3.4.2函数模型及其应用 (2).doc

函数题一：考点分析：函数是高中数学的基础知识，也是每年高考必考的重点内容，而且在每年的高考试卷上所占的比重比较大，从题型上来看，围绕函数的考查既有填空题，又有解答题。函数部分复习的重点应分两个方面：一是函数“内部”的复习：即对函数的基本概念（定义域、值域、函数关系）、函数的性质（函数的单调性、奇偶性、周期性）及应用、基本函数的图象与性质的掌握与应用等方面的复习；另一方面是从函数的“外延”方面去复习，即重视函数与其他知识点的交叉、综合方面的复习。函数复习除了知识方面的复习要全面到位以外，还要重视思想方法的渗透，尤其是要重视分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的渗透。二、典例解析：【例1】函数的定义域为_分析：不能只想到 还要考虑。解：且，解得且。答案：【例2】若函数在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是 .解法一：（数形结合、分类讨论）（）时，不合题意；（）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，此时函数在（0，1）内没有零点（）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，要使函数在（0，1）内恰有一个零点，只须，即。解法二：时，令则，于是有，作函数的图象知，当时，直线与函数的图象有唯一交点，故a的取值范围是。答案：。【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是_ 解：令，则；令，则，由得，所以答案：0。【例4】已知函数在上是减函数，则实数的范围是 解：设，当时，则函数是上的减函数；当时，要使函数是上的减函数，则，解得，综上，或。答案：或【例5】设函数在（，+）内有定义，对于给定的正数，定义函数，取函数，若对任意的，恒有=，则的最小值为_ 1解：若对任意的，恒有=，则是函数在上的最大值， 由知，所以时，当时，所以即的值域是，而要使在上恒成立， 值为1。【例6】已知函数.(1) 求函数的单调区间;(2) 证明: 函数的图象关于点中心对称。;(3) 当时,求函数的值域.解:(1) 法一：，当或时，均有，所以函数的单调增区间为和。法二：由于，因而函数的图象是由函数的图象先向右平移个单位，再向下平移1个单位而得，因而以函数的单调增区间为和。（2）设点是函数的图象上任一点，则，点关于点中心对称的点是，记，则由上可知，点也在函数的图象上，函数的图象关于点中心对称。（3），当时，即当时,函数的值域为.【例7】已知二次函数满足，且。（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，,求的最大值。解：（1）设，代入和，并化简得，。（2）当时，不等式恒成立即不等式恒成立，令，则，当时，。（3）对称轴是。 当时，即时，； 当时，即时，综上所述：。【例8】已知。（）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（）若在R上恒为增函数，试求的取值范围; 解：（）当时， 。（1）时，当时，；当时，。（2）当时，当时，；当时， 。综上所述，当或4时，；当时， 。（），在上恒为增函数的充要条件是，解得 。【例9】已知函数（且）。（1）求函数的定义域和值域；（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）由得，当时，；当时，故当时，函数的定义域是；当时，函数的定义域是。令，则，当时，是减函数，故有，即，所以函数的值域为。（2）若存在实数，使得对于任意，都有，则是定义域的子集，由（1）得不满足条件；因而只能有，且，即，令，由（1）知，由得（舍去），或，即，解得，由是，只须对任意，恒成立，而对任意，由得，因而只要，解得。综上，存在，使得对于任意，都有。【例10】已知集合是同时满足下列两个性质的函数的全体：在其定义域上是单调函数；在的定义域内存在闭区间，使得在上的最小值是，最大值是。请解答以下问题：（1）判断函数是否属于集合？并说明理由，若是，请找出满足的闭区间；（2）若函数，求实数的取值范围。解：的定义域是，当时，恒有（仅在时取等号），故在其定义域上是单调减函数；若，当时，即 解得故满足的闭区间是。至此可知，属于集合。（2）函数的定义域是，当时，故函数在上是增函数，若，则存在，且，使得，即且令，则，于是关于的方程在上有两个不等的实根，记，。三、巩固练习：1已知函数恰有一个零点在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是 2若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则的取值范围是_.3已知函数，对任意的，都有成立，则的取值范围是 _4已知函数是偶函数，当时，有，且当，的值域是，则的值是 5已知，则与的大小关系是_.6已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数在10，+)上单调递增，求k的取值范围.7经市场调查分析知，东海水晶市场明年从年初开始的前几个月，对水晶项链需求总量（万件）近似满足下列关系：（1）写出明年第个月这种水晶项链需求总量（万件）与月份的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过万件。（2）若计划每月水晶项链的市场的投放量都是P万件，并且要保证每月都满足市场需求，则P至少为多少万件？8已知函数，证明：在上是增函数的充要条件是在上恒成立.9对于函数，若存在使成立，则称为的不动点，已知函数.(1) 当时,求函数的不动点;(2) 若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;(3) 在(2)的条件下,若图象上两点的横坐标是函数的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值. 10已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。 （）函数是否属于集合？说明理由； （）设函数，求的取值范围； （）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。巩固练习参考答案：1 ；2；3；41；5。6解：（1）由及 得，（）当0k1时，得综上，当0k1时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为（）由在上是增函数 得，又，故对任意的、，当时，有 即得：又 综上可知，k的取值是（）。7解：（1）当时，当时，又当时也成立，所以，解不等式：，得即第六个月需求量超过万件。（2）由题设知当时，恒有，即，当且仅当时，所以每月至少投放1.14万件。8证法1：求导可得：.“必要性”：若在上递增，则当时，恒成立.在上单调递增.又在上递增，则则“必要性”得证.“充分性”：在上恒成立，则又在上单调递增，则在上递增.证法2：证明：因为“必要性”：若在上递增，则当时，恒成立.则当时，递减，则，则又因为在上递增，则则“必要性”得证.“充分性”：若在上恒成立，则则，令，则，因为，则，所以在上单调递减.则，所以，由必要性的论证可知，在上递增则“充分性”得证.9解 (1)当时,于是,等价于, 解得或,即此时的不动点是和.(2)由得 (*) ,由题意得,对任意实数,方程(