高考数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ7函数的奇偶性课件文.ppt

第二章函数与基本初等函数 第7课函数的奇偶性 课前热身 解析 由题知定义域 x x R 且x 0 x 1 关于原点对称 且f x f x 所以f x 为奇函数 激活思维 奇 2 必修1P94习题28改编 若f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x 2x 3 则f 2 解析 f 2 f 2 1 1 3 必修1P55习题8改编 若函数f x x a x 4 为偶函数 则实数a 解析 因为函数f x x a x 4 为偶函数 所以f x f x 由f x x a x 4 x2 a 4 x 4a 得x2 a 4 x 4a x2 a 4 x 4a 即a 4 0 a 4 4 4 必修1P43习题4改编 已知函数f x 4x2 bx 3a b是偶函数 其定义域为 a 6 2a 那么点 a b 的坐标为 2 0 5 必修1P111复习题17改编 若函数f x 是定义在R上的偶函数 且在 0 上是增函数 f 1 2 则不等式f lgx 2的解集为 1 奇 偶函数的定义对于函数f x 定义域内的 一个x 都有 或 则称f x 为奇函数 对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有 或 则称f x 为偶函数 知识梳理 任意 f x f x f x f x 0 f x f x f x f x 0 2 奇 偶函数的性质 1 具有奇偶性的函数 其定义域关于 对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 对称 2 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于 对称 3 若奇函数的定义域包含0 则f 0 4 定义在 上的任意函数f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 原点 原点 原点 y轴 0 课堂导学 判断下列各函数的奇偶性 函数奇偶性的判定 例1 思维引导 先求定义域 看定义域是否关于原点对称 在定义域对称的情况下 解析式带绝对值符号的 要利用绝对值的意义判断f x 与f x 的关系 分段函数应分情况判断 解答 1 定义域是 x x 1 不关于原点对称 所以f x 是非奇非偶函数 2 定义域是 1 1 f x 0 所以f x 既是奇函数又是偶函数 3 定义域是R f x x 2 x 2 x 2 x 2 f x 所以f x 是奇函数 4 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上所述 对任意的x 0 0 都有f x f x 所以f x 为偶函数 精要点评 利用定义判断函数奇偶性的步骤 1 首先确定函数的定义域 并判断其是否关于原点对称 2 确定f x 与f x 的关系 3 作出相应结论 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 判断下列各函数的奇偶性 变式1 解答 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上所述 对任意的x 0 0 都有f x f x 所以f x 为奇函数 变式2 精要点评 函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性 从而有了解决问题的方向 只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫 特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口 函数奇偶性的应用 例2 x x4 1 思维引导 1 要求f x 在 0 上的表达式 由于已知f x 在 0 上的表达式 因此解答本题可先设x 0 然后将它转化到已知解析式的区间 0 上 最后利用函数的奇偶性定义即可得出结论 2 是一个分段函数的奇偶性问题 解决问题的方法是运用赋值法或运用f x f x 0 x R 求出参数a b的值 解析 1 当x 0 时 有 x 0 注意到函数f x 是定义在 上的偶函数 于是有f x f x x x 4 x x4 2 因为函数f x 为奇函数 所以f 1 f 1 1 若f x 为定义在R上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 解析 因为f x 是定义在R上的奇函数 所以f 0 20 2 0 b 0 解得b 1 故当x 0时 f x 2x 2x 1 所以f 1 f 1 2 2 1 1 3 变式 3 2 2016 南京三模 已知f x 是定义在R上的偶函数 当x 0时 f x 2x 2 则不等式f x 1 2的解集是 解析 不等式f x 2在 0 上的解集为 0 2 因为f x 是偶函数 所以f x 2在R上的解集为 2 2 又f x 1 的图象可看作f x 的图象向右平移1个单位长度所得 故f x 1 2的解集为 1 3 1 3 3 已知f x ax7 bx 2 且f 5 17 那么f 5 解析 令g x ax7 bx 则g x g x f x g x 2 由f 5 17 得f 5 g 5 2 17 g 5 15 g 5 g 5 15 f 5 g 5 2 15 2 13 13 已知函数f x 的定义域D x x 0 且满足对于任意的x1 x2 D 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性 并给出证明 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 函数奇偶性与单调性的综合应用 详见P28微探究2 例3 解答 1 令x1 x2 1 得f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2 f x 为偶函数 证明如下 令x1 x2 1 得f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x 所以f x f x 所以f x 为偶函数 3 f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 将f 3x 1 f 2x 6 3 变形为f 3x 1 2x 6 f 64 因为f x 为偶函数 所以f x f x f x 所以不等式 等价于f 3x 1 2x 6 f 64 又因为f x 在 0 上是增函数 所以 3x 1 2x 6 64 且 3x 1 2x 6 0 精要点评 抽象函数的奇偶性就是要判断 x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系 从而得到函数图象关于原点或y轴对称 在利用单调性解决抽象不等式时 不仅要注意单调性的应用 还要注意定义域的限制 以保证转化的等价性 2016 合肥一模 已知函数f x 是定义在R上单调递减的奇函数 求满足不等式f f t 1 0的实数t的取值范围 解答 因为函数f x 是定义在R上的奇函数 所以f 0 0 又函数f x 在R上单调递减 且f f t 1 0 f 0 所以f t 1 0 f 0 则t 1 0 解得t 1 即实数t的取值范围是 1 备用例题 课堂评价 1 2015 北京卷改编 已知下列函数 y x2sinx y x2cosx y lnx y 2 x 其中为偶函数的是 填序号 解析 根据奇偶性的定义知 为奇函数 为偶函数 的定义域为 0 故 不具有奇偶性 既不是奇函数 也不是偶函数 1 3 2016 苏州期中 已知定义在R上的奇函数f x 当x 0时 f x 2x x2 则f 1 f 0 f 3 解析 由题意知 f 0 0 f 1 f 1 又因为当x 0时 f x 2x x2 所以f 1 f 0 f 3 f 1 0 f 3 21 12 23 32 2 2 4 2016 苏北四市期末 已知定义在R上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x log2 2 x a 1 x b a b为常数 若f 2 1 则f 6 的值为 解析 由题意得f 0 0 解得log22 b 0 所以b 1 f x log2 2 x a 1 x 1 又因为f 2 1 则log2 2 2 2 a 1 1 1 解得a 0 f x log2 2 x x 1 所以f 6 f 6 log2 2 6 6 1 4 4 5 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 且在 0 上为增函数 若f 1 a f 2a 0 求实数a的取值范围 解答 因为f x 是定义在R上的奇函数 且在 0 上为增函数 所以f x 在R上为增函数 又f 1 a f 2a 0 所以f 1 a f 2a f 2a 微探究2函数奇偶性与单调性的综合应用 问题提出奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 抽象函数中的不等式问题 核心是去掉抽象函数中的符号 f 除了画出草图利用数形结合思想求解外 本质是利用奇偶性和单调性 那么 求解此类问题的解题模板是怎样的呢 思维导图 规范解答 1 函数f x 为R上的减函数 理由如下 由题知f x 是R上的奇函数 所以f 0 0 又因为f x 是R上的单调函数 由f 3 2 f 0 f 3 知f x 为R上的减函数 精要点评 利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域 进而结