《数列的极限》PPT课件.ppt

第三章极限与函数的连续性 一 数列的极限二 函数的极限三 函数的连续性四 无穷小量无穷大量的比较 极限概念的萌芽可追溯至公元前300年 当时我国著名哲学家庄子的著作中便有 一尺之棰 日取其半 万世不竭 庄子 天下篇 的论述 在南北朝 429 500 时期 祖冲之利用极限的思想计算圆周率 取得了很大的成功 他利用圆内接多边形的面积逼近圆的面积 即所谓 割圆术 该方法被写入他与儿子祖恒合著的 缀术 中 不幸的是 该书在北宋中期失传 我国古代极限思想 祖冲之 一 概念的引入 3 2数列的极限 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 思想 用多边形无限逼近 二 数列的极限 1 数列的概念 定义自变量为正整数的函数 将其函数值按自变量n由小到大排成一列数 称为数列 将其简记为 称为数列的通项或一般项 1 3 4 2 即 数列 数列 数列 数列 数列 1 当n无限增大时 无限趋近于0 即数列 1 以0为它的变化趋向 数列 2 当n无限增大时 无限趋近于常数1 即数列 2 以1为它的变化趋向 数列 3 当n无限增大时 其奇数项为1 偶数项为 1 随着n的增大 它的通项在 1 1之间变动 没有确定的变化趋向 数列 4 当n无限增大时 un 2n 1无限增大 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言 通过上面演示实验的观察 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注意 几何解释 其中 例1 证 所以 例2 证 例3 证 利用定义证明极限应注意的问题 一 有时对规定范围是方便的 如 但要注意 可小不可大 二 正整数与有关 有时将其写成 但它不唯一 注意可大不可小 三 直接解不等式求有时较困难 若将进行适当放大 问题则可变得简单 1 有界性 例如 有界 无界 2 数列极限的性质 定理3 2收敛的数列必有界 证 由定义 注意 有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 定理3 3设 且 则存在正整数 当时 恒有 2 保号性 ii 若 则存在正整数 当时 恒有 推论设 i 若 则存在正整数 当时 恒有 3 四则运算封闭性 定理3 4设为无穷小量 是有界数列 则 定理3 5 保序性 设 且 则存在正整数 当时 恒有 定理3 6 极限不等式 设 且对任意正整数 有 则 无穷小量的定义 思考 下面两个说法是否正确 为什么 设 且 则存在正整数 当时 恒有 2 设 且对任意正整数 有 则 考虑 和 4 唯一性 定理3 7每个收敛的数列只有一个极限 证 由定义 故收敛数列极限唯一 定理3 8 夹迫性 设 且则 证明 定理3 9 单调收敛准则 单调下降有下界的数列必有极限 单调上升有上界的数列必有极限 通常说成 单调有界的数列必有极限 证 由平均值不等式即得 例4 先证单调上升 即证 又 等比数列求和 放大不等式 每个括号小于1 综上所述 数列 xn 是单调增加且有上界的 由极限存在准则可知 该数列的极限存在 通常将它记为e 即 e称为欧拉常数 1 无穷小量的定义 无穷小量描述的是变量的变化趋势 不是指一个很小的数 3 无穷小量与无穷大量 2 无穷大量的定义 定义无穷大量时 用的是绝对值 去掉绝对值符号 则可以定义正无穷大量和负无穷大量 去掉绝对值符号会怎么样 由无穷