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预备知识：1.边际转换率表示在社会资源既定的条件下，增加一单位商品1而所必须放弃的商品2的产量，通常表示为，说明这两种产品存在着“转换”关系，其计算公式为，的符号为正，的符号为负，所以的符号为正。产品X1对产品X2的边际转换率就是生产可能性曲线的斜率的绝对值。2.边际替代率表示在保持总效用水平不变的情况下，消费者增加一单位商品1的消费而必须放弃的商品2的消费数量，通常表示为，其计算公式为，的符号为正，的符号为负，所以的符号为正。产品X1对产品X2的边际替代率就是效用无差异曲线的斜率的绝对值。3.X1X2U证明： ，。而在无差异曲线上，效用的增减之和为0，故有：。将该等式转化为以下形式：。又无差异曲线的斜率与预算约束线的斜率相等，。结论得证。一、萨缪尔森模型萨缪尔森(1954，1955)提出了纯公共产品的最优供给模型(最优消费模型)，其基本假设如下：1.社会上仅有两个消费者：消费者A和消费者B；2.社会产品可以被严格的划分为私人产品和公共产品，私人产品总量为，消费者A和B分别消费的数量为和，满足数量关系：，公共产品总量为，消费者A消费的数量为，消费者B消费的数量为，且满足数量关系；3.两个消费者的效用函数分别为和；4.存在一个生产函数(生产可能性曲线/成本函数)，设其为；5.存在一个社会福利函数，用于评价社会效用的大小，设其为。(一)图解法假定消费者B的效用一定，则有： (1)等式(1)两边求导，可得： (2)用斜率表示的等式(2)的具体形式为，而；。等式(2)最终可以转化为： (3)对成本函数求全微分，有： (4)而，故等式(4)可以转化为，移项得： (5)，故等式(3)可以转化为： (6)将等式(6)的结论推广到存在多个消费者的情况，可得： 或者 (7)萨缪尔森模型表明，所有个体消费公共产品和私人产品的边际替代率之和等于生产公共产品和私人产品的边际转换率。(二)拉格朗日乘数法萨缪尔森模型假定生活中有一个无所不知的计划者，他知道每个人对公共物品的付费意愿，从而使得总的边际支付价格等于边际生产成本，然后计算出政府应该提供的公共产品的数量。萨缪尔森用计划者“先知”假定克服了个体对公共产品偏好显示的难题，同时也克服了把个体偏好进行加总构建社会福利函数的难题。 刘云龙.民主机制与民主财政M.中国城市出版社，2001萨缪尔森模型的目标函数式最大化社会福利函数 ，约束条件是成本函数(生产函数/生产可能性曲线)，即。因此纯公共产品的供给要解决以下问题： (8)构造拉格朗日函数为，求出以下四个偏导数： (9) (10) (11) (12)由式(9)和(10)可得： (1
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