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化简向量的常见策略例说湖北省房县一中 彭全芳 王宝清 对向量式化简是学习向量时常见的问题之一，更是学习向量相关内容必备的一种能力。怎样正确而快速地化简向量达到运算之目的呢？下面举例说明常见的几种化简策略，供学习时参考。策略一、移项、提取与合并例1、是所在平面内一点，满足，则是的（ ）外心 内心 重心 垂心解析：因为，所以，即，所以，同理有，故点是三条高线的交点即垂心，选 评注：依据向量的运算法则、运算律及数量积定义等，将“多项式型”向量式重新组合后，逆用运算律提取向量并结合图形，将括号内向量式按加、减法法则合并成一个向量，可达到化简之（效果）目的。策略二、分解整合（重组）例2、如图，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域（不含边界），且，则实数对可以是（ ）。 解析、依平面向量基本定理可得，其中，（为什么？），而，故存在正实数使得，所以=，又，所以，进而有，故选评注：将向量分解为不共线的两向量、的和，进而分解为、的和并代换得整体考虑是求解的关键，注意方程思想、数形结合思想的运用。此题背景新、立意明、直观、易上手、难深入，以逻辑思维能力为核心，将平面向量基本定理和图形的位置特征融为一体，着重考查理解、判断、分析、转化能力（其解法值得探究）注：此题用排除法也易上手-谨防陷阱，逐项排除；配凑法-，欲使点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内，必有且，结合选项可知选-添项、减项、变式、分解、重组，机智分析常能使解题思路豁然开朗。策略三、等量代换例3、（08江西）如图，正六边形中，有下列四个命题：ABCD其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 解析：, 对 取的中点,则, 对设，则，而，错 又，对 真命题的代号是 评注：利用向量共线的充要条件，结合图形将部分向量用已知向量表示并替换，是简化向量运算的常用手法，称为“等量代换法”即“替换”。策略四、取数量积例4、若，且，则向量与的夹角为（ ） 解析：因为，所以，又因为，所以， 即，设向量与的夹角为，由，得：，解得：，而，所以，即向量与的夹角为，故选 评注：夹角问题一般都取数量积用向量内积公式求得，注意向量夹角的取值范围。策略五、整体处理例5、已知向量，若，则与的夹角为（ ） 解析：设，因为，所以由可得：，即，又因为=，且，所以，即，而，所以，故选。评注：此题的常规解法是设向量，再依据题设建立关于坐标、的方程组，解方程组，进而用公式求夹角，此题的求解说明并非一定要求出
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