正弦定理(sinetheorem)说课稿.doc

正弦定理 (sine theorem)说课稿l 说教材：正弦定理是高一新教材第五章平面向量的解斜三角形5.9的课题.是在学完了三角函数、向量的运算后一的节课.与旧教材相比,在多学了向量这块知识的基础上,正弦定理的导入多了一种方法,其应用性就更加广泛.教学目标(teaching objective)1知识目标(knowledge objective) ：(1) 掌握正弦定理的推导方法（特别是用向量知识的推导方法）；注重向量三角形法则、向量数量积运算的创造性应用.（2）掌握正弦定理的三种形式；,进而掌握任意三角形边、边的对应角、外接圆的半径、面积之间的关系.（3）能利用正弦定理解斜三角形；并能快速、准确判断三角形解的个数.（4）初步能对一些与三角形边角有关的实际问题建模，并运用正弦定理加以解决。2能力、情感目标(emotion objective)：正弦定理是一节在实际生活中受到广泛应用的定理,通过定理的教学,不仅培养学生解三角形的应用能力,更重要的是提高应用所学知识解决实际问题的意识和能力.（二）教学难点(teaching difficulties)：区分解斜三角形的一解、两解、无解问题，运用正弦定理建模。（三）教学重点(teaching focus)：已知两角一边和已知两边一对角的解斜三角形问题，在测量等实际问题中的建模能力.l 说教法：(一) 教学形式(teaching form)：学生课前实地观测；课堂提问、讨论、讲授、练习师生互动的形式。(二) 教学手段(teaching method)：利用几何画板，flash,powerpoint软件制作课件的多媒体教学。借助实物模型(如经纬仪)了解测量的工具.l 说学法：本节课采取“老师引导、学生观察、操作、探索学习相结合”的方法。 课前准备(preparing before class)：分发预习提纲（提纲引导学生预习的方向、重点，体现老师的主导作用），学生根据提纲预习教材，请学生联想生活中的哪些问题需要求出三角形的边或角，为课堂教学创设学生熟悉、感兴趣的情景.课堂活动（classroom activities）：将全班同学分成四个小组，每个小组的学生采取自主探索或彼此合作讨论的方式学习.充分体现老师为主导，学生为主体的思想。让学生在观察多媒体动画所演示的图形、数据的变化中，主动去思考、探索这些变化对三角形对应边、角关系的影响，自己通过直观感受猜想、总结正弦定理,并试图从不同的途径证明之.总之，这种学习方法是以“问题探索问题问题解决”为主线，包括学生在老师创设的情境下、自主探索、讨论交流、提出问题、老师点拨、自我归纳这六个环节。课后反思(thinking after class)：学生除了完成作业外，对课堂讨论的问题能提出不同层次的问题，进行进一步的学习和研究，这就需要老师的课堂例题、练习能提供给学生广阔的想象空间,具有开放、变式、趣味性强等特点.如正弦定理的证明就有几种方法供学生思考.三角形的边角具有什么特点,三角形可确定,三角形中大边对大角这一隐含条件何时需考虑,什么从三角形做图的角度得到什么启发,能否将无解、有一解、有两解的三角形的条件分类.l 说程序：引入:教师放映一幢高的建筑物，并提出问题：如何测量建筑物的高度？学生：先在离建筑物不远的地方测量建筑物的仰角，然后再测量离建筑物的水平距离，用正切计算建筑物的高度。老师：回答很好。 hdAB学生：还有别的方法，在A点测建筑物的仰角是，走100米， 图1再测建筑物的仰角是，计算可求出建筑物高度。（如图1）老师：上述两位同学的回答都是正确的，他们都是将距离的问题 转化为角，进而转化为三角函数的问题。第二种方法可列方程：BaCbcA求解。（如图2） 图2老师：这个实际问题说明了三角形的边与角有紧密的联系，边和 角甚至可以互相转化，这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。大家回忆一下，在直角三角形中， 各角的正弦怎么表示？能找到彼此间的什么关系吗？ （如图3） 图3 学生1板书：sinA=,sinB=,sinC=1，（不会找关系） 老师：要找关系得观察能把三个式子联系起来的量，可以讨论看看。仍是学生1：由，则=。 老师：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？老师放映用几何画板制作的多媒体动画，画面显示三角形的边、角变化时，、 图4的值始终保持不变，体现了用计算机的实验说明了上式成立。（图4是动画定格的剪贴画面）老师：我们能否用我们学过的知识证明呢？学生讨论，可能有学生会做高，转化为直角三角形的问题处理；可能有学生会联想到向量的三角形法则.老师提示正弦定理的比值涉及到了边即向量的模、角即向量的方向，能把向量的模与向量方向结合起来的有什么运算？学生：向量的数量积。但不知道怎么用。 图5老师：让我们一起想想这个问题怎么入手才能运用向量的数量积运算，首先把三角形的边看成向量，容易想到向量的三角形法则，（如图5）则：+=，那么和哪个向量作数量积？还有向量的数量积出现的角是余弦，如何转化为正弦？ 启发学生过A点做垂线。老师：做谁的垂线？学生：做AB、AC都可以。老师：那就取与AC垂直的向量，等式两边与向量进行数量积运算得：化简得：csinA=asinC,即，同理可证。这样，在任意三角形中，各边与它所对角的正弦比相等，这就是正弦定理。下面我们剖习一下它的应用。拿来说，有四个量，知三求一，那就会出现（1）已知两角一边求另一边，（2）已知两边一角求另一角。例1 已知在三角形ABC中（结果精确到个位数）（1）A=300，B=450，a=10，求b；（已知两角一边求另一边）变形1：可以求c吗？（2）a=20，b=28，A=380，求B；（已知两边一角求另一角）变形2：a=36, b=28, A=380, 求B；（ 已知两边一角求另一角）变形3：a=12, b=28, A=380,情况会怎样呢？变形4：a=20，b=28，A=1420，情况又怎样呢？变形5：b=20，a=28，A=1420，情况又怎样呢？老师板书解：（1）由正弦定理b=14；变形1:c=,可求.（2）由sinB=0.8619，因为ba,所以，BA，B=600或1200；变形2：由sinB=0.4788，因为ba,所以，B1，这样的三角形不存在。学生（变形4）：由ba得BA，而A为钝角，这样的三角形不存在。学生（变形5）：sinB=0.4398，因为ba,所以，BA,B=260。老师：为什么已知两边一角的三角形有时无解，有时一解，有时两解，能否找出规律性的结论？请大家思考一下。学生：与A为锐角、钝角有关，也与a,b的长度有关，若A为锐角absinA，无解；a=bsinA，有一解（直角三角形）；bsinAab,一解；ab，无解。老师：这些结论不一定记住，但懂得问题的实质是用到在同一三角形中，大边对大角这一约束条件。（放映幻灯片）若A为锐角若A为直角或钝角ab一解a=bsinA一解（直角三角形）bsinAab两解ab无解ab一解 老师：解决了三角形的边角问题，再看看三角形的面积、外接圆半径问题。容易知道面积S=，等式两边同除以，也可得正弦定理。直角三角形的斜边c是三角形外接圆的直径，所以,在斜三角形中，是否也有=成立，学生：可以成立，给出正弦定理的另一种方法。（如图6）（1）当B是锐角时，B=D，sinD=b2R，sinB=b2R ；（2）当B是直角时，ABC是Rt， 图6显然；（3）当B是钝角时，B=D，sinD=b2R，sinB=sin(D)= sinD =b2R ；综上所述：，同理，。老师：正弦定理除了解决三角形的边角问题，还可解决三角形的面积、外接圆半径等平面几何的问题，这些应用也仅局限于数学的范畴，实际上21世纪的口号是：“数学为大众（math for all）”数学应用在实际生活中，从实际问题选材，建立数学模型更为重要。（放映学生实地考察厦门仙岳山拍的照片）如下图思考题1：为了开凿仙岳山隧道，要造工程预算表，如何估算仙岳山的高度，及仙岳山隧道的长度？ABCdD把山看成三角形模型。在山顶C处测量山底的俯角为,在山顶上建一个塔,在D处测量山底的俯角为,测出塔CD的距离为d,则由正弦定理可得:计算可得BC,再在A处测得山顶的仰角CAB, 又