1417-数学-常州市武进区2012～2013学年度第一学期期中调研测试（文科）.doc

常 州 市 武 进区 2013届第一学期期中考试2012.11高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1已知集合，则集合= 2已知向量，则向量与的夹角为 3设直线是曲线上的一条切线，则切线斜率最小时对应的倾斜角为 4的周期是 5公比为的等比数列的各项都是正数，且，则 6若实数满足，则= 7已知向量满足，.若与垂直，则 8一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上.如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为 9等差数列中，已知，则的取值范围是 10已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为 11已知，若实数满足则的最小值为 12过点C(2，5)且与轴，轴都相切的两个圆的半径分别为，则= 13给出以下命题： 在ABC中，是的必要不充分条件； 在ABC中，若，则ABC一定为锐角三角形； 函数与函数是同一个函数； 函数的图象可以由函数的图象按向量平移得到.则其中正确命题的序号是 （把所有正确的命题序号都填上）14数列满足，则的前项和为 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）设函数.图像的一条对称轴是直线 求函数的解析式； 若，试求的值.16（本题满分14分）长方体中， ，、分别是和的中点，求证： ； 面.ABCDQPA1B1C1D117（本题满分14分）已知，其中是自然常数， 当时，求的单调区间和极值； 若恒成立，求的取值范围.18（本题满分16分）已知曲线C：. 证明：不论取何实数，曲线C必过定点； 当时，若曲线C与直线相切，求的值； 对所有的且，是否存在直线与曲线C总相切？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.19（本题满分16分）各项均为正数的数列中，前项和. 求数列的通项公式； 若恒成立，求k的取值范围； 对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.20（本题满分16分）设函数是奇函数，且当时，取得极小值. 求函数的解析式； 求使得方程仅有整数根的所有正实数的值； 设，（），求的最大值武进区20122013学年度第一学期期中调研测试高三文科数学试题讲评建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合，则集合= 答案：.2已知向量，则向量与的夹角为 答案：.【解析】法一、公式 ；法二、由任意角的三角函数定义即得.3设点P是曲线上的任意一点，则曲线在P点处斜率最小时的切线的倾斜角为 答案：.4的周期是 答案： . 5公比为的等比数列的各项都是正数，且，则 【解析】法一、 ；法二、.6若实数满足，则= 答案：.【解析】.7已知向量满足，.若与垂直，则 答案：.8一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为 cm2答案： .【解析】设高为h，则，.9等差数列中，已知，则的取值范围是 解析：法一（线性表示）、由，得；法二、线性规划（略）；法三（数形结合）、由共线，易得，三点共线.由，则点A垂直向下移动同时点B垂直向上移动，要保持A、B、C三点共线，则C点须从点垂直向上移动，由数形结合易得.10已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为 答案：.【解析】三点共线，即，即得.11已知，若实数满足则的最小值为 答案：.【解析】由已知条件可得，有如下几种常见思路：思路1（消元）：由得，则，下面既可以用函数方法（求导），也可以用不等式方法求解；思路2:令，则，代入后用判别式法，求出最值后要注意检验；思路3：注意与待求式之间的关系，我们有：.12过点C(2，5)且与轴，轴都相切的两个圆的半径分别为，则= 答案：.【解析】过点C(2，5)且与轴，轴都相切的圆的方程为，则，即（），是方程（）的两根，.13给出以下命题： （1）在ABC中，是的必要不充分条件；（2）在ABC中，若，则ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数是同一个函数；（4）函数的图象可以由函数的图象按向量平移得到.则其中正确命题的序号是 （把所有正确的命题序号都填上）答案：（2）、（3）.【解析】（1）充要条件；（2）在ABC中，；（3）函数，函数；（4）函数的图象可以由函数的图象按向量平移得到.14数列满足，则的前项和为 答案：420.【解析】由题意得：，得：，设左式为，则.二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）设函数.图像的一条对称轴是直线（1）求函数的解析式；（2）若，试求的值.解：（1）是函数的图象的对称轴，故 （2）因为，所以， 故 而.所以，.16（本题满分14分）长方体中， ，、分别是和的中点，求证：（1）；（2）面.证明： 取中点，连接.、分别是和的中点，四边形是平行四边形，又，.，又长方体，又，面.17（本题满分14分） 已知，其中是自然常数， (1)当时，求的单调性和极值； (2)若恒成立，求的取值范围.解：(1) 2分当时，此时为单调递减；当时，此时为单调递增.当的极小值为，无极大值4分（2）法一：，又若恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，令，令，则，当时，此时为单调递增，当时，此时为单调递减，法二：由条件：在上恒成立令，时，恒成立，在上递减，由条件知 与矛盾.时，令，当时，此时为单调递增，当时，此时为单调递减，即18（本题满分16分）已知曲线C：. （1）证明：不论取何实数，曲线C必过定点； （2）当时，若曲线C与直线相切，求的值.； （3）对所有的且，是否存在直线与曲线C总相切？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.解：(1)证明:曲线C的方程可变形为，由，解得，点满足C的方程，故曲线C过定点.(2)原方程配方得;由于，所以，所以C的方程表示圆心是，半径是的圆. 由题意得圆心到直线距离 ，解得.（2）法一：由（2）知曲线C表示圆设圆心坐标为，则有，消去得，故圆心必在直线上.又曲线C过定点，所以存在直线与曲线C总相切，直线过点且与直线垂直；方程为即法二：假设存在直线满足条件，显然不垂直于轴，设圆心到直线距离 对所有的且都成立即恒成立 存在直线：即与曲线C总相切.19（本题满分16分）各项均为正数的数列中，前项和.(1)求数列的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；(3)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.解：(1) ，两式相减得，整理得，数列的各项均为正数，是公差为的等差数列，又得，. （2）由题意得， (3)对任意，则，而，由题意可知， 于是 ， 即. 20（本题满分16分）设函数是奇函数，且当时，取得极小值.（1）求函数的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数的值.（3）设，（），求的最大值解：（1）为奇函数， 又由及，得 当时，当时在时取得极小值，为所求 （2）方程化