2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)_数学(理).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1(2014重庆，理1)复平面内表示复数i(12i)的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：A解析：因为i(12i)i2，其在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限故选A.2(2014重庆，理2)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列答案：D解析：根据等比数列的性质，若mn2k(m，n，kN)，则am，ak，an成等比数列，故选D.3(2014重庆，理3)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A BC D答案：A解析：由变量x与y正相关，可知x的系数为正，排除C，D.而所有的回归直线必经过点，由此排除B，故选A.4(2014重庆，理4)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D答案：C解析：由已知(2a3b)c，可得(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，展开化简得4k120，所以k3，故选C.5(2014重庆，理5)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是()A B C D答案：C解析：该程序框图为循环结构k9，s1时，经判断执行“是”，计算赋值给s，然后k减少1变为8；k8，时，经判断执行“是”，计算赋值给s，然后k减少1变为7；k7，时，经判断执行“是”，计算赋值给s，然后k减少1变为6；k6，根据输出k为6，此时应执行“否”结合选项可知，判断框内应填，故选C.6(2014重庆，理6)已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()Apq BpqCpq Dpq答案：D解析：根据指数函数值域为(0，)，得p为真命题；而“x1”是“x2”的必要不充分条件，故q为假命题根据复合命题的真假规律，可得pq为真命题，故选D.7(2014重庆，理7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54 B60 C66 D72答案：B解析：根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABCDEF，故其表面积为SSDEFSABCS梯形ABEDS梯形CBEFS矩形ACFD.故选B.8(2014重庆，理8)设F1，F2分别为双曲线(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|，则该双曲线的离心率为()A B C D3答案：B解析：根据双曲线的定义|PF1|PF2|2a，可得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2.而由已知可得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|29b2，两式作差可得4|PF1|PF2|4a29b2.又|PF1|PF2|，所以有4a29ab9b20，即(4a3b)(a3b)0，得4a3b，平方得16a29b2，即16a29(c2a2)，即25a29c2，所以，故选B.9(2014重庆，理9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D168答案：B解析：解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有.第二类也分两步，先排歌舞类，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有，故不同的排法有，故共有120种不同排法，故选B.10(2014重庆，理10)已知ABC的内角A，B，C满足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)8 Bab(ab)C6abc12 D12abc24答案：A解析：由sin 2Asin(ABC)sin(CAB)得，sin 2AsinA(BC)sinA(BC)，所以sin 2A2sin Acos(BC).所以2sin Acos Acos(BC)，所以2sin Acos(BC)cos(BC)，所以2sin Acos(BC)cos(BC)，即得sin Asin Bsin C.根据三角形面积公式Sabsin C，Sacsin B，Sbcsin A，因为1S2，所以1S38.将式相乘得1S3a2b2c2sin Asin Bsin C8，即64a2b2c2512，所以8abc，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故bca，得bc(bc)8一定成立，而abc，ab(ab)也大于8，而不一定大于，故选A.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11(2014重庆，理11)设全集UnN|1n10，A1,2,3,5,8，B1,3,5,7,9，则(UA)B_.答案：7,9解析：由题意，得U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故UA4,6,7,9,10，所以(UA)B7,912(2014重庆，理12)函数的最小值为_答案：解析：根据对数运算性质，log2x(1log2x)(log2x)2log2x，当时，函数取得最小值.13(2014重庆，理13)已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.答案：解析：由ABC为等边三角形可得，C到AB的距离为，即(1，a)到直线axy20的距离，即a28a10，可求得.考生注意：14,15,16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14(2014重庆，理14)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，则AB_.答案：4解析：如图所示：根据切割线定理，得PA2PBPC，又因为PC(PBBC)，且PA6，BC9，所以36PB(PB9)，解得PB3.在PAC中，根据余弦定理cosACP，即cosACP，在ACB中，根据余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB829228916，所以AB4.15(2014重庆，理15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_.答案：解析：直线l的普通方程为yx1，曲线C的直角坐标方程为y24x，联立两方程，得解得所以公共点为(1,2)所以公共点的极径为.16(2014重庆，理16)若不等式|2x1|x2|对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案：解析：令f(x)|2x1|x2|可求得f(x)的最小值为，故原不等式恒成立转化为恒成立，即，即，解得a.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分)(2014重庆，理17)已知函数f(x)的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若，求的值分析：在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性，两最高点之间的距离是一个周期，从而根据公式，准确求出；而求，则根据对称轴处取最值并结合的取值范围给k赋值才能准确求出.第(2)问中已知，结合的范围判断并求出的值，然后进一步将转化成sin ，而后将写成加上的形式，从而求出最后的值，该题解答过程中，必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而.又因f(x)的图象关于直线对称，所以，k0，1，2，.因得k0，所以.(2)由(1)得，所以.由得，所以.因此.18(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分)(2014重庆，理18)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)分析：本题第(1)问主要考查古典概型中的概率计算公式，准确求出基本事件总数是解决问题的关键第(2)问考查离散型随机变量的分布列，理解中位数的概念，明确变量X的取值是解决该问题的前提，另外求出分布列之后，最好验证概率之和是否为1.解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为.(2)X的所有可能值为1,2,3，且，故X的分布列为X123P从而.19(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分)(2014重庆，理19)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM，MPAP.(1)求PO的长；(2)求二面角APMC的正弦值分析：本题主要考查空间向量与立体几何，正确的建立空间直角坐标系并标明点的坐标是解题的关键第(1)问将直线垂直转化为两直线的方向向量的数量积为零便可解决；第(2)问考查了二面角向量求法，设出二面角中两个面的法向量，利用垂直时内积为0，列方程组，确定法向量的坐标，再由向量夹角公式求出二面角的正弦值即可解：(1)如图，连结AC，BD，因ABCD为菱形，则ACBDO，且ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.因BAD，故，所以O(0,0,0)，B(0,1,0)，由BM，BC2知，从而，即.设P(0,0，a)，a0，则，.因为MPAP，故，即，所以，(舍去)，即.(2)由(1)知，.设平面APM的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由，得故可取，由，得故可取，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角APMC的正弦值为.20(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问3分，(3)小问5分)(2014重庆，理20)已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围分析：在第(1)问中，主要考查复合函数求导公式、偶函数性质及导数的几何意义，要确定a，b的值，只需由偶函数概念、导数的几何意义及已知条件列出关于a，b的两个方程，解方程即得a，b的值在求解过程中尤其要注意复合函数求导第(2)问考查导数的应用之一，先求导，再利用基本不等式判断导数的符号，进而判断f(x)的单调性第(3)问，由已知，先利用导数分类讨论f(x)的极值情况，再根据f(x)有变号零点确定c的取值范围解：(1)对f(x)求导得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)，即2(ab)(e2xe2x)0，因e2xe2x0，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x3，故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论当c4时，对任意xR，f(x)2e2x2e2xc0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程有两根，即f(x)0有两个根或.当x1xx2时，f(x)0；又当xx2时，f(x)0，从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围是(4，)21(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)(2014重庆，理21)如图，设椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径分析：(1)由已知可求出c，进而求出|DF1|，|DF2|，则利用椭圆的定义可求a，再根据b2a2c2求b2，从而求得椭圆的标准方程(2)由题设知圆的两条切线与过切点的两条半径围成一个正方形，故圆的半径等于两切点的长度的倍，故只需求两切点间的长度，而由圆及椭圆的对称性知，两切点间的长度应是一切点横坐标绝对值的2倍，故只需求切点的横坐标，可将切线过椭圆的焦点是互相垂直转化为两向量的数量积为零求解解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.由得.从而，故c1.从而，由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此.所以，故，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)再由F1P1F2P2得.由椭圆方程得，即.解得或x10.当x10时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，知CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圆C的半径.22(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分)(2014重庆，理22)设a11，(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论分析：(1)方法一：若b1，则，根据其特点，可研究数列(an1)2的性质，由(an1)2的通项，进而求an的通项方法二：先求出an的前几项，猜想an并用数学归纳法证明(2)方法一：令an1anc，求出c值，然后证明a2nca2n1，若成立，则存在，若不成立，则不存在方法二：根据能否求出同时满足a2nc和a2n1c的c值进行判断(1)解法一：a22，.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即(n