2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)【解析版】.doc

2015年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学解析一、选择题1、已知集合,则为（ ）A. B. C. D. 【解析】选A，集合中，将常数化为对数：，再由对数函数单调增，可得；集合中，根据指数函数在上单调增，可得，取交集可得【点评】本题考查集合的概念，对数的运算，对数函数与指数函数的单调性。难度简单2、执行如下框图，则输出的结果是（ ）ABCD【解析】选C，本题程序框图中的【点评】本题考查程序框图中的循环语句。难度简单3、展开式的二项系数和为，则其常数项为（ ）ABCD 【解析】选C，二项式系数和为，所以展开式中的第项为，可以发现当时，常数项为【点评】本题考查二项式系数的概念及二项式展开的通项公式。难度简单4、某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取了40人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落入区间的人做试卷，编号落入区间的人做试卷，则做试卷的人数为（ ）ABCD 【解析】选B，由于采用系统抽样的方法，因此将人平均分成组，每组人，编号范围分别为，第一组抽到的号码为，那么第二组抽到的号码就为，第三组抽到的号码就为，依此类推它们构成一个等差数列，通项为，依题意有，即，可取，共个【点评】本题考查系统抽样方法，等差数列通项公式。难度简单5、已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线的倾斜角等于，则双曲线的离心率等于（ ）ABCD 【解析】选D，可设双曲线的方程为，它的渐近线方程为，依题意有，所以离心率【点评】本题考查双曲线的渐近线方程与离心率的求法。难度简单6、函数的图像大致是（ ）【解析】选B，图像题目，属于基础题。一般用排除法，从看范围是。在上的余弦恒为正。故A、D排除，因为为最大值，故两侧应该同时比1小才行，故只能选B【点评】本题考查三角函数的图象，复合函数的性质。难度中等7、已知集合，且，则的最小值为（ ）ABCD【解析】选B，基本线性规划问题，一个三角形区域，一个变化的圆形区域，画图后易知的最小值为圆心到的距离。【点评】本题考查线性规划，图像画的准，解题就比较方便了。难度中等8、在中，若为的内心，则的值为（ ）ABCD【解析】选D，向量题目，设内切圆切边于,则。由三角形性质知道，所以答案为D【点评】本题考查向量和三角形内心，需要对三角形知识非常了解，才能快速做对。难度中等9、 系列的纸张规格如图，其特点是：所有规格的纸张的长宽比都相同；对裁后可以得到两张，对裁后可以得到两张对裁后可以得到两张若有每平方厘米重量为克的纸各一张，其中纸的较短边的长为厘米，记这张纸的重量之和为，则下列论断错误的是（ ）A存在，使得B存在，使得C对于任意，都有D对于任意，都有【解析】选A，等比数列难题，需要找到矩形的长宽比。由图易知面积是逐渐变为上一个的一半。设的长宽分别为，则长宽为。由相似易知。故面积为，面积为，面积为。所以，故选A【点评】本题考查等比数列求和，归纳推理，对观察能力要求较高。难度较大。10、定义在上的可导函数满足，且现给出关于函数的下列结论：函数在上单调递增；函数的最小值为；函数有且只有一个零点；对于任意，都有其中正确结论的个数是（ ）ABCD【解析】选D，导数中构造函数的题目，在构造函数题目中，本题算比较简单的了。得，即，所以即，由知道，。所以剩余问题就属于导数基础题目了，程度好的学生能够很容易秒杀掉。4个都是正确的。【点评】本题考查导数知识，构造函数。难度较大，但本题有一定水平的学生都能看出，只不过解析式未必能够看出，后面4个选项都需要计算。考察学生的计算能力和平时的做题总结了。二、填空题11、已知且，则等于_【解析】解：，故答案为【点评】本题考查复数的模长公式。难度简单12、设等差数列的前项和为，且，则等于_【解析】30解：由等差数列的性质可得：，解得，而故答案为30【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式。难度简单13、在中，若在线段任取一点，则角为锐角的概率为 【解析】解：如图，中，当时，所以概率故答案为【点评】本题考查解三角形和几何概型。难度简单 14、正方形的棱长为2，则三棱锥与三棱锥公共部分的体积为 【解析】解：如图，可知三棱锥与三棱锥公共部分为三棱锥依题意，可知，所以故答案为【点评】本题考查立体几何的求体积问题，难度中等15、定义在上的函数满足：，若曲线在处的切线方程为，则该曲线在处的切线方程为 【解析】解：定义在上的函数满足，为偶函数，又，函数周期为4函数在处的切线方程与处的相同，又，曲线在处的切线方程为，即故答案为【点评】本题考查函数的奇偶性，周期性以及导数和直线方程，综合性强。难度较大三、解答题16、已知函数。（）若，求的值；（）若函数的图象是由函数的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到。且在区间内是单调函数，求实数的最大值。【解析】解法一（）因为所以= =（）由已知，得= 依题意，得即 因为，所以 又因为在区间内是单调函数，所以，即故实数的最大值为解法二（）=因为，所以 所以（）由已知，得= 依题意，得即 由得故函数在上单调递增由得故函数在上单调递减因为函数在内是单调函数所以故故实数的最大值为解法三（）因为，所以代入，得 所以=（）同解法一或解法二【点评】本小题主要考查二倍角公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的三角函数公式，三角函数的图像与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想。难度中等17、如图，四棱锥的底面为直角梯形，过作一平面分别交于点.（）求证：；（）设,求与平面所成的角的大小；【解析】（）证明：，（）过D点做AB的平行线交BC的延长线于点G以点D为原点，方向为正向建立直角坐标系设平面PBC的法向量.由，得到，则可取，说明和平面PBC的法向量夹角为30那么AE与平面PBC的夹角为60【点评】（）考查立体几何中线、线和线、面之间的平行关系及平行关系的判定和性质。由线线平行判定线面平行，由线面平行的性质得到面外直线和交线平行。（）本题考查立体几何中直线与平面所成角根据几何结构中的垂直关系建立空间直角坐标系D-xyz，由法向量与平面PBC内向量（）的数量积为零建立方程组，解得一个法向量，再由内积公式求向量与法向量的夹角，直线AE与平面PBC的夹角与求得的角互余18、“抢红包”的网络游戏给2015年的春光增添了一份趣味，“抢红包”有多种玩法，小明参加了一种接龙红包游戏；小明在红包里装了9元现金，然后发给小朋友A，并给出金额所在区间，让猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中，A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A要将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间，让B猜，如果B猜中，A和B可以平分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发给朋友C，同时给出金额所在区间，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的资金将退回至小明的账户；（）求A恰得到三元的概率；（）设A所获得的金额为X元，求X的分布列以及数学期望；（）从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两个人所获得的金额之和？并说明理由；【解析】（）A恰好得到3元，意味着A、B未猜中而且C猜中PA恰得3元=（）A所得金额X的分布列A所得金额X034.59相应的概率PX的数学期望E（X）=0+3+4.5+9=3（1） 记B、C所得金额之和为变量Y，则X、Y的联合分布列为X94.530Y0004.50006000PXY=，PX=Y=，PXY=E(X)=3，E(Y)= 无论从概率还是所得金额的期望来比较，A的收入都依概率小于B、C的收入之和。【点评】（）考查单一事件的概率，注意事件发展过程的前后关联和各步骤的概率大小（）考查离散变量的分布列和期望值的计算，关键点在于变量的取值要全面，计算每一个事件的概率不能出错，分布列中的概率是可以检验的。（）考查两个变量的联合分布，联合分布综合了两个变量的所有取值和相应概率，包含所有的单个事件，记住不要遗漏，并注意两个变量取值的关联性。19、已知椭圆的左、右焦点分别为及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1。（）求椭圆的方程；（）如图，直线与椭圆有且只有一个公共点，且交轴于点，过点作垂直于的直线交于轴于点。求证： 五点共圆。【解析】法一：（）如图，因为是等边三角形，所以又因为椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，得，从而故椭圆的方程为（）依题意，直线的斜率必存在且不为0.设直线的方程为联立得.令，得，化简得：设切点.则即.又因为直线,所以直线的方程为由得.又由得.由（）知，.所以.又所以点都在以为直径的圆上.故五点共圆.法二：（）同法一（）依题意，直线的斜率必存在且不为0.设直线的方程为联立得.令，得，化简得：设切点.则即.又由得.设的中点为，则点的坐标为.故PM的垂直平分线的方程为.设与轴于,.又因为,所以H为中点，故由得.由（）知,所以.故,故五点共圆.【点评】本题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想。本题和14年全国卷理科四点共圆问题考法相近。20、已知函数的图象在点处的切线方程为。（）求的值及的单调区间；（）是否存在实数，使得与曲线有三个公共点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。（）设为正实数，且，证明：【解析】解：（）,所以.因为曲线在点处的切线方程为,所以,即,解得.于是由,即,解得,或;.由,即,解得.所以的递增区间为,;.递减区间为.（）由消去得,即或.要使射线与曲线有三个交点,只要方程,即有两个大于或等于且不等于的不等实根.当时,可化为,解得,不符合要求;当时,令.由即即,解得.综上,存在实数,使得射线与曲线有三个交点,且的取值范围是.（）证明:因为所以,.所以曲线在点处的切线方程为.当时,故.因为,且,所以,.所以,即.故.【点评】本小题主要考察二次函数、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等。21、（1）选修4-2：矩阵与变换已知曲线：，矩阵，且曲线在矩阵对应的变换的作用下得到曲线。（）求曲线的方程；（）求曲线的离心率及焦点坐标。【解析】解法一：（I）设曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下变为点，则，即 所以把代入，整理的所以曲线的方程为（II）曲线的方程为，离心率为，焦点为，因为对应的变换是顺时针旋转的旋转变换，所以对应的变换是逆时针旋转的旋转变换，所以曲线的离心率为，且的焦点是由的焦点逆时针旋转得到，由，所以曲线的焦点为，解法二：（I）设曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下变为点则 所以因为，所以即把代入，整理的所以曲线的方程为（II）曲线的方程为，离心率为，焦点为，因为对应的变换是顺时针旋转的旋转变换，所以曲线的离心率为 且曲线焦点，经过对应的变换作用后对应的点分别为，由知：，所以曲线的焦点为， 【点评】本小题主要考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。（2）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，点的坐标为。在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为。（）判断点与直线的位置关系；（）设直线与抛物线相交于，两点，求点到，两点的距离之积。【解析】（I）由已知得直线的直角坐标方程为： 因为所以点在直线上 （II）由（I）知，直线的斜率为，所以直线的倾斜角