27.3实践与探索.ppt

二次函数中的直角三角形问题 芹池中学刘小平 知识复习1 已知平面直角坐标系中的两点A x1 y1 B X2 y2 你会求这两点之间的距离吗 2 你会求线段AB中点的坐标吗 例如图 已知抛物线y x2 bx c经过点B 4 0 和点C 0 2 与x轴的另一个交点为点A 其对称轴l与x轴交于点E 过点C且平行于x轴的直线交抛物线于点D 连接AD 1 求该抛物线的解析式 例题图 典例精析 1 思维教练 解 1 由抛物线y x2 bx c经过点B 4 0 和点C 0 2 得 解得 抛物线的解析式为y x2 x 2 2 判断 ABD的形状 2 思维教练 判断三角形的形状 一般为特殊三角形 若两边相等 则为等腰三角形 若三边相等 则为等边三角形 若两条边的平方和等于第三边的平方 则为直角三角形 解 如解图 连接BD 对于抛物线y x2 x 2 令y 0得x1 1 x2 4 B 4 0 点A的坐标为 1 0 抛物线的对称轴为直线x CD x轴 且点C D均在抛物线上 点C与点D关于直线x 对称 C 0 2 点D的坐标为 3 2 由两点间距离公式可得 AD2 3 1 2 2 2 20 BD2 4 3 2 22 5 又 AB2 52 25 AB2 AD2 BD2 ABD是直角三角形 且 ADB 90 例题解图 3 P为线段AD上一点 连接PE 若 APE是直角三角形 求点P的坐标 例题图 3 思维教练 解 由 2 得BD AD 当PE BD时 有PE AD E是抛物线对称轴x 与x轴的交点 点E是AB的中点 点P是AD的中点 此时点P的坐标为 1 1 如解图 当点P是直线l与AD的交点时 有 AEP 90 由A 1 0 D 3 2 得直线AD的解析式为y x 当x 时 有y 此时点P的坐标为 当 APE是直角三角形时 这样的点P有2个 坐标分别为 1 1 或 例题解图 4 抛物线的对称轴上是否存在一点P 使 APD是直角三角形 若存在 求出P点坐标 若不存在 请说明理由 例题图 4 思维教练 分别利用勾股定理 列出方程求解 若有解 则存在 若无解 则不存在 解 存在 点P在直线x 上 则设点P的坐标为 p 如解图 由两点间距离得AP2 1 2 p2 p2 PD2 3 2 p 2 2 p 2 2 由题意可得AD2 20 当 APD是直角三角形时 分三种情况讨论 当 APD 90 时 则AP2 PD2 AD2即 P2 P 2 2 20 解得P1 1 P2 1 此时点P的坐标为 1 或 1 例题解图 当 PAD 90 时 则AP2 AD2 PD2 即 p2 20 p 2 2 解得p 5 此时点P的坐标为 5 当 PDA 90 则PD2 AD2 AP2 即 p 2 2 20 p2 解得p 5 此时点P的坐标为 5 当 APD为直角三角形时 这样的点P有4个 坐标分别为 1 1 5 5 A 1 问题 在直线m上找一点P 使 ABP是直角三角形 2 方法 1 万能法 分别表示出ABP的坐标 再表示出ABBPAP的长度