《测量误差》PPT课件.ppt

第6章测量误差及数据处理的基本知识 6 1概述 6 2测量误差的种类 6 3偶然误差的特性及其概率密度函数 6 4衡量观测值精度的指标 6 5误差传播定律 6 6同精度直接观测平差 6 7不同精度直接观测平差 6 8最小二乘法原理及其应用 6 1测量误差概述 测量误差及其来源测量误差 真误差 观测值 真值 测量误差的表现形式 观测值与真值之差 观测值与观测值之差 测量误差的来源 1 仪器误差 仪器精度的局限 轴系残余误差等 2 人为误差 判断力和分辨率的限制 经验等 3 外界条件的影响 温度变化 风 大气折光等 6 2测量误差的种类 测量误差分为 粗差 系统误差和偶然误差1 粗差 错误 超限的误差2 系统误差 误差出现的大小 符号相同 或按规律性变化 具有积累性 例 误差处理方法钢尺尺长误差 ld计算改正钢尺温度误差 lt计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消 前后视等距 经纬仪视准轴误差C操作时抵消 盘左盘右取平均 系统误差可以消除或减弱 计算改正 观测方法 仪器检校 3 偶然误差 误差出现的大小 符号各不相同 表面看无规律性 例 估读数 气泡居中判断 瞄准 对中等误差 导致观测值产生误差 4 几个概念 准确度 测量成果与真值的差异 精 密 度 观测值之间的离散程度 最或是值 最接近真值的估值 最可靠值 测量平差 求解最或是值并评定精度 6 3偶然误差的特性 举例 在某测区 等精度观测了358个三角形的内角之和 得到358个三角形闭合差 i 偶然误差 也即真误差 然后对三角形闭合差 i进行分析 分析结果表明 当观测次数很多时 偶然误差的出现 呈现出统计学上的规律性 而且 观测次数越多 规律性越明显 用频率直方图表示的偶然误差统计 频率直方图中 每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k n 而所有条形的总面积等于1 频率直方图的中间高 两边低 并向横轴逐渐逼近 对称于y轴 各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状 表现出偶然误差的普遍规律 偶然误差的特性 从误差统计表和频率直方图中 可以归纳出偶然误差的四个特性 1 在一定的观测条件下 偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 有界性 2 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多 趋势性 3 绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等 对称性 4 当观测次数无限增加时 偶然误差的算术平均值趋近于零 抵偿性 特性 1 2 3 决定了特性 4 特性 4 具有实用意义 偶然误差具有正态分布的特性 当观测次数n无限增多 n 误差区间d 无限缩小 d 0 时 各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线 这条曲线称为 正态分布曲线 又称为 高斯误差分布曲线 所以偶然误差具有正态分布的特性 6 4衡量精度的指标 1 方差与标准差由正态分布密度函数 Y 标准差的数学意义 称为标准差 测量工作中 用中误差作为衡量观测值精度的标准 中误差 观测次数无限多时 用标准差表示偶然误差的离散情形 观测次数n有限时 用中误差m表示偶然误差的离散情形 m1 2 7 是第一组观测值的中误差 m2 3 6 是第二组观测值的中误差 m1小于m2 说明第一组观测值的误差分布比较集中 其精度较高 相对地 第二组观测值的误差分布比较离散 其精度较低 2 容许误差 极限误差 根据误差分布的密度函数 误差出现在微分区间d 内的概率为 3 相对误差 相对中误差 误差绝对值与观测量之比 用于表示距离的精度 用分子为1的分数表示 分数值较小相对精度较高 分数值较大相对精度较低 例2 用钢尺丈量两段距离分别得S1 100米 m1 0 02m S2 200米 m2 0 02m 计算S1 S2的相对误差 K2 K1 所以距离S2精度较高 6 5误差传播定律 在实际工作中 某些未知量不可能或不便于直接进行观测 而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来 这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系 本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下 如何求观测值函数中误差的问题 阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律 称为误差传播定律 二 一般函数的中误差公式 误差传播定律 通过以上误差传播定律的推导 我们可以总结求观测值函数中误差的步骤 1 列出函数式 2 对函数式求全微分 3 套用误差传播定律 写出中误差式 例 量得地形图上两点间长度 168 5mm 0 2mm 计算该两点实地距离S及其中误差ms 解 列函数式求全微分中误差式 三 几种常用函数的中误差 设有函数式全微分中误差式 例 设有某线性函数其中 分别为独立观测值 它们的中误差分别为求Z的中误差 2 线性函数的中误差 函数式全微分中误差式 3 算术平均值的中误差式 对某观测量进行多次观测 多余观测 取平均 是提高观测成果精度最有效的方法 4 和或差函数的中误差 当等精度观测时 上式可写成 例 测定A B间的高差 共连续测了9站 设测量每站高差的中误差 求总高差的中误差 解 函数式 全微分 中误差式 用DJ6经纬仪观测三角形内角时 每个内角观测4个测回取平均 可使得三角形闭合差m 15 四 误差传播定律的应用 例2 试用中误差传播定律分析视距测量的精度 解 1 测量水平距离的精度基本公式 求全微分 其中 水平距离中误差 例2 试用中误差传播定律分析视距测量的精度 解 2 测量高差的精度基本公式 求全微分 其中 高差中误差 例3 1 用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差 2 用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中 求该正方形的周长S和面积A的中误差 解 1 周长 全微分 周长的中误差为 面积 全微分 面积的中误差为 2 周长 周长的中误差为 面积 全微分 但由于 得周长的中误差为 例4 已知直线MP的坐标方位角 72 20 00 水平距离D 240m 如已知方位角中误差 距离中误差 求由此引起的P点的坐标中误差 以及P点的点位中误差 解 由误差传播定律 P点的点位中误差 6 6同 等 精度直接观测平差 观测值的算术平均值 最或是值 用观测值的改正数v计算观测值的中误差 即 白塞尔公式 6 6 1 观测值的算术平均值 最或是值 最可靠值 证明算术平均值为该量的最或是值 设该量的真值为X 则各观测值的真误差为 1 1 X 2 2 X n n X上式等号两边分别相加得和 当观测次数无限多时 观测值的算术平均值就是该量的真值 当观测次数有限时 观测值的算术平均值最接近真值 所以 算术平均值是最或是值 观测值的改正数v Vi L i i 1 2 n 以算术平均值为最或是值 并据此计算各观测值的改正数v 符合 vv min的 最小二乘原则 6 6 2精度评定 用观测值的改正数v计算中误差 由上两式得 对上式取n项的平方和 其中 中误差定义 白塞尔公式 算例1 例 对某水平角等精度观测了5次 观测数据如下表 求其算术平均值及观测值的中误差 解 该水平角真值未知 可用算术平均值的改正数V计算其中误差 76 42 45 1 74 算例2 对某距离用精密量距方法丈量六次 求 该距离的算术平均值 观测值的中误差 算术平均值的中误差 算术平均值的相对中误差 凡是相对中误差 都必须用分子为1的分数表示 6 7不同精度直接观测平差 一 权的概念权是权衡利弊 权衡轻重的意思 在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标 1权的定义 设一组不同精度的观测值为li 其中误差为mi I 1 2 n 选定任一大于零的常数 则定义权为 称Pi为观测值li的权 1权的定义 对于一组已知中误差mi的观测值而言 选定一个大于零的常数 值 就有一组对应的权 由此可得各观测值权之间的比例关系 2权的性质 1 权表示观测值的相对精度 2 权与中误差的平方成反比 权始终大于零 权大则精度高 3 权的大小由选定的 值确定 但测值权之间权的比例关系不变 同一问题仅能选定一个 值 二 测量中常用的定权方法 1同精度观测值的权对于一组同精度观测值li 一次观测的中误差为m 由权的定义 选定 m2 则一次观测值的权为 n次同精度观测值的算术平均值的中误差为 同精度观测值算术平均值的权为 2单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值li 一次观测的中误差为mi 设某次观测的中误差为m 其权为P0 选定 m2 则有 数值等于1的权 称为单位权 权等于1的中误差称为单位权中误差 常用