19.4线段的垂直平分线.ppt

19 4 4线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 PA PB P1 P1A P1B 命题 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 动手操作 作线段AB的中垂线MN 垂足为C 在MN上任取一点P 连结PA PB 量一量 PA PB的长 你能发现什么 由此你能得到什么规律 证明 MN AB 已知 PCA PCB 垂直的定义 在 PCA和 PCB中 PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的对应边相等 C 命题 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 PA PB 直线MN AB 垂足为C 且AC CB 已知 如图 点P在MN上 求证 C PA PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 当点P与点C重合时 上述证明有什么缺陷 PCA与 PCB将不存在 PA与PB还相等吗 相等 此时 PA CA PB CB已知AC CB PA PB 线段的垂直平分线 C 性质定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 PA PB 点P在线段AB的垂直平分线上 逆命题 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 A B P 已知 线段AB 且PA PB 求证 点P在线段AB的垂直平分线MN上 过点P作PC AB垂足为C 在Rt PCA和Rt PCB中PA PB PC PC PCA PCB HL PC是线段AB的垂直平分线 即点P在线段AB的垂直平分线MN上 证明 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 逆定理 和线段两个端点距离相等的所有点的集合 线段的垂直平分线可以看作是 如图 ABC中 边AB BC的垂直平分线交于点O 1 求证 OA OB OC 2 点O是否也在边AC的垂直平分线上呢 由此你能得出什么结论 证明 点O在线段AB的垂直平分线上 OA OB 点O在线段BC的垂直平分线上 OB OC OA OB 点O在线段AC的垂直平分线上 结论 三角形三边垂直平分线交于一点 这一点到三角形三个顶点的距离相等 泰安市政府为了方便居民的生活 计划在三个住宅小区A B C之间修建一个购物中心 试问 该购物中心应建于何处 才能使得它到三个小区的距离相等 A B C 实际问题1 线段的垂直平分线 1 求作一点P 使它和 ABC的三个顶点距离相等 实际问题1 高速公路 A B 在某高速公路L的同侧 有两个工厂A B 为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院 使得两个工厂的工人都没意见 问医院的院址应选在何处 你的方案是什么 生活中的数学 L 1 在 ABC中 ACB 90 AB 8cm BC的垂直平分线DE交AB于D点 则CD 4cm 2 在 ABC PM QN分别垂直平分AB AC 则 1 若BC 10cm则 APQ的周长 cm 2 若 BAC 100 则 PAQ 10 200 3 在 ABC中 AB AC AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50 则 B 700或200 证明 连结BC AB AC 已知 A点在线段BC的垂直平分线上 垂直平分线性质定理 同理 D点也在线段BC的垂直平分线上 两点确定一条直线 直线AD是线段BC的垂直平分线 E是AD延长线上一点 已知 BE CE 垂直平分线性质定理 例1已知 如图 AB AC DB DC E是AD延长线上一点 求证 BE CE 证明 连结MA MN垂直平分线AB 已知 BM AM 垂直平分线性质定理 B MAB 等角对等边 AB AC 已知 B C 等边对等角 BAC 120 B C 30 三角形内角和定理 CAM CAB MAB 90 AM CM 直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 CM 2BM 例2已知 如图 在 ABC中 A 120 AB AC MN垂直平分AB分别交BC AB于M N 求证 CM 2BM A B C M N 例3已知 如图 AD是 ABC的角平分线 DE AB于E DF AC于F 求证 AD垂直平分EF 证明 AD平分 BAC DE AB于E DF AC于F 已知 AED AFD 90 DE DF 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 D点在线段EF的垂直平分线上 垂直平分线性质定理 在Rt AFD和Rt AED中AD AD 公共边 DE DF 已证 AFD AED HL AF AE A点在线段EF的垂直平分线上 垂直平分线性质定理 AD垂直平分EF 4 如图 CD EF分别是AB BC的垂直平分线 请你指出图中相等的线段有哪些 AD BD CF BF AC BC CE BE 1 2 3 CF DF 即 BF CF DF 证明题 5 已知 如图 线段CD垂直平分AB AB平分 CAD 求证 AD BC 证明 线段CD垂直平分AB 已知 CA CB 线段垂直平分线的性质定理 1 3 等边对等角 又 AB平分 CAD 已知 1 2 角平分线的定义 2 3 等量代换 AD BC 内错角相等 两直线平行 挑战自我 驶向胜利的彼岸 1 如图 已知AB是线段CD的垂直平分线 E是AB上的一点 如果EC 7cm 那么ED cm 如果 ECD 600 那么 EDC 0 7 60 2 如图 在Rt ABC中 ACB 90 BC的垂直平分线交斜边AB于D 交BC于E AB 7 8 AC 3 9 图中角度等于60 的角有 A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 一 选择题 练习 D 3 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上 则这个三角形是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形 C 4 已知 如图 AB AC DB DC 求证 AD所在直线是BC的垂直平分线 二 解答题 练习 先证明 ABD ACD 再导出 BAD CAD 根据等腰三角形性质定理推论1即可证出 5 如图 在 ABC中 已知AC 27 AB的垂直平分线交AB于点D 交AC于点E BCE的周长等于50 求BC的长 老师期望 做完题目后 一定要 悟 到点东西 纳入到自己的认知结构中去 AD BD DE AB EA EB 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 AC 27 EA EC 27 EB EC 27 EB EC BC 50 BC 23 例1已知 如图 在Rt ABC中 B 90 ED垂直平分AC交AC于D 交BC于E BAE BAC 2 5 求 C的度数 分析 由于ED垂直平分AC 则有EA EC 从而 EAC C 根据 BAE BAC 2 5 可设 BAE 2k BAC 5k 则 EAC C 3k 由直角三角形两锐角互余 C BAC 90 得3k 5k 90 求出k值即可 点评 有比例条件的 一般用到设比例系数 例2 已知 ABC中 C 90 A 30o BD平分 ABC交AC于D 求证 D点在AB的垂直平分线上 证明 30o C 90o A 30o 已知 ABC 60o 三角形内角和定理 A ABD 等量代换 D点在AB的垂直平分线上 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 AD BD 等角对等边 3 已知 如图 ABC中 M N分别是AB BC的中点 DM AB于M DN BC于N BAD 80 求 DAB DCB的度数 100 定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 3 14线段的垂直平分线 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理和一