初中数学论文：构建二维框架突破实际问题的分析难点.doc

初中数学论文构建二维框架突破实际问题的分析难点内容摘要：实际问题的教学一直是初中数学教学中的一个难点, 对于我们农村初中的学生来说更是一大难题。实际问题的难点，就在于如何分析题意、有效提取题干的有用信息上，我们通过构建二维框架突破这个难点。二维框架指的是基本的等量关系为一维，题中所指的事件为另一维，以这二维构造框架分析题意。让学生学会如何分析题意，提升学生的综合能力。关键词：实际问题 构建框架 分析能力数学新课标要求学生具有较高的数学素养、数学意识和较强的数学应用能力。实际应用问题的教学可较好的培养学生上述能力，但在农村初中，由于学生数学基础普遍较差、信息的提取能力不足等原因，导致在实际教学中困难重重，具体表现在：由于题中的信息量过多，而无法从中提取有用的条件；由于题中所涉及的数量关系较多，而不能准确的找出合适的等量关系；由于题中一些名词术语，而导致理解错误等等。如何帮助学生解决这些困惑，重新找回自信，提升学生的解题能力？这是我们一直在探讨的内容。实际问题的难点，就在于如何分析题意、有效提取题干的有用信息上，我们可以构建二维框架突破这个难点。二维框架指的是基本的等量关系为一维，题中所指的事件为另一维，以这二维构造框架，抽丝剥茧式的让题中每个量明朗化，进一步找出列等式所需的等量关系。二维框架如下图：基本等量关系事件一 事件二 事件三 下面根据自身的一些教学经验，谈谈具体的做法。一、轻松构建框架，帮助学生摆脱畏难情绪。在大部分实际问题的教学中，都提倡让学生分析题意，先准确找出题中所需的等量关系。如：行程问题：相遇问题，追及问题（包括同地不同时，同时不同地），环行问题（包括背向而行，同向而行），航行问题（航海：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速；航空：顺风速度=静风速度+风速，逆风速度=静风速度-风速），稍微复杂一点的问题有两事件时间相等、路程相等、速度不变。然后对于每个种类的问题分别向学生讲清他的数量关系和等量关系，让学生在自己解题时首先分析这道题属于哪种题型，然后套用这种题型的等量关系来解题。这样教学，一度被认为是把复杂的问题简单化。可这样的教学太机械化，学生根本就没有真正懂得为什么要用这个等量关系，只是机械性的来套用这些模式而已，如果遇到复杂一点的实际应用问题，学生就无从入手，搞不清是该利用哪个等量关系来分析。这样反而会让他们对实际问题越来越恐惧。其实，行程问题的最基本的等量关系就是：路程 速度（匀速） 时间。学生只要牢牢抓住这一点，利用二维框架，学会自己分析，他们就会自己找到解决实际问题所需的等量关系。我们可以充分利用学生的生活经验，利用学生所熟知的的等量关系轻松构建框架，从而消除学生对实际问题的恐惧，这样才能让学生有信心去分析实际问题，才能把实际问题简单化。下面就针对一些实际问题的教学进行举例说明：例1：（人教七上P104探究题）销售中的盈亏：某商店以60元的同样价格卖了两件衣服,其中甲件盈利25%，乙件亏损25%.商家在这次买卖是盈了或是亏了,还是不盈不亏?分析：基本等量关系：利润销售价成本（这每个同学应该根据实际经验就能得到。）题中所指事件：事件一甲衣服，事件二乙衣服。考虑两件衣服的进价未知，可分别设两件衣服的进价，即建立下面的分析框架。设甲衣服进价x元，乙衣服进价y元。利润 销售价 成本甲 25%x 60 x乙 -25%y 60 y通过这个框架，学生就会很容易的列出两个方程，并且解出两件衣服的进价，那么题中的问题，盈了或是亏了？学生就能利用两件的销售价之和减去进价之和来解决这个问题了。 例2：（人教八下P30例4）从2004年5月起某列车平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?分析：基本等量关系：路程 速度时间，所指事件：事件一提速前，事件二提速后。可列下面的分析框架。设提速前列车的平均速度为x千米/时。路程 速度 时间提速前 s x ? (用相同时间)提速后 s50 xv ?通过此框架，利用提速前后时间相同，时间= 路程速度，就可列出相应的分式方程。例3：（人教九下P23探究题）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：基本等量关系：利润 （单件销售价 单件成本）件数，所指事件：事件一涨价时，事件二降价时。可列下面的分析框架。设每件涨价x元，每件降价t元。利润 （单件销售价 单件成本）件数涨价时 60x 40 30010x降价时 60t 40 30010t通过此框架，再令涨价后的利润为y1，降价后的利润为y2。即可列出相应的二次函数解析式，求出最值相比较后，就能确定如何定价才能使利润最大。从上面三个例题的分析中，可以看出避免了直接找等量关系来列等式的困难，而是采用三步策略：构建二维框架；让题中已知量按号入座；抓住关键点，这样就容易找到相应关系来列等式。比如例2，我们可根据路程 速度 时间（指的是匀速）这一不变的关系，然后把题中已知量按号入座，再抓住提速前后用相同的时间来列等式，这样学生就比较容易掌握。依此类推，所有的实际问题都可以利用类似的框架来分析题意、解决问题。二、加强变式练习，提高学生思维的敏捷性。在找到实际问题突破口的同时，还需加强变式练习，提高学生思维的敏捷性。在教学中，有的教师把实际问题进行分类，为的是帮助学生理清思路，但容易造成问题的孤立。而实际上很多不同类型的实际问题在形式上都是差不多的。比如，路程速度时间，销售价单价件数等等，只要是乘积形式的，都可以相互转化。我们在教学时，可以采取下列做法，给学生展示不同类型的实际问题，而列出的等式却是同一个；或者向学生提出解答一个问题后，根据同一方程，再编出其他不同类型的实际问题。例4：（人教七上P108第8题）京沪高速公路全长1262千米，一辆汽车从北京出发，匀速行使5小时后，提速20千米/时，又匀速行使5小时后，减速10千米/时，又匀速行使5小时后，到达上海，问求各段时间的车速（精确到1千米/时）。分析：基本等量关系：路程 速度时间，所指事件：事件一第一段路程，事件二第二段路程，事件三第三段路程。可列下面的分析框架。设汽车的第一段车速为x千米/时。路程 速度 时间第一段 ？ x 5第二段 ？ x20 5第三段 ？ x10 5（全长1262千米）通过此框架，学生就清楚，再利用总路程 各段路程之和来列等式。变式1：销售问题：由于市场竞争激烈，某房地产公司决定，房子售出5套后，提价20万元，又售出5套后，由于竞争激烈，降价10万元，又售出5套后，公司的总销售额为1262万元，问房子的原价为多少万元？变式2：产量问题：某村有三户农户种植花生，甲、乙、丙各种植5亩花生，乙比甲产量每亩多20千克，丙比乙产量每亩少10千克，三户花生的总产量有1262千克，问每户农户花生的亩产量是多少千克/亩？例4的三种类型，似乎是无关的三种类型，可是仔细推敲一下，又会发现三者是属于同一类型的题目。通过此类变式练习，促进学生认知网络的形成，使学生能够触类旁通，轻松高效的的掌握解题技巧，最终使学生有所启迪，思维更加活跃、灵活。三、利用一题多解，拓展学生思维的发散性。在以上的基础上，平时还需都加强一题多解，拓展学生思维的发散性。在实际问题的教学中，教师往往规范性的要求讲得太多，学生的解题策略经常是遵照老师指定的某一条路径或模式进行，这会造成学生思维定势。为此，在实际问题的教学中应尽可能精讲，让学生自主解答，让学生成为解题的主人，让学生的思维自由发挥。例5：某公司到果园购买某种优质水果以慰问学校教师，果园基地对购买3000千克以上（含3000千克）者有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运费为5000元，若购买量在3000千克以上，问选择哪种方案较省钱？并说明理由。分析：基本等量关系：总费用 水果价格运费所指事件：事件一甲方案，事件二乙方案。设购买水果为x（x 3000）千克.总费用 水果价格 运费甲方案 ? 9 x 0乙方案 ? 8 x 5000可列下面的分析框架。学生可根据框架，用多种方法来解题：列出关于甲乙两方案的方程，然后根据题意来解题；列出关于甲乙两方案的不等式来解题；分别列出关于甲方案和乙方案的一次函数，然后根据图象来解题等等。给学生的思维以较大的自由空间，给学生以较多地选择余地，让学生选择喜欢的方法来处理问题，这样才能使学生的思维通畅，拓宽学生的思维空间，培养灵活多变的解题思维能力。四、利用社会实践，拓宽学生思维的广度。数学的实际问题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生、不知其意，从而就无法正确理解题意，比如出租车的起步价问题。例6：某种出租车的收费标准是，起步价为7元（3 km以内）。超过3 km的，每600m加收1.2元（不足600m按600m计算）。某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共付10元。求甲乙两地路程的取值范围。有些学生认为“起步价7元”就是前三千米每千米需7元。而后面的每600m加收1.2元，理解为每600m要累计加收1.2元。究其原因，是学生生活经验不足。实际问题，还涉及到实际生活中的利率、打折、保险金、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念。因此，应让学生走出课堂、教室，更多地融入社会，才能拓宽学生的思维的广度，才