微分方程例题.ppt

例 解初值问题 解 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得C 1 C为任意常数 故所求特解为 自行填充空白处的颜色 例 求下述微分方程的通解 解 令 则 故有 即 解得 C为任意常数 所求通解 例 解法1分离变量 即 C 0 解法2 故有 积分 C为任意常数 所求通解 例 解微分方程 解 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明 显然x 0 y 0 y x也是原方程的解 但在 C为任意常数 求解过程中丢失了 例 求方程 的通解 解 注意x y同号 由一阶线性方程通解公式 得 故方程可 变形为 所求通解为 思考与练习 判别下列方程类型 提示 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 例 求解 解 这是一个全微分方程 用凑微分法求通解 将方程改写为 即 故原方程的通解为 或 思考 如何解方程 这不是一个全微分方程 就化成上例的方程 但若在方程两边同乘 备用题解方程 解法1积分因子法 原方程变形为 取积分因子 故通解为 此外 y 0也是方程的解 解法2化为齐次方程 原方程变形为 积分得 将 代入 得通解 此外 y 0也是方程的解 解法3化为线性方程 原方程变形为 其通解为 即 此外 y 0也是方程的解 例 解 例 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 对于 型方程 n 2 可以令 得 如果能求出其通解 逐次积分n 1次 就可得到原方程的通解 其中C1 C2 Cn为任意常数 例 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件 根据 积分得 故所求特解为 得 例 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程通解为 例 解 特征方程 特征根 原方程通解 不难看出 原方程有特解 例 解 特征方程 即 其根为 方程通解 备用题 为特解的4阶常系数线性齐次微分方程 并求其通解 解 根据给定的特解知特征方程有根 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 常数 则该方程的通解是 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解 是任意 例 提示 都是对应齐次方程的解 二者线性无关 反证法可证 89考研 例 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 解 是对应齐次方程的解 且 常数 因而线性无关 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 例 的通解为 的通解 解 将所给方程化为 已知齐次方程 求 利用 建立方程组 积分得 故所求通解为 例 的通解 解 对应齐次方程为 由观察可知它有特解 令 代入非齐次方程后化简得 此题不需再作变换 特征根 设 的特解为 于是得 的通解 故原方程通解为 二阶常系数非齐次方程 代入 可得 例1 的一个特解 解 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 设所求特解为 代入方程 比较系数 得 于是所求特解为 例2 求解定解问题 解 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 于是所求解为 解得 例4 的一个特解 解 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根 代入方程得 比较系数 得 于是求得一个特解 例5 的通解 解 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数 得 因此特解为 代入方程 所求通解为 为特征方程的单根 因此设非齐次方程特解为 例6 解 1 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 2 特征方程 有根 利用叠加原理 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 提示 1 填空 设 2 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 解 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解 原方程通解为 例1 解 则原方程化为 亦即 其根 则 对应的齐次方程的通解为 特