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高三数学复习0912排列组合二项式定理教案知识点归纳 1、分类计数原理、步计数原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不能完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同两个原理的公式是: , 强调知识的综合是近年的一种可取的现象两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比2、排列组合（1）排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（2）排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。即（）（3）组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合（4）组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示（5）组合数的性质1：规定：；2：+ 3、排列组合解题方法：特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分；插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法隔板法：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里(n-1个位置)选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板）有种错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,442个、3个、4个元素的错位排列容易计算。关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：5个元素的全排列为：；剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的) 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的) 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的) 种 120-1-44用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、元素的错位排列问题二项式定理：1二项式定理：，2二项展开式的通项公式：3常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，定义域是（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 题型讲解 【例1】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答）解：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A5=120【变式】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种（以数字作答）解析：依次染、故有43231=72种答案：72【变式】（重庆卷16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）【例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？ 解（1）分三步：先选百位数字由于0不能作百位数，因此有5种选法； 十位数字有5种选法； 个位数字有4种选法由乘法原理知所求不同三位数共有554=100个（2）分三步：(1)百位数字有5种选法；(2)十位数字有6位选法；(3)个位数字有6种选法 所求三位数共有566=180个（3）分三步：先选个位数字，有3种选法；再选百位数字，有4种选法；选十位数字也是4 种选法，所求三位奇数共有344=48个（4）分三类：一位数，共有6个；两位数，共有55=25个；三位数共有554=100个 因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个（5）分四类：千位数字为3，4之一时，共有2543=120个；千位数字为5，百位数字为 0，1，2，3之一时，共有443=48个；千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一 时，共有23=6个；还有5420也是满条件的1个 故所求自然数共120+48+6+1=175个正因数之和为31406=7440【变式】1、72的正约数（包括1和72）共有_个解析：72=23322m3n（0m3，0n2，m，nN）都是72的正约数m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共34个。答案：122、从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和解：形如的数共有个，当这些数相加时，由“”产生的和是；形如的数也有个，当这些数相加时，由“”产生的和是；形如的数也有个，当这些数相加时，由“”产生的和应是这样在所有三位数的和中，由“”产生的和是同理由产生的和分别是，因此所有三位数的和是【例3】 分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有种选法，然后其他5人选，有种选法，故排法种数为（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为；乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有种选法，其余两棒次不受限制，故有种排法，由分类计数原理，共有种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有（或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法种【变式】求不同的排法种数： （1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：。 另法：用捆绑与剔除相结合：（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: 【例4】四面体的顶点和各棱的中点共10个点。（1）设一个顶点为A，从其他9点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？解：（1）如图，含顶点A的四面体的三个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有种取法含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理和点A共面三点取法共有种（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（种取法）减去4点共面的取法取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有种取法第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法根据分类计数原理4点共面取法共有故取4个点不共面的不同取法有（种）【变式】1、假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有种第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有种按分类计数原理有种2、在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )第一类办法 从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有CC个；第二类办法 从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个；第三类办法 从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个 由加法原理共有N=CC+CC+CC个三角形 【变式】（浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_（用数字作答)。【例5】将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ 分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； 分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； 分给甲、乙、丙3人，每人2本； 分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； 分成3堆，每堆2 本 分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； 分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本分析：分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的 特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题解：是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为； （无序非等分）是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；（非等分，有序）是指定人应得数量的均匀问题：方法数为； （ 等分有序）是分堆的非均匀问题（与等价）：方法数为； （ 非等分无序 ）是分堆的均匀问题：方法数为； （等分无序）是部分均匀地分给人的问题：方法数为； （ 局部等分有序）是部分均匀地分堆的问题：方法数为 （ 局部等分无序）点评：以上问题归纳为分给人（有序）分成堆（无序）非均匀均匀部分均匀【变式】有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人 （1）如果每人得两本，有多少种不同的分法； （2）如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得3本有多少种不同的分法； （3）如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法 解：（1）假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有种方法，由乘法原理得一共有种不同分法 （2）先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本则有种法，一共有种 （3）把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关 所以一共有种不同分法【例6】 把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有_种解:先给编号为2、3的三个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里因此，不同的放球方法有11010种点评： 隔板法：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板），有种方法【变式】 某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_ _种解 问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题。用隔板法。有种。【例7】 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种二项式题型讲解【例8】 如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2=1+，得n=8设第r+1项为有理项，T=Cx，则r是4的倍数，所以r=0，4，8有理项为T1=x4，T5=x，T9=【变式】求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数解：依题意：，为3和2的倍数，即为6的倍数，又，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由得， 故系数为有理数的项共有17项【例9】（09四川）的展开式的常数项是 （用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.【解析】，令，得 故展开式的常数项为【变式】求展开式中的系数解：令【例10】 求（1+x+x2+x3）（1x）7的展开式中x4的系数；求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展开式中x3的系数解：原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展开式中x4的系数为（1）4C1=14方法一：原式=展开式中x3的系数为C方法二：原展开式中x3的系数为C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键【变式】求展开式中的系数解法一：, 要使指数为1，只有才有可能，即,故的系数为解法二：由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用【例11】(09湖北)设，则 【解析】令得令时令时代入极限式可得，故选B【变式】已知，求解： 令时，有令时，有 【变式】【例12】 求展开式中系数最大的项解：设第项系数最大，则有，即又故系数最大项为练习：1.（09广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. 2、（09北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A324 B328 C360 D648【解析】 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）， 当0不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.3、（09全国卷）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D4、（09四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有12种排法 三类之和为241212485、（09辽宁）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种 【解析】直接法：一男两女,有C51C4