q E F 积分因子的确定 易于看到 当时 方程 1 10 与 1 56 是同解的 于是 为了求解 1 10 只须求解 1 56 就可以了 但是如何求得积分因子呢 下面就来研究求积分因子的方法 方程 1 56 是全微分方程的充要条件为 1 57 令人十分遗憾的是 一般而言 偏微分方程 1 57 是不易求解的 1 57 下面我们给出两种特殊的积分因子的求法 尽管如此 方程 1 57 还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径 1 59 此时求得积分因子 事实上 定理 微分方程 解 由于 故它不是全微分方程 又由于 利用恰当方程求解法得通解为 Q E F 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法 绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决 但求微分方程的积分因子十分困难 需要灵活运用各种微分法的技巧和经验 下面通过例子说明一些简单积分因子的求法 利用恰当方程求解法得通解为 Q E F 例7 求解方程 解 方程改写为 或 易看出 此方程有积分因子 即 故方程的通解为 例8 求解方程 解 故方程不是全微分方程 Q E F 方法1 即 故方程的通解为 方法2 方程改写为 容易看出方程左侧有积分因子 故方程的通解为 方法3 方程改写为 这是齐次方程 即 故通解为 变量还原得原方程的通解为 方法4 Q E F 方程改写为 故方程的通解为 即方程的通解为 在有些情况下 可凭观察和经验根据微分倒推式 得到积分因子 常用微分倒推公式 积分因子不一定唯一 例如 对 可取 可选用的积分因子有 例9 求解 解 即 选择积分因子 同乘方程两边 得 即 因此通解为 即 因x 0也是方程的解 故C为任意常数 机动目录上页下页返回结束 Q E F 例10求微分方程 解 将方程左端重新组合 有 可积组合法 原方程的通解为 Q E F 解 则原方程乘以积分因子 得 例11 求微分方程 不是全微分方程 原方程的通解为 公式法 可积组合法 Q E F 本节结束 变量分离 线性 恰当方程等 能解出 转化 不能解出或解出形式复杂 转化 引进参数变量变换 熟练掌握 1 6一阶隐式微分方程 第七讲 前面几节介绍的是求解显式方程 1 9 的一些初等积分法 本节要讨论如何求解隐式方程 1 8 方程 1 8 也称为导数未解出的一阶方程 求解方程 1 8 的问题分两种情况考虑 1 假如能从 1 8 中把解出 就得到一个或几个显式方程 如果能用初等积分法求出这些显式方程的解 那么就得到 方程 1 8 的解 例1 求解方程 解 方程左端可以分解因式 得 所以原方程的解为 Q E F 2 如果在 1 8 中不能解出y 时 则可用下面介绍的 参数法 求解 本节主要介绍其中两类可积类型 类型I 类型II 类型 的特点是 方程中不显含y或x 类型 的特点是y可以解出或x可以解出 首先 考虑类型 中的方程 1 61 我们已经知道 方程 1 61 的一个解y y x 在 x y 平面上的图象是一条曲线 而曲线是可以用参数表示的 称为参数形式解 即是定义在区间上的可微函数 类型I 使得 在上恒成立 显然 如果能从方程 1 61 中求出解y y x 再把它参数化 就可以得到 1 61 的参数形式解 但这是没有什么意义的 下面介绍的参数法 是在方程 1 61 中当解不出来时 先把方程 1 61 化成等价的参数形式 然后根据某种恒等式 可以求出原方程 1 61 的参数形式解 这种求解过程就称为参数法 具体作法如下 解法 引入变换 从 1 61 得到 则 方程的参数形式通解为 关键 or引入变换 从 1 61 得到 1 61 同理 可以讨论类型 的方程 1 65 解法 引入变换 从 1 65 得到 则 方程的参数形式通解为 or引入变换 从 1 65 得到 若 有实根 则 也是方程的解 关键 解 本题不显含y 令 则由方程 得 从而 于是 求解方程 例2 通解为 Q E F 例3 求解方程 解 把 代入原微分方程 令 得 由此得 且 方程的参数形式的通解为 此外 也是方程的解 Q E F 现在 考虑类型 中的方程 1 66 类型II 能解出y 或x 的方程 这里假设函数有连续的偏导数 解法 引进参数 则 1 66 变为 两边关于x求导 并把代入 得 这是关于x和p显式方程 i 若已得出 的通解形式为 代入 ii 若得出 通解形式为 则原方程 1 66 有参数形式的通解 其中p是参数 c为任意常数 iii 若求得 通解形式 则原方程 1 66 有 其中p是参数 c为任意常数 参数形式通解 现在 考虑类型 中的第二个方程 1 69 两边对y求导 若求得通解为 则 1 69 的通解为 则 1 69 的通解为 解法 引