复变函数第一章讲义.doc

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。1545年意大利数学物理学家在所著重要的艺术一书中列出并解出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根。他求出形式的根为和，积为。但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。因而复数在历史上长期不能为人们所接受。“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。直到十八世纪，等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍接受并理解了复数。复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕、和三人的工作进行的。到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性教学难点： 复平面上点集的个概念教学基本要求：1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 2、知道无穷远点邻域 3、了解单连通区域与复连通区域 4、理解复变函数、极限与连续1复数1、复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，分别称为的实部和虚部，记作，；称为虚单位。两个复数，.虚部为零的复数可看作实数。因此，全体实数是全体复数的一部分。和称为互为共轭复数，记为或.复数四则运算规定为： 易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的。2、复平面一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定，因此，若平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系。由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面。3、复数的模与幅角由图1-1中可以知道，与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系。从而，我们能够借助于的极坐标和来确定点，的长度称为复数的模，记为根据向量的运算及几何知识，得到两个重要的不等式： 与实轴正向间的夹角满足称为的幅角（），记作，任一非复数均有无穷多个幅角，以表示其中一个特定值，并称满足条件的一个值为的主值或的主幅角，则有 注：当时，幅角无意义从直角坐标与极坐标关系有（三角形式） （1）若引进著名的公式：，则（1）可化为 （指数形式） （2），由（2）及指数函数性质即可推得, 因此， , 特别地，当时，有，当时，有（公式）例1.1 求及用与表示的式子。4、曲线的复数方程例1.2 连接及两点的线段的参数方程为： 连接及两点的直线的参数方程为： 例1.3 平面上以原点心，为半径的圆周的方程为，平面上以为心，为半径的圆周的方程为例1.4 平面上实轴的方程为 虚轴的方程为 2复平面上的点集1、几个基本概念定义1.1 满足不等式的所有点组成的平面点集称为的-邻域，记为.定义1.2 设为一平面点集，若点的任意邻域内均有的无穷多个点，则称为的聚点；若使得则称为的内点。定义1.3 若上的每个聚点都属于，则称为闭集；若的所有点均为内点，则称为开集。定义1.4 若，均有，则称为有界集，否则称为无界集。2、区域与曲线定义1.5 若非空点集满足下列两个条件： （1）为开集 （2）中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域。定义1.6 若为区域的聚点，且不是的内点，则称为的界点，的所有界点组成的边界，记为，若，则称为的外点。定义1.7区域加上它的边界称为闭区域，记为。例1.5 平面上以点为心，为半径的圆周内部（即圆形区域）：例1.6 平面上以为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）：例1.7 上半平面 下半平面 它们都是以实轴为边界，且均为无界区域。 左半平面 右半平面 它们以虚轴为边界，且均为无界区域。例1.8 图1-7所示的带形区域表为其边界为与，亦为无界区域 例1.9图1-8所示的圆环区域表为 其边界为与，为有界区域。定义1.8设及是两个关于实数在闭区间上的连续函数，则由方程所确定的点集称为平面上一条连续曲线，对任意满足及的与，若时有，则点称为的重点；无重点的连续曲线称为简单曲线（）；的曲线称为简单闭曲线；若在上时，及存在且不全为零，则称为光滑（闭）曲线。定义1.9由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。定理1-1（定理）任一简单闭曲线将平面唯一地分为，及三个点集（下图），它们是有如下性质：（1）彼此不交； （2）与一个为界区域（的内部），另一个为无界区域（的外部）； （3）若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则与必有交点。对简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察者沿绕行一周时，的内部（或外部）始终在的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为的正方向（或负方向）。定义1.10若平面上的区域内任意一条简单闭曲线的内部全含于，则称为单连通区域，不是单连通区域称为多连通区域。例如 例1.51.8 所示的区域均为单连通区域；例1.9所示区域为多连通区域。作业： 3. 5. 7. 83 复变函数一、教学目标或要求：掌握复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同重点：比较与数学分析中异同点难点: 比较与数学分析中异同点三、思考题、讨论题、作业与练习：习题一11191.复变函数的概念定义1.12 设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数，如对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数，称为函数的定义域。对于，值的全体所成集称为函数的值域。例等均为单值函数。等均为多值函数。 注以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。 复变函数一般有三种表示形式： （1）（2）若令，则有（3） 若令， 则有。 复变函数的定义类似于数学分析中实函数的定义，不同的是前者是复平面到复平面的映射，所以复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。要描述的图形，可取两张复平面，分别称为z平面与w平面，而把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应，如图1.7所示. 具体地说，复变函数给出了从z平面上的点集D到w平面上的点集F间的一个对应关系，与点对应的点称为z点的象点，而z点就称为的原象.定义 1.13 若对z平面上点集E的任一点z,有平面上点集的点,使得,则称把变(映)入(简记为),或称是到的入变换。定义1.14 若,且对任一点,有的点,使得,则称把变(映)成,简记为,或称是到的满变换。定义1.15 若是点集到的满变换,且对中的每一点,在中有一个或至少两个点与之相对应,则在上确定了一个单值或多值函数,记为,称为的反函数；若是到的单值变换，则称 是到的双方单值变换或变换。例 函数把平面上的下列曲线度为W平面上的何种曲线？（1） 以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧；（2） 倾角的直线；（3）双曲线；解：（1）设因为，故得（1）当时时，.故以原点为心.2为半径.在第一象限里的园弧变为W。平面上以原点为心.4为半径.在上半面的园弧。（2）倾角的直线；即为两条射线: 及当时经变化得为射线L.当时经变化得也是一条射线.且与射线L重合。 (3) 设.因，故 ，因 故u=4 ，又当Z在双曲线上变动时在（-，+）上变动。因此.Z的象是这样的点：其实部U恒为4.其实部（-，+），因此满足上述条件的点所成立之集是平行于虚轴的一条直线U=4。2.复变函数的极限与连续性定义1.16 设于点集上有定义，为的聚点。 如果存在一复数，使对任给的，有，只要,。就有则称函数沿于有极限。并记为。注极限与趋于的方式无关。即要沿从四面八方通向的任何路径趋于。 这是与实函数的极限的不同之处。 下述定理给出了复变函数极限与其实部和虚部极限的关系 定理1.2设函数于点集上有定义，则 的充要条件是 证由极限定义易证。 下面再引入复变函数连续性的概念，其定义与实函数的连续性是相似的。 定义1.17设子点集上有定义，为的聚点，且。若 即对任给的，只要，就有 则称沿于连续。 定理1.3设函数于点集上有定义，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。 上述定理告诉我们：判断复变函数是否连续，只需看其实部、虚部是否连续。例 设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点，则 从而（沿正实轴）而沿第一象限的平分角线，时，。故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。例 试证不存在。证 设，则，于是显然，k取不同值时，值也不同，故极限不存在。定义1.18 如函数在点集上各点均连续，则称在上连续。例设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。在数学分析中，闭区间上的连续函数有三个重要性质：有界性、达到最值及一致连续性，对复变函数也有类似性质。 定理 1.4 聚点定理：每一个有界无