2014年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷.doc

2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷2005.3.20上午本试卷共8页，第1-页为选择题和填空题，第-8页为解答题及答卷。请将选择题和填空题的答案做在第页的答卷上。全卷共三大题20小题，满分150分，考试时间120分钟。参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+(B)S4R2如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径P(AB)=P(A)(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么VR3Pn(k)Pk(1-P)n-k其中R表示球的半径第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第页的答题卷上1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（ ）.(A) (B) (C) (D) 2.与终边相同的角为（ ）. (A) (B) (C) (D) 3已知集合， ，则S与M的关系是（ ）.(A) (B) (C) (D)4.函数的增区间为（ ）.(A) (B) (C) (D) A BC5.观察下列四个电路图，结论正确的是（ ）.A B A C B(A) 图中开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；(B) 图中开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；(C) 图中开关A闭合是灯泡B亮的充分且必要条件；(D) 图中开关A闭合是灯泡B亮的不充分又不必要条件.6.设是平面直角坐标系内轴，轴正方向上的单位向量且，则的面积等于（ ）.(A) 15 (B) 10 (C) 7.5 (D) 5 7.与是定义在R上的可导函数.若，则与满足（ ）.(A) (B)是常数函数 (C) (D) 是常数函数.8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则的值为（ ）. (A) (B) (C) (D) 9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设是公比为、前项和为的无穷等比数列，下列的四组量：；中，一定能成为该数列的“基本量”的是 （ ）.(A) (B) (C) (D) 10.已知直线及平面,其中,那么在平面内到两条直线距离相等的点的集合可能为 一条直线； 一个平面； 一个点； 空集.其中正确的是（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) 第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 请将答案填在第页的答题卷中.11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有行，在这些数中非1的数字之和是_.1111 2 11 3 3 11 4 6 4 112若点为 （3分），此时点的坐标为 （2分）. 13.定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_.14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边DE将其倾斜，随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律：.FE(第14题图1)（要求：各种规律的表述要科学,准确.每答对1个给1分,本题满分5分） C ( 第 14 题 图 2 )D 三、解答题：15（本题满分12分）已知的解集为，求实数的值.16.（本题满分13分）已知函数的图象关于直线对称，当, 且时，试求的值.17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC中，AOOC，ABOC，.平面OABC.以OC，OA,OS分别为轴、轴、轴建立直角坐标系O-. z y A Bx（）求异面直线SC与OB所成角；（）设，满足平面SBC.求： 的坐标；OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）； 点O到平面SBC的距离.18.（本题满分14分）设，为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若，且.（）求点的轨迹C的方程；（）过点（0，3）作直线l与曲线交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.20（本题满分14分）直线 与轴、轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域（包括边界）的整点个数为（整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（）求及的表达式；（）对区域内部的个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为，对所围区域的个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为，试比较与的大小.2005年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案一、选择题答案题号12345678910答案DACCDDBDBB二、填空题答案 11. 12. 13. 200514. 水面是矩形； 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； 水面的大小是变化的，水面与平面CDEF所成二面角越小，水面的面积越大； 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等； 侧面积不变； 侧面中两组对面的面积之和相等； 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； AB+CD为定值； 如果长方体的倾斜程度为时，则水面与与底面所成的角为90-； 底面的面积水面的面积cos（90-）水面的面积sin； 当倾斜程度增大，点A在BD之间时，A与B重合时，BD2h（h为水面原来的高度）； 若容器的高度PD，当A与B重合时，水将溢出； 点A在BD内部时，ADC的面积为定值 . FE(第14题图1) C ( 第 14 题 图 2 )D 三、解答题 C A B 15（本题满分12分）已知的解集为，求实数的值.法一：如图,在同一直角坐标系中，作出y（x0）及yax的大致图像， 设yax与Y轴及y分别交于A、B、C点由条件及图像可知A（0,），B（4，2）， 令C（b,）（b）由 得 法二：依题意，上式等价于16.（本题满分13分）已知函数的图象关于直线对称，当, 且时，试求的值.解：由cosxsinx，可得cos（x+）且sin2x又是关于x3对称的函数， f（7） f（-1）320zyx17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC中，AOOC，ABOC，.平面OABC.以OC，OA,OS分别为轴、轴、轴建立直角坐标系O-.（）求异面直线SC与OB所成角；（）设，满足平面SBC.求： 的坐标；OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）； 点O到平面SBC的距离.解：（）.如图: （,），（,），（,），（,）， 故异面直线SC与OB所成的角为 z y A Bx().由平面SBC 故 （法一）过O作OEBC于E，连SE，则SEBC ， 故BC面SOE 过O作OHSE于H，则OH面SBC OE SE=点O到平面SBC的距离为.（法二）（注：也可以利用法向量求解，相应给分） 延长CB与OA交于F，则OF2连FH，则OFH为所求角 此时，为所求. 18. （本题满分14分）设，为直角坐标平面内轴,轴正方向上的单位向量，若，且.（）求点的轨迹C的方程；（）过点（0，3）作直线l与曲线交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（）(解法一)由 知点M（x,y）到两个定点F1（0.-2）、F2（0,2）的距离之和为8轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，它的方程是 (解法二)：由题意得 两次平方得整理得： （）l过y轴上的点（0，3），若l是y轴时，则A、B两点是椭圆的顶点由 知P与O重合这与四边形OAPB是矩形矛盾，直线l是y轴不可能当直线l的斜率存在时，可设直线l的的方程是ykx+3 由题意得 此时且, ，四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l,使四边形OAPB是矩形,则, 有 当存在直线l:使四边形OAPB是矩形. 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.解： 全部并联，可靠度1-0.99840.85 每两个串联后再并联，可靠度0.87040.85 每两个并联后再串联，可靠度0.92160.85 三个串联后再与第四个并联，可靠度1-0.20.90240.85两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.220.98560.8520（本题满分14分）直线 与轴、轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域（包括边界）的整点个数为（整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（）求及的表达式；（）对区域内部的个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为，对所围区域的个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为，试比较与的大小.解：.求区域内部（不包括边界）的整点个数,就是求不等式xyn的正整数解，当x1时，y1,2,（n-2），共n-2个值，当x2时，y1,