2011年北京高考数学：解析几何(理,学生).doc

1 解答解答 5 5 解析几何解析几何 5 5 13 5 5 13 分分 数学秘籍 解析几何通法 一设 二联立 三判别 四韦达 1 化简的 救命稻草 点在曲线上 把点代入圆锥曲线方程上 2 直线与曲线相交联立方程组 利用韦达定理的根与系数关系 例 联立方程组22 1 1 43 yk x xy 消去y得 2222 34 84120kxk xk 设 1122 A x yB xy 则 22 1212 22 8412 3434 kk xxxx kk 3 向量对应坐标成比例 向量模的关系 4 等分点构造向量 得出对应坐标成比例 向量模的关系 5 面积 2 1 ABhS a kAB 2 1 22 00 BA CByAx h 6 垂直令 k k 1 7 对称 倾斜角互补 斜率互为相反数令 kk 8 对称点 0000 yxAyxA 为 9 几何意义 1 22 byax 表示点 yx到点 ba的距离 或表示以 ba为圆心 半径不确定的同心圆 2 ax by 表示点 yx到点 ba的斜率 3 表示与直线平行 截距不确定的直线yxb 202 yx 4 ax 表示x到a的距离 10 分类讨论 讨论谁为直角 斜率是否存在 曲线是否完整 2 知识归纳 直线与圆 一 直线斜率 点 两平行直线间的距离 k 00 yx 12 22 CC d AB 11 0 lAxByC 22 0 lAxByC 题型 1 直线与圆的位置关系 垂径定理 例 1 与 1 判断位置关系 2 求弦长01 yxl1 22 yxC 例 2 同步练习 直线被圆截得弦长 04 yx 222 22 yx 例 3 圆到距离为的点有 个 821 22 yxC 01 yx2 例 4 直线与曲线有一个公共点 求的范围kxy 2 1yx k 例 5 同步练习 两圆相交于两点 1 3 和 两圆的圆心都在直 1 m 线上 则的值为 0 cyxcm 例 6 在圆上 与直线 距离最小的点 4 22 yxl01234 yx 例 7 直线与圆在第一象限内有两个不同交点 mxy 3 3 1 22 yx 则的取值范围是 m 例 8 圆 点 A 1 0 B 1 0 点 P 是圆 C 143 22 yxC 的一个动点 求最大值 最小值以及对应的 P 点坐 22 PBPAd 标 答案 5 24 5 18 74 1max pyxf 5 16 5 12 34 2min pyxf 例 9 若实数满足求及取值范围yx 3 2 xy 3 1 x y myxb 2 答案 6 213 6 33 m 15 32 b 例 10 同步练习 某圆形拱桥的水面跨度 20m 拱桥高度 4m 现有一船 3 宽 10m 水面以上高 3m 这船能否从桥下通过 答案 可以通过 40 5 14 5 10 2 2 2 yyx1 3 y 参考答案 答案 1 相交 2 3 3 个 4 或 5 3 222 1 1 k2 6 7 5 6 5 8 3 32 1 精题训练 北京卷 1 10 东城一模 文 经过点 2 3 且与直线垂直052 yx 的 直线方程为 2 10 西城 期末 若直线与圆01 yx012 22 axyx 相切 则 a 3 10 北京一模 文 已知圆的方程为0862 22 yxyx 那么 该圆的一条直径所在直线的方程为 4 10 崇文一模 文 若与圆相切 则为 yxb 22 2xy b A B C D 4 2 2 2 2 5 10 西城二模 文 圆心在x轴上 且与直线xy 切于 1 1 点 的圆的方程为 6 10 海淀二模 文 已知直线 12 10 10lxylxy 则 12 l l之 间的距离为 7 10 东城 期末 若直线与圆相切 5120 xym 22 20 xxy 则 m 8 05 北京 文 从原点向圆 0 作两条切线 则该2712 22 yyx 圆 夹在两条切线间的劣弧长为 9 10 海淀期末 文 若直线l与直线7 1 xy分别交于点QP 4 且线段PQ的中点坐标为 1 1 则直线l的斜率为 10 10 东城二模 文 若曲线的一条切线 与直线 2 2yx l 084 yx 垂直 则切线 的方程为 l 参考答案 1 2 2 3 012 yx 4 B 5 280 xy 22 2 2 yx 6 2 7 8 或 18 8 2 9 3 1 10 420 xy 知识归纳 椭圆 一 椭圆 7 准线方程 c a x 2 8 焦准距 c b2 9 通 径 2 2b a 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦 10 焦半径 0201 exaPFexaPF 11 焦点弦 通过焦点的弦 2 min 2b L a 为为为为为为 12 弦长 2 AB12AB12 2 AB 1 Lxx1kyy1 k a k 2 1 3 焦点三角形 21F PF 5 1 1 PF 2 PF 2a 2 21F F 2c 3 222 cba 4 10 e a c e 5 在 21F PF 中 则 21PF F 2 tan 2 21 bS PFF 6 参数方程 sin cos by ax 7 切线方程 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点 00 P xy处切线 00 22 1 x xy y ab 题型 1 离心率 斜率 焦点三角形第一定义 精题训练 北京卷 1 07 北京 文 椭圆的焦点为 两条准线 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 F 与轴的交点分别为 若 则离心率的范围是 xMN 12 MNFF A B C D 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 2 10 西城一模 文 若椭圆上存在点 使得点到两个焦点的距离PP 之比为 2 1 则此椭圆离心率的取值范围是 A B C D 3 1 4 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 10 东城一模 文 点 P 是椭圆上一点 F1 F2是椭圆两1 1625 22 yx 个焦点 且 PF1F2内切圆半径为 1 当 P 在第一象限 P 点的纵坐标为 4 10 海淀一模 文 直线与圆相交于 A B12 byax1 22 yx 两点 其中是实数 且是直角三角形 O 是坐标原点 则点ba AOB 6 P与点之间距离的最大值为 ba 1 0 A B C D 12 2212 提示 即 于是点 P与点 2 2 2 1 22 ba d lO为 1 2 2 2 b a ba 为 1 0 2 2 2 1 2 2 bba 参考答案 1 D 2 D 3 4 A 8 3 精题训练 全国卷 1 10 安徽 理 设曲线的参数方程为 为参数 C 23cos 1 3sin x y 直线 为 则曲线上到 距离为的点的个数 l320 xy Cl 7 10 10 A 1 B 2 C 3 D 4 2 09 全国 I 理 已知椭圆的右焦点为 右准线为 2 2 1 2 x Cy Fl 点 线段交于点 若 则 Al AFCB3FAFB AF A B 2 C D 3 23 3 10 全国 理 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 FCB 线段的延长线交于点 且 则的离心率为 BFCDFDBF2 C 4 08 全国 I 理数 在中 若以ABC ABBC 7 cos 18 B 为焦点的椭圆经过点 则该椭圆的离心率 AB Ce 7 5 10 全国 II 理 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若 3AFFB 则k 6 08 山东 理 设椭圆的离心率为 焦点在轴上且长轴长为 26 1 C 13 5 x 若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 则曲 2 C 1 C 线的标准方程为 2 C A B C D 1 34 2 2 2 2 yx 1 513 2 2 2 2 yx 1 43 2 2 2 2 yx 1 1213 2 2 2 2 yx 参考答案 1 B 2 A 3 4 5 2 6 A 3 3 3 8 题型 2 轨迹几何意义 1 同步练习 和轴相切 并和圆外切的动圆的圆心轨迹方程x1 22 yx 是 2 同步练习 若圆的弦长为 2 则弦的中点轨迹方程 912 22 yx 为 3 同步练习 若圆 求过点 A 1 2 所作的弦的中点 P 的轨9 22 yx 迹 提示 垂径定理 4 必修 2 课本 P104 B 组第 2 题 求与两定点的距离 2 3 2 1 BA 的比为的点的轨迹方程 答案 2 3227 22 yx 5 05 江苏 文 圆与圆的半径都是 1 过动点 P 分 1 O 2 O4 21 OO 别作圆 圆的切线 PM PN M N 分别为切点 使得 1 O 2 O 8 试建立适当坐标系 求动点 P 轨迹方程 答案 PNPM2 33 6 22 yx P O1O2 N M 6 07 北京 文 如图 矩形的两条对角线相交于点 ABCD 2 0 M 边所在直线的方程为点在边所在直线AB360 xy 11 T AD 上 I 求直线方程 AD II 求矩形外接圆的方程 ABCD III 若动圆过点 且与矩形的外接圆外切 求动P 2 0 N ABCD 圆的圆心的轨迹方程 P D T N O A B C M x y 答案 I II III 动圆的圆320 xy 22 2 8xy P 心的轨迹方程为 22 1 2 22 xy x 7 09 海南 理 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点 焦点在Cxoy 轴上 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 x 求椭圆的方程 C 若为椭圆上的动点 为过且垂直于轴的直线上的点 PCMPx 9 求点的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 OP OM M 答案 椭圆的标准方程为C 22 1 167 xy 其中 2222 169 16112xy 4 4x i 时 化简得 点的轨迹方程为 3 4 2 9112y M 轨迹是两条平行于轴的线段 4 7 44 3 yx x ii 时 3 4 22 22 1 112112 16916 xy 4 4x 1 当时 点的轨迹为中心在原点 实轴在轴上的 3 0 4 My 双曲线满足的部分 2 当时 点的轨迹为44x 3 1 4 M 中心在原点 长轴在轴上的椭圆满足的部分 3 当x44x 时 点的轨迹为中心在原点 长轴在轴上的椭圆 1 Mx 题型 3 对称 斜率互为相反数 倾角互补令 kk 1 08 天津 理 文 已知圆C的圆心与抛物线 2 4yx 的焦点关于直线 yx 对称 直线4320 xy 与圆C相交于AB 两点 且6AB 则圆C的方程为 2 09 宁夏 理 文 已知圆 1 C 2 1 x 2 1 y 1 圆 2 C与圆 1 C关于 直线10 xy 对称 则圆 2 C的方程为 A 2 2 x 2 2 y 1 B 2 2 x 2 2 y 1 C 2 2 x 2 2 y 1 D 2 2 x 2 2 y 1 3 10 蒋叶光 编写 直线与圆交于1 kxy04 22 mykxyx 两点 且关于直线对称 求的值NM NM 0 yxkm 10 4 08 北京 理 过直线上的一点作圆的两yx 22 5 1 2xy 条切线 当直线关于对称时 它们之间的夹角为 12 ll 12 ll yx A B C D 30 45 60 90 5 经典 10 崇文二模 文 已知圆的方程 过作 22 25xy 4 3 M 直线与圆交于点 且关于直线对称 则直 MA MB A B MA MB3y 线的斜率等于 AB 参考答案 1 2 B 3 0 4 C 5 22 1 18xy 3 4 题型 4 定点 定值产生原因 对称点 0000 yxAyxA 为 恒过定问题 恒过定点 00 xxkyy 00 y x 1 恒过定点 2 kxy 2 恒过定点 1 kkxy 3 恒过点 032 yx 化成一般式 合并同类项 令每项都为 0 即可 4 若 则直线恒过点 0 22 BA0 ByAx 5 恒过点 提示 化成 0 mymx0 1 yxm 6 为轴上的动点 为圆的两条切线 切1 1 22 yxQxBQAQ 点为 A B 证明 直线 AB 过定点 并求出定点坐标 11 提示 设 于是满足 0 mQ0 ymx 7 圆恒过定点 0 1 222 bybxyx 提示 令 0 1 2 22 byyxyx02 01 22 yxyxy 8 09 海淀二模 理 若直线与直线关于点 2 1 对 4 1 xkyl 2 l 称 则直线恒过定点 2 l 9 10 蒋叶光 编写 直线恒过定点 034 kykx 参考答案 1 0 2 2 1 1 3 0 0 4 0 0 5 1 0 6 0 0 7 2 1 与 0 1 8 0 2 9 3 4 精题训练 1 10 崇文一模 文 椭圆短轴端点 22 22 10 xy ab ab 0 3D 过作直线 与椭圆交于另一点 与轴交于点 不同于 1 2 e DlMxA 原点 点关于轴的对称点为 交轴于点 OMxNDNxB 求椭圆的方程 求证为定值 OBOA 12 答案 22 1 43 xy OA OB 4 33 4 3 k k 结论 过短轴端点作直线交椭圆于 A 作其关于轴的对称点 B 0 bx 则这线在轴的截距乘积为x 2 a 2 09 北京 理 已知双曲线的离心率为 22 22 1 0 0 xy Cab ab 右准线方程为3 3 3 x 求双曲线的方程 C 设直线 是圆上动点处的切线 l 22 2O xy 0000 0 P xyx y 与双曲线交于不同的两点 证明 的大小为定值 lC A BAOB 答案 I II 的大小为 2 2 1 2 y x AOB 90 为定值 AOB 90 0 OBOA 1 OBOA kk OBOA 3 经典 10 东城期末 理 已知椭圆的中心在原点 一个焦点C 且长轴长与短轴长的比是 0 2 F2 1 求椭圆的方程 C 若椭圆在第一象限的一点的横坐标为 过点作倾斜角互CP1P 补的两条不同的直线 分别交椭圆于另外两点 PAPBCA 求证 直线的斜率为定值 BAB 求面积的最大值 PAB 13 y O x B A P F1 F2 答案 I II 设 22 1 42 yx PB2 1 yk x 则 令 AA A xy BB B xy 2 2 2 22 1 2 BB kk xx k 得 为定值kk 2 2 2 22 2 A kk x k 2 AB AB AB yy k xx III 当且仅当时取等号 面积的最大值为 2m PAB 2 4 经典 09 辽宁 理 椭圆 C 过点 A 3 1 2 焦点 1 0 1 0 1 求椭圆 C 的方程 2 E F 是椭圆 C 上两个动点 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为 相 反数 证明直线 EF 的斜率为定值 并求出这个定值 答案 1 22 1 43 xy 直线 EF 的斜率为定值 其值为 1 2 6 10 东城一模 文 椭圆离心率为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 2 3 以原点为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与相切 02 yx 1 求椭圆 C 的方程 2 设 P 4 0 M N 是椭圆 C 上关于轴对称的任意两个不同的点 x 连结 PN 交椭圆 C 于另一点 E 求直线 PN 的斜率的取值范围 3 在 2 的条件下 证明 直线 ME 与轴相交于定点 x 14 答案 1 2 因为不符合题意 1 4 2 2 y x C0 k 3 令 6 3 00 6 3 kk或 0 12 122 2 yy xxy xxy 得 7 10 东城一模 理 椭圆的离心率为 22 22 1 xy C ab 0 ab 1 2 以原点为圆心 椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切 60 xy 求椭圆的方程 C 设 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点 4 0 PABCx 连结交椭圆于另一点 证明 直线与轴相交于定点 PBCEAExQ 在 的条件下 过点的直线与椭圆交于 两点 QCMN 求的取值范围OM ON 答案 I II 设点 则 22 1 43 xy 11 B x y 22 E xy 直线的方程为 直线与 11 A xy AE 21 22 21 yy yyxx xx AE 轴相交于定点 III 斜率存在时 设为 x 1 0 QMN 1 ym x MNMN OM ONx xy y 2 22 512533 4344 43 m mm 2 22 512533 4344 43 m mm 当斜率不存在时 故 5 4 4 OM ON 5 4 OM ON 5 4 4 探究 恒过定点的条件 过点 P作直线交于 B C 点 作 B 点关于 0 2 a 轴的对称点 A 连接 AC 则直线 AC 恒过 1 0 x 10 经典 07 山东 理 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 焦点在 x 轴 上 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 最小值为 1 15 求椭圆 C 的标准方程 若与椭圆 C 相交于 A B 两点 A B 不是左右顶mkxyl 点 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 求证 直线 过定点 l 求坐标 答案 直线 过定点 定点坐标为 22 1 43 xy l 2 0 7 11 经典 10 四川 理 定点 A 1 0 F 2 0 定直线 不 2 1 xl 在轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 的距离的 2 倍 设点 P 的轨xl 迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 于点 M Nl 求 E 的方程 试判断 以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 答案 I x2 1 y 0 II 当直线 BC 与 x 轴不垂直时 M 点的 2 3 y 坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 2 12 12 93 22 1 1 y y FM FN xx A 0 当直线 BC 与 x 轴垂直 方程为 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk x 2 0综上 0 即 FM FN 2 333 222 FM FN AFM FN A 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 12 蝴蝶定理 03 北京 理 如图 椭圆的长轴 A1A2与 x 轴平行 短轴 B1B2在 y 轴上 中心为 M 0 r 0 rb 写出椭圆的方程 求椭圆的焦点坐标及离心率 直线交椭圆于两点直线xky 1 0 22211 yyxDyxC 交椭圆于两点xky 2 0 44433 yyxHyxG 16 求证 43 432 21 211 xx xxk xx xxk 对于 中的 C D G H 设 CH 交 x 轴于点 P GD 交 x 轴于点 Q 求证 OP OQ 证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形 答案 I 椭圆为焦点为 1 2 2 2 2 b ry a x 22 1 rbaF 离心率 22 2 rbaF 22 a ba e II 分别联立方程组 直线 CD 的方程代入椭圆方程 得xky 1 整理得 222 1 222 barxkaxb 根据韦达定理 得 0 2 22222 1 22 1 22 bararxakxkab 故 2 1 22 2222 21 2 1 22 2 1 21 2 kab bara xx kab rak xx rk br xx xx 1 22 21 21 2 将直线 GH 的方程代入椭圆方程 同理可得 xky 2 rk br xx xx 2 22 43 43 2 由 得所以结论成立 21 212 22 21 211 2xx xxk r br xx xxk 证明 设点 P p 0 点 Q q 0 由 C P H 共线 得解得 22 11 2 1 xk xk px px 2211 2121 xkxk xxkk p 由 D Q G 共线 同理可得 43 432 21 211 3221 3221 xx xxk xx xxk xkxk xxkk q 由 变形得 即 4211 41 3221 32 xkxk xx xkxk xx 4211 4121 3221 3221 xkxk xxkk xkxk xxkk 17 所以 OQOPqp 即 题型 5 垂直平分线 PBPA 垂直圆的直径 令 1 21 kk 0 OBOA k k 1 1 10 西城二模 文 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 3 6 椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6 I 求椭圆的方程 C II 设直线2 kxyl与椭圆交于两点 点 0 1 且CBA P 求直线l的方程 PBPA 答案 I 椭圆 C 的方程为 22 1 93 xy II 直线 l 的方程为 2020 xyxy 或 2 难度的顶峰 10 海淀二模 文 给定椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 称圆心在原点O 半径为 22 ab 的圆是椭圆 的 准圆 若椭圆 C 的 一个焦点为 2 0 F 其短轴上的一个端点到 的距离为3 I 求椭圆 的方程和其 准圆 方程 II 点 P 是椭圆 C 的 准圆 上的一个动点 过点 P 作直线 12 l l 使得 12 l l与椭圆 C 都只有一个交点 且 12 l l分别交其 准圆 于点 M N 1 当 P 为 准圆 与y轴正半轴的交点时 求 12 l l的方程 2 求证 MN 为定值 答案 I 椭圆的方程为 2 2 1 3 x y 准圆的方程为4 22 yx 18 II 1 12 l l方程为2 2 xyxy 2 当 12 l l中有一条无斜率时 不妨设 1 l无斜率 则直线方程为 3 x或3 x 1 l与准圆交于点 1 3 1 3 经过点 1 3 或 1 3 且与椭圆只有一个公共点的直线是1 y 或 1 y 即 2 l为1 y 或1 y 显然直线 12 l l垂直 同理 可证 1 l方程为3 x时 直线 12 l l垂直 当 12 l l都有斜率时 设点 00 yxP 4 2 0 2 0 yx 设过点 00 yxP与椭圆只有一个公共点的直线为 00 yxxty 则 00 2 2 1 3 ytxytx x y 消去y得到 03 3 2 00 2 txytxx 即03 3 6 31 2 0000 22 txyxtxytxt 0 3 3 31 4 6 2 00 22 00 txyttxyt 化简得到 012 3 2 000 2 2 0 ytyxtx 由4 2 0 2 0 yx 得0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 设 12 l l的斜率分别为 21 t t 因为 12 l l与椭圆都只有一个 公共点 21 t t满足上述方程 0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 1 21 tt 即 12 l l垂直 综合 知 12 l l垂直 所以线段 MN 为准圆4 22 yx的直径 MN 19 题型 6 最值问题导数 不等式 二次函数 弦长 面积弦长公式 a kAB 2 1 1 06 北京 理 已知点 动点满足条件 2 0 2 0 MN P 记动点的轨迹为 2 2PMPN PW 求的方程 W 若是上的不同两点 是坐标原点 求的最小值 A BWOOA OB 答案 1 2 当最小值2 1 22 22 x yx OBOAxAB 轴 2 2 10 海淀一模 文 已知椭圆的对称中心为原点 O 焦点在轴上 Cx 离心率为 且点 1 在该椭圆上 1 2 3 2 I 求椭圆的方程 C II 过椭圆的左焦点的直线 与椭圆相交于两点 若C 1 FlC A B 的面积为 求圆心在原点 O 且与直线 相切的圆的方AOB 7 26 l 程 答案 I 椭圆 II 圆 22 1 43 xy O 22 1 2 xy 3 08 北京 文 已知的顶点在椭圆上 在ABC AB 22 34xy C 直线上 且 2lyx ABl 当边通过坐标原点时 求的长及的面积 ABOABABC 当 且斜边的长最大时 求所在直线的方90ABC ACAB 程 20 答案 I 12 22 2ABxx 1 2 2 ABC SAB h A II 2 12 326 2 2 m ABxx A k 2 1 2 12 326 2 2 m ABxx 平行线间的距离为三角形的高h 2 2 m BC 所在直线的 222 22 210 1 11ACABBCmmm AB 方程为 1yx 4 08 北京 理 已知菱形的顶点在椭圆上 ABCDAC 22 34xy 对角线所在直线的斜率为 1 BD 当直线过点时 求直线的方程 BD 01 AC 当时 求菱形面积的最大值 60ABC ABCD 答案 1 2 20 xy 所以当时 菱形 2 34 34 3 316 433 Snn 0n 的面积取得最大值 ABCD4 3 5 10 东城二模 文 已知椭圆的短轴长为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 且与抛物线有共同的焦点 椭圆的左顶点为 A 右顶点为 2 4 3yx C 点是椭圆上位于轴上方的动点 直线 与直线BPCxAPBP 分别交于两点 3y G H I 求椭圆的方程 C 求线段的长度的最小值 提示 利用平行线段成比例即可 GH 在线段长度取得最小值时 椭圆上是否存在一点 使得GHCT 的面积为 若存在求出点的坐标 若不存在 说明理TPA 1T 21 由 答案 椭圆的方程为 当时 C 2 2 1 4 x y 1 2 k 线段的长度取最小值 设直线 GH8 1 2 l yxt 则由 2 2 1 2 1 4 yxt x y 22 2220 xtxt 即 22 48 1 0tt 2 2t 由平行线间距离公式 得 得或 舍去 22 2 5 55 t 0t 2t 可求得或 2 2 2 T 2 2 2 T 6 10 宣武期末 理 已知直线 与圆 C l1 kxy 相交于两点 1 3 2 22 yxBA 求弦的中点的轨迹方程 提示 点差法 ABM 若为坐标原点 表示的面积 O kSOAB 求的最大值 1 3 2 2 k kSkf kf 答案 I 0342 22 yxyx 4 77 4 77 x II 时 的最大值为 3 3 k kf 2 33 22 提示 1 3 2 2 k kSkf 22 1 8 k k 由 0 1 3 3 3 3 24 32 k kk kf 3 3 k 得 时 最大值为0 3 74 3 74 k 3 3 k 2 33 7 10 东城期末 文 已知椭圆的中心在原点 一个焦点 且C 2 0 F 长轴长与短轴长的比是 2 3 求椭圆的方程 C 设点在椭圆的长轴上 点是椭圆上任意一点 当 0 mMCP 最小时 点恰好落在椭圆的右顶点 求实数的取值范围 MP Pm 答案 椭圆的方程为 C1 1216 22 yx 当最小时 点恰 2 MP 2222 312 4 4 1 122 4 1 mmxmmxx MP P 好落在椭圆的右顶点 故对称轴 即 44 m1 m 4 1 m 提示 联立圆的方程与椭 min mMP4 2 2 2 4 mymx 圆的方程 使其判别式为 0 即为相切 8 10 北京 文 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 6 3 直线椭圆 C 交与不同的两点 M N 以线ty 段为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴相切 求圆心 P 的坐标 提示 点 M t t 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 变化时 求 y 的最大值t 答案 2 2 1 3 x y P 0 3 2 圆 P 的方程 23 222 3 1 xytt 222 3 1 3 1 yttxtt 设cos 0 t 则 2 3 1 cos3sin2sin 6 tt 当 3 即 1 2 t 且0 x y取最大值 2 题型 7 数列 向量综合 1 10 辽宁 理 设椭圆 C 的左焦点为 F 过 22 22 1 0 xy ab ab 点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 的倾斜角为 60o l 2AFFB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 求椭圆 C 的方程 15 4 答案 I II 椭圆 C 的方程为 2 3 c e a 22 1 95 xy 2 07 全国 II 理 直角坐标中 以为圆心的圆与直线相O34xy 切 1 求圆的方程 O 2 圆与轴相交于两点 圆内的动点使成等OxAB PPAPOPB 比数列 求的取值范围 PA PB A 答案 1 圆的方程为 2 的取值范围为O 22 4xy PA PB A 2 0 提示 设 由成等比数列 得 P xy PAPOPB 即 222222 2 2 xyxyxy A 22 2xy 2 2 PA PBxyxy AA 22 2 4 2 1 xy y 24 由于点在圆内 故PO 22 22 4 2 xy xy 由此得 所以的取值范围为 2 1y PA PB A 2 0 3 08 全国 I 理 双曲线的中心为原点 焦点在轴上 两条渐Ox 近线分别为 经过右焦点垂直于的直线分别交于 12 ll F 1 l 12 ll 两点 已知成等差数列 且与同向 AB OAABOB BF FA 求双曲线的离心率 5 2 e 设被双曲线所截得的线段长为 4 求双曲线方程 AB 22 1 369 xy 题型 8 交点 等分点问题韦达定理 1 10 蒋叶光 编写 已知点和 直线 3 2 A 2 3 B 与线段存在公共点 求的取值范围02 yaxABa 提示 点在直线上 代数化 解得0 223 232 aa 2 5 3 4 a 2 10 海淀期末 文 已知 1 F为椭圆 2 2 1 2 x Cy 的左焦点 直线 1 xyl与椭圆C交于BA 两点 那么 11 F AFB 的值为 3 中点 10 宣武期末 文 椭圆 E 的焦点坐标 22 22 1 0 xy a b ab 为 点 M 在椭圆 E 上 1 F0 2 2 2 求椭圆 E 的方程 设 Q 1 0 过 Q 点引直线 与椭圆 E 交于两点 求线段lBA 中点的轨迹方程 ABP O 为坐标原点 的任意一条切线与椭圆 E 有两个交点 且OCD 25 求 的半径 提醒 纷繁计算量 ODOC O 答案 22 1 84 xy 02 22 xyx 2 6 3 r 4 中点 06 北京 文 椭圆的两个焦点为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C F1 F2 点 P 在椭圆 C 上 且 211 FFPF 3 14 3 4 21 PFPF 求椭圆 C 的方程 若直线 l 过圆的圆心 M 交椭圆 C 于 A B 两024 22 yxyx 点 且 A B 关于点 M 对称 求直线 的方程 l 答案 1 49 22 yx 1 2 9 8 xy 5 中点 10 西城一模 理 椭圆1 4 2 2 y x短轴的左右两端点为 直线1 kxyl与轴 轴交于两点交椭圆于两点BA xy FE DC I 若 求直线l的方程 FDCE II 设直线的斜率分别为 21 k k 若1 2 21 kk 求的值 CBAD k 提示 分类讨论 答案 I 直线 l 的方程为210210 xyxy 或 II 提示 21 12 1 2 1 1 yx y x 平方得 22 21 22 12 1 4 1 yx yx 2 222221 11122 1 4 1 4 1 4 y xyxyx 又所以同理 21 1212 12 1 1 4 35 30 1 1 xx x xxx xx 即 2 1 31030 3 3 kkkk 解得或 26 21 1212 12 1 21 1 1 1 13 yx x xy yk y x 所以异号故舍去 6 三等分点 10 北京一模 文 已知 1 2 0 F 2 2 0 F两点 曲线 C上的动点P满足 1212 3 2 PFPFFF 求曲线C的方程 若直线l经过点 0 3 M 交曲线C于A B两点 且 1 2 MAMB 求直线l的方程 答案 22 1 95 xy 3 3 5 xy 题型 9 动点问题 1 10 海淀期末 文 已知椭圆 C 1 4 2 2 y x 的焦点为 12 F F 若点 P在椭圆上 且满足 2 12 POPFPF A 其中O为坐标原点 则称 点P为 点 那么下列结论正确的是 A 椭圆C上的所有点都是 点 B 椭圆C上仅有有限个点是 点 C 椭圆C上的所有点都不是 点 D 椭圆C上有无穷多个点 但不是所有的点 是 点 2 10 海淀 上期末 点P在曲线C 上 若存在过P的直 2 2 1 4 x y 线交曲线C于A点 交直线l 于B点 满足或4x PAPB 则称点P为 H 点 那么下列结论正确的是 PAAB A 曲线 C 上的所有点都是 H 点 B 曲线C上仅有有限个点是 H 点 C 曲线C上的所有点都不是 H 点 D 曲线C上有无穷多个点 但不是所有的点 是 H 点 27 3 10 西城一模理 理 如图 在等腰梯形中 且ABCDCDAB 设 2 0 DAB 以为焦点且过点的双ADAB2 BA D 曲线的离心率为 1 e 以为焦点且过点的椭圆的离心率为 2 e 则DC A A 随着角度 的增大 1 e增大 21e e为定值 B 随着角度 的增大 1 e减小 21e e为定值 C 随着角度 的增大 1 e增大 21e e也增大 D 随着角度 的增大 1 e减小 21e e也减小 提示 双曲线减小 椭圆增大 AB CD 4 2011 海淀期中 理 在平面直角坐标系中 是坐标原点 设函xOyO 数的图象为直线 且 与轴 轴分别交于 2 3f xk x llxyA 两点 给出下列四个命题 其中所有真命题的序号是 B 存在正实数 使 的面积为的直线 仅有一条 mAOBml 存在正实数 使 的面积为的直线 仅有两条 mAOBml 存在正实数 使 的面积为的直线 仅有三条 mAOBml 存在正实数 使 的面积为的直线 仅有四条 mAOBml A B C D 28 参考答案 1 B 2 D 3 B 4 D 知识归纳 双曲线 1 定 义 平面内动点 P 与两定点 F1 F2距离差等于定长 2a ca 0 当 2121 2FFaPFPF 为双曲线 当 2121 2FFaPFPF 为以 21F F为端点的两条射线 当不含绝对值 轨迹为一条射线或双曲线的一支 2 标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 谁正谁为a 1 定义域 值域 ax R 2 焦点 0 1 cF 0 2 cFac 3 实轴长 半实轴长 aAB2 aBOAO 4 虚轴长 半虚轴长 b2b 5 焦距 半焦距 cFF2 21 cOFOF 21 6 离心率 1 a c e 7 渐近线 退化双曲线 令0 2 2 2 2 b y a x 即 a xb y 29 8 准线 c a x 2 9 焦渐距 焦点到渐进线的距离为b 10 焦准距 双曲线的焦点与其相应准线的距离 c b2 11 通 径 过的焦点且垂直于对称轴的弦 a b22 12 焦半径 01 exaPF 02 exaPF 13 等轴双曲线 且两渐近线相互垂直ba 2 e 14 共轭双曲线 实轴和虚轴交换 15 共渐近线双曲线 0tt 2 2 2 2 b y a x 特点 1 渐近线相同 2 焦距相等 3 两离心率平方倒数和为 1 3 焦点三角形 21F PF 1 21F Fc2 2 aPFPF2 21 3 1 a c e 4 222 bac 5 2 cot 2 21 bS PFF 30 6 双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 渐近线 22 22 0 xy ab x a b y 若渐近线 x a b y 0 b y a x 双曲线可设 2 2 2 2 b y a x 若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线 可设为 2 2 2 2 b y a x 7 点差法 椭圆 双曲线 圆 上 A B 两点 弦 AB 的中点1 22 n y m x 为 弦 AB 的斜率 则 00 y xM AB k m n k x y AB 0 0 典型例题 例 1 10 蒋叶光 编写 已知以为左右焦点的双曲线 21 F F 右支上点 其中的内切圆与轴切于点 1 916 22 yx M 21MF F xP 则的值为 2 1 PFPF 例 2 10 蒋叶光 编写 已知双曲线右支上点到1 22 yx baP 的距离为 求的值xy 2ba 解法一 又因为点在曲线上 2 11 ba d 2 ba baP 所以 即 这是错的 1 22 ba 2 1 ba 解法二 双曲线右支上点 故 1 22 yx baP ba 又因为 即1 22 ba 2 1 ba 例 3 10 蒋叶光 编写 若点在双曲线上 若 P1 2016 22 yx 9 1 PF 则 2 PF 31 解法一 1 或 17 这是错的 82 21 aPFPF 2 PF 解法二 只能在右支 故17 2 PF 例 4 若点双曲线在上 若 则 P1 2016 22 yx 11 1 PF 2 PF 例 5 若点在椭圆上 则 P1 1625 22 yx 2 PF 参考答案 1 8 2 3 17 4 3 或 19 5 3 2 1 ba 题型 1 离心率 焦点弦 焦点三角形 精题训练 北京卷 1 10 海淀二模 文 双曲线 22 1 169 xy 的焦距为 A 10 B 7 C 2 7 D 5 2 03 北京 理 以双曲线右顶点为顶点 左焦点为焦点的抛物1 916 22 yx 线的方程是 3 10 北京 理 双曲线 22 22 1 xy ab 离心率为 2 焦点与椭圆 22 1 259 xy 的焦点相同 则双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 4 10 海淀期末 文 双曲线 22 2yx 的渐近线方程是 A yx B 2yx C 3yx D 2yx 5 10 海淀期末 理 双曲线 则焦点到渐近线的距离为 2 2 1 3 y x 32 A 1 B 3 C 3 D 4 6 10 宣武期末 文 若双曲线的离心率为 则 1 15 2 2 y xn n 设 为虚数单位 复数的运算结果为 i n i 1 7 10 东城二模 文 已知双曲线的左右焦点 22 22 1 xy ab 0 0 ab 分别为 点在双曲线上 且轴 若 则双 1 F 2 FA 2 AFx 1 2 5 3 AF AF 曲线的离心率等于 A B C D 2323 8 10 西城一模 理 已知双曲线的左顶点为 右焦点为 2 2 1 3 y x 1 A 为双曲线右支上一点 则最小值为 2 FP 12 PA PF 9 10 东城期末 理 直线过双曲线tx 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ab 两点 若原点在以为直径的圆外 则双曲线离心率的取值范ABAB 围是 10 10 东城期末 文 若双曲线的两个焦点 22 22 1 0 0 xy ab ab 为 为双曲线上一点 且 则该双曲线离心率 1 F 2 FP 12 3PFPF 的取值范围是 11 10 东城二模 理 抛物线 2 2ypx 0 p 与双曲线 22 22 1 xy ab 0 0 ab 有相同的焦点F 点A 是两曲线的一个交点 且 AFx 轴 若l为双曲线一渐近线 则l倾斜角所在的区间可能是 33 A 0 6 B 6 4 C 4 3 D 3 2 参考答案 1 A 3 4 36 2 2 xy xy30 4 4 A 5 B 6 4 4 7 A 8 2 9 10 11 D 21 21 e 知识归纳 抛物线 1 定义 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 1 ee 2 标准形式 为焦参数pppxy 0 2 2 1 焦点 0 2 p 2 准线 2 p x 3 通径 pAB2 4 焦半径 2 p xCF 5 焦准距 焦点到准线的距离 p 34 3 抛物线重要结论 设 中点为 2211 yxByxA 00 y xM 1 以 AB 为直径的圆与准线 相切l 2 pxpxxAB 021 2 2 21 2 21 4 3pyy p xx 2 sin 2 4 p AB sin2 2 p S AOB 5 35 pBFAF 211 6 7 0 y p kAB 8 弦长公式 a kAB 2 1AB 9 切线方程 抛物线pxy2 2 上一点 00 P xy处的切线方程是 00 y yp xx 题型 1 离心率 斜率 焦点弦 精题训练 北京卷 1 05 北京 文 抛物线 的准线方程是 焦点坐标是 xy4 2 2 10 海淀期末 文 抛物线 2 4yx 的准线方程是 3 10 西城二模 文 在抛物线pxy2 2 上 横坐标为 2 的点到抛物线焦 点的距离为 3 则 p 4 10 宣武期末 文 设斜率为的直线l过抛物线焦点 且kxy8 2 F 36 和y轴交于点 A 若 为坐标原点 面积为 4 则的值为 OAF Ok A B C D 2 4 24 5 10 东城一模文 已知圆与抛物线的准线0 4 1 22 mxyx 2 4 1 xy 相切 则的值等于 m A B C D 2 323 6 10 东城期末 文 已知点在直线上 点在抛物线P50 xy Q 上 则的最小值等于 2 2yx PQ 参考答案 1 1 x 1 0 2 1 x 3 2 4 B 5 D 6 9 2 4 题型 2 定值 定点 1 04 北京 理 如图 过抛物线上一定点 P ypx p 2 20 xy 00 作两条直线分别交抛物线于 A B y00 xy 11 xy 22 I 求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点 F 的距离 p 2 II 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时 求的值 并 yy y 12 0 证明 直线 AB 的斜率是非零常数 37 y P O x A B 答案 1 距离为 2 8 5pyy y 12 0 2 k p yy p y AB 2 120 2 10 西城 期末 已知抛物线 直线与交xyC4 2 bkxyl C 于两点 为坐标原点 BA O 当 且直线 过抛物线的焦点时 求的值 1 klC AB 当直线的倾斜角之和为时 求 之间满足的关系OBOA 0 45kb 式 并证明直线 过定点 l 答案 1 2 直线 过定点 8 AB44 kbl 4 4