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计算方法习题集及实验指导书计算机科学与技术系檀明2008-02-10课程性质及目的要求（一）课程性质自计算机问世以来，科学计算一直是计算机应用的一个重要领域，数值计算方法是解决各种复杂的科学计算问题的理论与技术的基础。计算方法课程讨论用于科学计算中的一些最基本、最常用的算法，不但具有数学的抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用的高度技术性的特点。它对于培养从事计算机应用的科技人才有着重要的作用，是计算机应用专业（本科段）的一门重要的技术基础课程。（二）目的要求通过本课程的学习和上机实验，了解用计算机解决科学计算问题的方法特点，掌握计算方法中的一些基本概念、基本公式和相应的算法流程，提高根据算法描述设计高级语言程序并进行验证的技能。在学习过程中，应注重理解和应用，在搞清基本原理和基本概念的基础上，通过习题、编程和上机等环节，巩固和加深已学的内容，掌握重要的算法及其应用。注重理论与算法的学习和应用相结合，强调编程及上机计算的技能培养，是本课程不同于一般数学课程的重要特点。（三）学习方法指导1循序渐进逐章学习 本课程从第二章开始，每章都讨论一个大类的算法。虽然各算法是相对独立的，但是也存在相互联系与前后继承的关系。前面的概念和算法学好了，后面的内容也就容易学，越学越感到容易。前面的内容没有学好，后面就会感到难学，甚至会出现越来越感到困难、失去学习信心的情况。2稳扎稳打融会贯通 学习要扎实、要讲求实效。每一个重要的概念和公式，都会搞清楚，做到融会贯通。只有这样，才能取得学习的学习效果。3多学练勤做习题 教材及本习题集中的每一章都附有适量的习题，可以帮助考生巩固和加深理解所学的知识，提高解题能力。因此，在学习过程中，应当适合习题进行思考，应当尽可能多做习题，遇到某些不会做的题，应三思之后再请老师给予提示。4抓住特点前后联系 本课程只讲了五大类算法。每类算法都是针对一类特定的计算问题，都有其自身的特点。各类算法之间又有某些联系。例如，插值算法是构造比较简单的函数来代替实际的复杂函数进行某些点的计算，尽管构造简单的函数的方法有多种，但这些方法的思路和目的都是一致的；数值积分算法的特点是用近似的方法来计算曲边梯形的面积，采用不同的近似性方法即可得到不同的计算公式，等等。注意算法的特点和各类算法间的联系，有助于提高学习效果。5抓住共性由此及彼 本课程所讲的五大类算法，虽然各不相同，但也存在着一些共同之点。例如，它们都是适合于计算机求解的数值方法，大都是用简单而便于重复计算的函数来代替复杂函数进行计算，得到近似结果；在算法描述上，大多数算法流程的框架是相同的或是相近似的。抓住了共性，我们就能够举一反三，就能由此及彼。（四）先修课 高等数学，线性代数，高级语言程序设计。（五）教材 计算方法第二版，易大义，浙江大学出版社 （六）参考书目 数值分析简明教程王能超编 高等教育出版社计算机数值方法施吉林、刘淑珍、陈桂芝编，高等教育出版社 数值分析金聪主编，武汉理工大学出版社 计算方法与实习袁慰平、孙志忠等主编，东南大学出版社 第一章绪论（一）知识点1算法 包括什么是算法、算法的重要性、算法的基本特征和描述算法的方法。2误差 包括误差的定义、来源、相对误差限与绝对误差、误差限和有效数字。（二）学习要求1理解两个基本概念：算法和误差。2注意算法的重要性、算法的基本特征和算法描述方法。3注意误差的来源、相对误差与绝对误差、误差限、有效数字、相对误差限与有效数字之间的联系，以及在实际计算中避免两个相似数相减的问题。（三）考核要求1有关算法的基本概念，要求达到识记层次。2有关误差的基本问题，要求达到领会层次，其中误差与有效数字能够进行简单计算。（四）常见例题例1、已知近似数有两位有效数字，试求其相对误差限。解：是1到9之间的数字，例2、 以下误差公式不正确的是（ ） A B C D答案：D（见教材）例3 ln2=0.69314718，精确到103的近似值是多少？解：精确到1030.001，即绝对误差限是e0.0005， 故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693例4 ，求，的有效数位 解：方法1 （推荐）如果近似值的误差限是它某一个数位的半个单位，称准确到该位。从这一位起到前面第一个非0数字位置的所有数字称为的有效数字，从而：由知，即误差限为小数点第四位（6）的半个单位，界于左边第一个非零数（3）至此位（6）所有数字均为有效数学（3.1416），共5位；类似知，即误差限为小数点第二位（4）的半个单位，界于左边第一个非零数（3）至此位（4）所有数字均为有效数学（3.14），共3位；方法2 （推荐） ，, ,(注：选择0.5的最大值)方法3 （不推荐） ,取 ,取 例5 是由真值经四舍五入得到的近似值，试估计的误差限_解：由四舍五入易知，由误差传播估计式从而有（五）课后习题1.1 指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。2.000 4 0.002 009 0009 000.001.2 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值_.1.3 近似数，有3位有效数字，求其相对误差限。1.4对准确值 和它的两个近似值为和分别计算它们的有效数位及绝对误差限，根据结果判断以下结论是否正确：对准确值的两个近似值，则有效数位大的则其绝对误差限就越小? 1.5如要求的近似值的相对误差小于，则至少要取几位有效数字？1.6从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出较好的近似值？，1.7设有多项式函数，请给出计算的计算量较小的算法。1.8设，已知近似值的相对误差为，求的绝对误差。（六）补注：秦九韵算法说明：从前项提出，则有：括号内得到一个次式项式（降了一次），对括号内再施同样的手续，进一步有：这样每做一步，最内层的多项降低一次，最终可加工成如下嵌套形式计算时，从里往外一层一层地计算,则计算量可减少一半。第二章 插值法、曲线拟合（一）知识点1 插值方法、插值误差及其估计方法2 一次和二次拉氏插值公式在解题中的应用及误差估计3 分段线性插值算法流程及其程序实现4 样条函数及样条插值的基本概念5 插值多项式的数值求导原理及公式6 曲线拟合概念、直线拟合和二次拟合问题（二）学习要求1通过泰勒插值和拉格朗日插值（以下简称拉氏插值）问题的学习，理解插值概念和插值问题解的存在性和唯一性。2通过考察拉氏插值的线性插值公式、抛物插值公式及其推广，搞清拉氏插值的一般算法流程。了解构造插值公式的基函数方法。3解拉氏插值余项定理的内容和插值误差的事后估计方法，了解插值余项定理的证明方法。4 了解差商及其性质，并进一步了解差商形式的插值公式牛顿公式。5了解分段插值的必要性，掌握分段性插值公式思考分段线性插值的算法流程，了解分段三次插值方法。6理解样条函数的概念，了解三次样条插值方法。7了解曲线拟合与插值的异同点，掌握直线拟合和二次拟合方法，了解一般多项式拟合问题。（三）考核要求1插值及其余项的概念达领会层次。2拉氏线性插值与抛物插值公式达到应用层次，并能编程进行解题计算。3差商与牛顿插值法。4曲线拟合公式和二次拟合公式达到应用层次。（四） 常见例题例1：通过点， ， 所作的插值多项式是( )(A) 二次的 (B) 一次的 (C) 不超过二次的 (D) 大于二次的答案：(C)例2：函数在节点处的二阶差商(A) (B) (C) (D) 答案：(B)例3：.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( )， 则P(x)是不超过一次多项式。(A) 初始值y0=0 (B) 所有一阶差商为0 (C) 所有二阶差商为0 (D) 所有三阶差商为0答案：(C)解答：因为所有二阶差商为0，那么三阶差商必为0，则牛顿插值多项式为 ，它是不超过一次的多项式。例4：拉格朗日插值多项式的余项是( )，牛顿插值多项式的余项是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(A)，(D)。见教材有关公式。例5：设一阶差商， , 则二阶差商 答案：例6：设， ，则 ，和 。答案：；例7：设, 取5个不同节点作的拉格朗日插值多项式，则是_次多项式。解答：3次，因为为三次多项式，取5点做四次插值多项应为多项式本身，本题也可据余项公式为0来判定。例8：已知，分别用外推及内插方式求的1次Lagrange插值来计算的近似值，并估计算误差。解答：分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算（1） 利用（外推），从而 ，这里 有，从而 的准确值外推 /* extrapolation */ 的实际误差 （2）再利用x1, x2 计算利用（内插），类似可得sin 50 0.76008, 此时内插 /* interpolation */ 的实际误差 例9：证明差商的组合性：证明:（归纳法）（1）, 时成立 （2）设上式对阶满足，即（3）则对阶例10：已知函数的数据如表中第1，2列。计算它的各阶差商和的形式，并估计相对于其误差。解：依据差商计算公式，结果列表中。 kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商00.400.410 7510.550.578 151.116 0020.650.696 751.168 000.280 0030.800.888 111.275 730.358 930.197 3340.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34计算公式为：一阶差商 二阶差商 由于形式未知，显然不能通过余项定理来估计误差，可采用牛顿插值的余项形式来估计：插值点，（假设四阶差商变化不大，可参看教材P50）从而有误差估计：例11：已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(1)。解：先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= P3(1)例12：设，试证 解：由于的线性插值 （直线的点斜式）于是 （） 例13：在上给出的等距节点函数表，若有二次插值求的近似值，要使误差不超过，使用函数表的步长应取多少？解：设插值节点为令因（*）于是由得注：（关于*式计算）：令由，即，得的驻点为，故例14：若是的次多项式，试证是的次多项式。证明：由差商定义有：即上式右端是的次多项式，而当时，上式为，说明这个次多项式中含有因式。在等式两端同除以得则上式右端是的次多项式，所以是的次多项式（五）课后习题2.1证明，由下列插值条件00.511.522.5-1-0.7501.2535.25所确定的Lagrange插值多项式是一个二项式，该例说明了什么问题？2.2已知函数的函数表如表所示X0.320.340.36sinx0.314 5670.333 4870.352 274试用拉格朗日线性插值求的近似值，并估计截断误差。 2.3证明，其中是关于点的（5次插值基函数）插值基函数.2.4设，取-1-0.500.514.22.451.20.450.2构造并比较结果。2.5已知，试求满足插值条件且的5次多项式。2.6要给出等距节点函数表，如用线性插值计算y的近似值，使其截断误差限为，则函数表的步长应取多大？ （注意参考例12）2.7证明：2.8 已知（1）求，及（2）求及2.9 已知函数的实测数据组如下表二、三两列所示，试用最小二乘法求二次拟合多项式 。2.10 用最小二乘法求一形如的经验公式（其中C和为待定数），使与下形数据相拟合。12481632644.224.023.853.593.443.022.59（六）补注：1、范德蒙行式列的两种形式：2、Taylor中值定理：若函数在含有的某个开区间内具有趋于直到阶导数，则当内时，可以表示为：其中是界于与之间的某个值。3、牛顿插值公式与泰勒展开式牛顿公式：令，则有即在泰勒公式界于之间，即在泰勒公式余项注：4、分析求下列程序的正确性，说明其基本思想。（结合秦九韶算法）double compvalue(double a,double x,double varx) /double p=an;for(int k=n-1;k=0;k-)p=p*(varx-xk)+ak;return p;/复杂度仅为：次乘法，次加减法答：令，则从后项提出，则有：括号内得到一个次式项式（降了一次），对括号内再施同样的手续，进一步有：这样每做一步，最内层的多项降低一次，最终可加工成如下嵌套形式：计算时，从括号的最里层开始逐层展开计算，从而有以上程序。第四章数值积分（一）知识点1代数精度概念及其与插值公式的关系2梯形公式、辛普公式及其余项3复化梯形公式和复化辛普生公式及应用4龙贝格公式及应用5梯形公式递推化算法流程及程序实现（二）学习要求在高等数学定积分知识的基础上，理解数值积分的几何意义及其近似性，了解插值型求积公式的关系，理解代数精度的概念与作用。了解牛顿柯特斯公式的导出，搞清矩形求积公式、梯形求积公式和辛普生公式及它们的代数精度与余项。在理解的基础上对复化梯形公式和复化辛普公式加以记忆，并用于解题。从梯形公式的递推化入手，理解并记忆龙贝格公式。了解高精度求积公式（即高斯公式）、高斯点及其特性、高斯点的计算问题。理解并应用数值微分的中点分式及其加速方法。（三）考核要求1数值积分公式的代数精度和余项达到领会层次。2梯形公式、辛普生公式以及它们的复化形式达到应用层次。3梯形公式递推化算法能编程进行解题计算。4龙贝格算法达到应用层次。（四）常见例题例1 试确定求积公式的代数精度。解：当取计算求积公式何时精确成立。(1) 取，有：左边， 右边2(2) 取，有：左边， 右边0(3)类似导出，取，有左边=右边(5) 取，有：左边=2/5， 右边=2/9当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2：. 证明求积公式具有三次代数精度，其中是正常数。证明：（1）当时，左边右边 （2）当时，左边右边 （3）当时，左边右边（4）当时，左边右边（5）当时，左边， 右边 所以，该求积公式具有三次代数精度。 例3、求积公式，已知其余项表达式为.试确定系数及，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出代数精度的次数及求积公式余项.解本题虽用到的值，但仍可用代数精度定义确定参数.令，分别代入求积公式.令公式两端相等，则当,当,当,解得，于是有 再令，此时，而上式右端为，两端不等，则求积公式对不精确成立，故它的代数精度为二次.为求余项可将代入求积公式， 当,，,，代入上式得，即所以余项.例4：试用梯形公式、和Simpson公式计算定积分(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算 (2)如果要求精确到105，用复化Simpson公式，截断误差为 ， N2只需把0.5，14等分，分点为0.5，0.625，0.75，0.875，1 例5：.已知n=3时，Cotes系数，那么 解答：由Cotes系数的归一性质，例6： 已知等距节点的插值型求积公式，那么（ ） A1 B. 2 C. 3 D. 4解答：知答案为（C）例7：对于个节点的插值求积公式至少具有次代数精度。解答：答案为例8：试证：证明：（五）课后习题4.1对于积分，以为节点，构造形如的插值型求积公式，并讨论所得公式的代数精度。4.2确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。（1）（2）4.3对于，利用下表数据，计算时的复合梯形公式，以及复合Simpson公式的值。001.000 000 050.6250.936 155 610.1250.997 397 860.750.908 851 620.250.989 615 870.8750.877 192 530.3750.976 726 7810.841 470 940.50.958 851 04.4如果用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差不超过0.5104，试问n至少取多少？（六）补注Cotes系数性质：（对称性）证明：（2）令时 定理5：当n为偶数时（或节点数为奇数时），N-C公式至少有n+1次代数精度证明：当，因此N-C公式至少有n次代数精度只要验证为次多项式时余项为0 只要证明为常数，即证（*）设（为整数），作代换（*）式证毕注：由于对时为常数，从而积分与无关，为常数项，可提出至积分号外。 第五章 非线性方程求根（一）知识点1根据方程建立迭代式，分析迭代式的收敛性和收敛速度2迭代过程的加速方法和埃特金公式3牛顿迭代法的公式、算法流程与程序实现4正割法及其收敛性与收敛速度（二）学习要求搞清迭代原理、迭代过程的收敛条件、收敛速度和收敛的加速方法。重点学习牛顿迭代法的公式、算法流程、应用举例了解扩大收敛范围的方法（牛顿下山法）和重根情况的处理方法。理解正割法，了解该法与牛顿迭代法的联系和不同点。（三）考核要求1迭代原理、迭代过程收敛条件与收敛速度达到领会层次。2迭代过程的加速方法与埃特金公式达到识记层次。3牛顿迭代法的公式与算法达到应用层次，并能编程进行解题计算4正割法达到识记层次（四）常见例题例1：用迭代法求方程x54x20在的最小正根，使敛代误差不超过。分析若建立迭代格式，此时迭代发散。迭代格式，此时迭代收敛。解：建立迭代格式 (可任取1，2之间的值)1.431 0 1.505 1 1.516 5 1.518 2 1.5185 取1.5185例2：应用牛顿法试导出一个求迭代求解公式。解：显然为方程的根,于是有迭代法例3：利用适当的迭代格式证明：证明：考虑迭代格式则：，当时，；，因此迭代收敛。例4：迭代法收收敛于，此迭代式是 阶收敛解：，二阶收敛。例5：要使迭代式局部收敛到，则的取值范围是 。解：，迭代式收敛即要求例6: 求的根的牛顿迭代格式是 。解：（牛顿迭代式）例7：应用牛顿迭代法求方程的根的近似值，其收敛阶为 。解：为方程的重根，因此，收敛阶为1。例8: 证明：对任何初始值，由迭代式所产生的序列都收敛于方程的根。证明：，则先考虑区间，当时，故迭代式所产生的序列均收敛。对任何初始值，有，将看成新的迭代初值，则由知其必收敛。例9：试确定常使迭代公式产生的序列收敛到，并使其收敛阶尽可能高。解：迭代函数，根据高阶收敛定理，要使迭代序列收敛的阶尽可能高，应使，由得：，即；由得：，即由得：，即综上可得满足方程，从而，而且，故迭代公式具有三阶收敛性。例10: 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根，取。保留5位小数点计算至。解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1，2。迭代公式为: (k =1，2，) 1.37662 148881 146348 1.46553取1.46553，f(1.46553)0.000145例11:对为的一个不动点，验证的迭代对不收敛，但改用Aitken方法却是收敛的。证明：由于，当时，且有在与0之间，若，时，迭代不收敛。若改用Aitken方法，可得，据局部收敛定理知，知其局部收敛于不动点0。 例12：设，利用Newton法求平方根，并证明迭代公式对均具二阶收阶性。解：令. 即的根，则Newton公式为：无论或时均有:，即假设任意，,即从开始，且从起是一个单调递减有下界的序列，由数列收敛定理知有极限.令可得，这就说明了只要，迭代总收敛到,且是二阶收敛. 注：（1）是计算机上求的实用算法：每步迭代（一次除法 + 一次加法 +一次移位），计算量少，收敛快。 （五）课后习题5.1为求方程在区间内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，判断各迭代公式的收敛性，给出理由。(1) （2）(3) (4) 5.2考虑求方程根的迭代公式试证：对，该方法收敛，且收敛阶为。5.3设有方程，其中设存在，且对一切值满足，构造迭代过程，为常数），试证明当选取为的任意数时，对任意选取的初值，上述迭代过程收敛。5.4选取常数使得成为求在附近的根的快速收敛过程。 5.5求方程根，可选取迭代函数，其中可选常数，如果，为使迭代过程收敛于，应如何选取？5.6设（1） 写出解 的Newton迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 5.7设法导出计算的Newton迭代公式，并要求公式中既无开方运算，又无除法运算。（六）补注（1）不动点迭代通常只有线性收敛，甚至不收敛，为加速收敛性可采用Aitken加速迭代.（*）或 （*）称为（*）或（*）式为Aitken迭代法特点：是将原不动点迭代计算两次合并成一步，改为另一种不动点迭代法 ，其中迭代函数为：定理6 当在不动点处可导且时，（或称与有相同的不动点）证明：（必要性）(后部分为型，不能直接代入求解) ,从而有：（充分性），若,由（2）若是的重根，,从而有：若令，则,则是的单根证明：若是的重根，则必含因式，当然也必含因式，从而必含因式，即；而同时，矛盾从而假设不真，得证。（2）换个角度来看Newton迭代法：用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？不管非线性方程的形式如何，总可以构造：， （*）作为方程求解的迭代函数。因为：，而且在根附近越小，其局部收敛速度越快，故可令若（即不是的重根），则：，故可取代入（*）,得：从而有牛顿迭代公式：第六章线性方程组的数值解法（一）知识点1雅可比迭代公式和高斯塞德尔达代公式的建立方法、迭代公式的矩阵表示形式2向量范数与矩阵范数的概念及其计算方法3迭代收敛的充分条件4对角占优方程组满足的条件及其收敛特性5选主元的基本思想、必要性和选主元的算法流程6追赶法及其代数基础7方程组的病态的衡量和余量法进行精度分析时应注意的事项（二）学习要求理解线性方程组的雅可比迭代公式和高斯塞德尔迭代公式的建立和它们的矩阵表示形式。学习向量和矩阵的范数概念，由此搞清雅可比迭代和高斯塞德尔迭代的收敛条件。学习消元和回代的原理，搞清约当消去法和高斯消去法算法流程和选主元的必要性与选主元的算法流程，并设计其计算程序。了解三对角方程组及其作追赶法求解的条件与计算公式。了解方程组的性态、搞清检验方程组病态的方法和对方程组近似解进行精度分析的方法及应注意的问题。（三）考核要求1向量范数和矩阵范数达到识记的层次。2雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代达到应用层次。3迭代收敛性与对角占优方程组达到识记层次。4约当消去法和高斯消去达到应用层次，并能编写计算程序。5选主元算法达到识记层次。6追赶法及其代数基础达到识记层次。7方程的性态分析与解的精度分析达到领会层次。（四）典型习题及补充讲解例1 用顺序消去法解线性方程组解：顺序消元 于是有同解方程组：回代得解： x3=1， x2=1，x1=1。原线性方程组的解为X(1，1，1)T。例2：，当满足 时，顺序高斯消元能进行到底；当满足 时，方程组可用顺序高斯消去法求解。解：；且例3：以二元线性方程组为例，说明Gauss消去法求解时为什么要选主元？解：，其中若有误差，有误差，则Guass消去结果如下：比较以上两式知第一行的误差，放大了倍传到第二行，当，则可能，误差放大了，且有可能造成大数吃小数现象。因此消元时应使例4：设为阶非奇异矩阵，且有三角分解，其中为单位下三解阵，为上三角阵，求证：的所有顺序主子式均为零。分析：因为要证的所有顺序主子式均不为零，故把按分块的形式写出比较好，再由的非奇异性即可推证。证明：设将按分块形式写出则有：从而由矩阵的分块乘法有：因为非奇异，故：从而，即非奇异，的所有顺序主子式均为零。例5：非奇异矩阵不一定都有分解。解：令，显然非奇异，若有分解，则有：比较等式两边元素得，显然矛盾，故非奇异阵不能进行LU分解。例6：取初始向量X(0)=(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组解：建立迭代公式 (k=1，2，3，)第1次迭代，k=0，X(0)0，得到X(1)(1，3，5)T，第2次迭代，k=1， ，得到 X(2)(5，3，3)T第3次迭代，k=2， ，得到X(3)(1，1，1)T第4次迭代，k=3， ，得到X(4)(1，1，1)T例7：用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。解答 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。例8：用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k=0，1，2，)解答 高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。答案是：例9：已知方程组 （1） 证明高斯塞德尔法收敛；（2） 写出高斯塞德尔法迭代公式；（3） 取初始值，求出。解：（1）因为严格对角占优矩阵，所以高斯塞德尔迭代法收敛。 （2）高斯塞德尔法迭代公式为： （3）取初值，计算得，例10：当( )时，线性方程组的迭代解一定收敛。(A) a7 (B) a=4 (C) 7答案：(D)解答：设A当时，称A是严格对角占优矩阵，当a时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，迭代解一定收敛。例11：用紧凑格式对矩阵进行的三角分解，则（ ） A1 B C1 D2答案：(A)例12：，证明是的范数证明：（正定性），至少，从而，则（奇次性），则（三角不等式），综上得证。例13：， ， 。答案：，例14： ，则A的谱半径 答案：例15：设为阶非奇异阵，表示矩阵的任何一种算子范数，试证：证明：为算子范数，有，从而例16：向量，是不是一种向量范数？是不是一种向量范数？答案：是一种向量范数，因为满足向量范数的三个条件，而则不是一种向量范数，首先不满足正定性要求，如取，但例17：，证明：证明：又例18：试证明G-S迭代矩阵至少有一个个特征值为0其中,，证明：易知，从而有，显然为奇异阵，当时，其特征方程显然成立，即0必是的一个特征值，得证。例19：给定线性方程组，用迭代公式求解，间取什么实数可使迭代收敛？什么可使迭代收敛最快？解：所给迭代公式的迭代矩阵为其特征方程为即从而（通过做图可看出）当且仅当所以取迭代收敛，当时，达到最小值，此时收敛最快。例20：讨论用Jacobi法和Gauss-Seidel方法解方程组时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中解：易求出，因此两种方法均收敛，因，故G-S法收敛速度较快。例21：设，试求Jacobi及G-S法迭代矩阵解：解法1（矩阵运算）：，解法2（定义导出）：Jacobi迭代法为：，即从而，其中G-S迭代法为：，注意此迭代式中右端仍含有上标为的分量，不满足形式（右端不含任何），故不直接整理出，可将第1式代入第2、3式从而消去2、3式中的，再将第2式代入式3，消去式3中的，得等价迭代公式：，即，其中例22：设为阶非奇异矩阵，求证：的解总能通过GS法得到。分析：注意本题的含义，GS方只是得到解，但未必解就是本身，完全可能是不解一个和同解的方程组，因此虽然未必对称正定，但可设法把方程组转化为适合GS法收敛条件的同解方程组，这样就可以用GS方法了。证明：因为非奇异，故与一定是同解方程组，对称性显然，若能证明正定，即说明解的GS法收敛。设，则因非奇异有，从而：，故正定，从而例题得证。（五）课后习题6.1 用Gauss列主元素消去法解下列线性方程组（给出计算过程）。6.2 用分解法求习题6.16.3 设，试计算6.4 证明6.5 ，证明：6.6计算的谱半径，其中6.7试证明以下方程Jacobi迭代收敛，而Seidel迭代不收敛。6.8设线性代数方程组的系数矩阵为，证明：（1） 当时，用Gauss-Seidel迭代法及SOR（）法求解收敛（2） 时，用Jacobi迭代法求解收敛第七章 常微分方程的数值解法（一）知识点1用欧拉格式、改进欧拉格式求解常微分方程2欧拉格式与两步欧拉格式的局部载断误差的估算3常微分方程的差分方法的收敛性与稳定性概念4多步法的解题思路及其特点和亚当姆斯方法5微分方程组和高阶微分方程的解题思路（二）学习要求在高等数学的常微分方程知识的基础上，理解差分方法的几何意义及该方法的近似性、局部载断误差和整体载断误差等问题。搞清欧拉格式、隐式欧拉格式、两步欧拉格式及它们的局部载断误差。了解龙格库塔方法和亚当姆斯方法及其精度分析，注意单步法和多步法的不同特点，了解亚当姆斯预报一校正系统。理解收敛性及其与整体载断误差的关系、稳定性及其与步长的关系。了解微分方程组和高阶微分方程的求解方法。（三）考核要求1欧拉格式、两步欧拉格式、改进欧拉格式达到应用层次。2龙格一库塔方法和亚当姆斯方法达到领会层次。3收敛性与稳定性概念达到领会层次。4多步法的解题思想及其特点达到识记层次。5微分方程组和高阶微分方程达到识记层次。 （四）典型习题及补充讲解例1：用Euler法、隐式Euler法、梯形法及改进Euler法求解 ，取，计算到，并与精确解比较.解：由于,Euler法： 时，.隐式Euler法：解出 当时，梯形法： 解出 当时，改进Euler法: 即 当时， 精确解：，(梯形法效果最好，改进Euler较好：具有相同的误差数量级，其它不好!)Euler法隐式Euler法梯形法改进Euler法精确解0.11.000 0001.009 0911.004 7621.005 0001.004 8370.21.010 0001.026 4461.018 5941.019 0251.019 7310.31.029 0001.051 3151.040 6331.041 2181.040 8180.41.056 1001.083 0141.070 0971.070 8021.070 3200.51.090 4901.120 9221.106 2781.107 0761.106 531例2：用梯形法的迭代格式求的数值解，计算到解：梯形公式迭代式，解为：例3：出用梯形格式的迭代算法求解初值问题的计算公式，取步长，并求的近似值，要求迭代误差不超过。解：梯形公式的迭代算法为，于是取，有由，经计算有：因，于是取则，于是取例4：用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2。计算过程保留6位小数。解h=0.2， f(x)=yxy2。首先建立欧拉迭代格式 当，x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有y(0.2)y1=0.21(401)0.8当，x2=0.4时，已知x1=0.2， y1=0.8，有y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4 当 ，x3=0.6时，已知x2=0.4，y2=0.6144，有y(0.6)y3=0.20.6144(40.40.4613)=0.8例5： 用改进的欧拉法（预报校正公式）求解初值问题，取步长h=0.2，计算 y(1.2)，y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位。解 步长h=0.2， 此时f(x，y)=yy2sinx欧拉预报校正公式为：有迭代公式:当=0，x0=1， y0=1时，x1=1.2，有 当=1，x1=1.2， y1=0.71549时，x2=1.4，有 =0.52608例6：写出用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。解 此处f(x，y)=83y， 四阶龙格库塔法公式为 其中 k1=f(xk，yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)本例计算公式为： 其中 k1=83 yk；k2=5.62.1 yk；k3=6.322.37yk; k4=4.2081.578yk当x0=0，y0=2，（五）课后习题7.1 取步长，用显示Euler法求解初值问题7.2 用梯形公式解初值问题，取步长，小数点后至少保留5位。7.3用改进欧拉格式解下列初值问题，步长（给出计算公式，要求计算到0.2）。计算方法实验指导书实验一：拉格朗日插值算法目的与要求：熟悉拉格朗日插值多项式构造类型：必做命名（源程序.cpp及工作区.dsw）：lagrange问题：0.40.550.800.910.410750.578150.888111.026521.17520用四次拉格朗日多项式求的函数近似值运行及结果显示： #include #include #define N 4void main()double xN+1=0.4,0.55,0.8,0.9,1;double yN+1=0.41075,0.57815,0.88811,1.02652,1.17520;double varx=0.5;int checkvalid(double x,int n);double Lagrange(double x,double y,double varx,int n);if(checkvalid(x,N)=1)printf(nn插值结果：P(%f)=%fn,varx,Lagrange(x,y,varx,N);else printf(输入的插值节点的x值必须互异！);getch();int checkvalid(double x,int n)/检查插值节点是否互异，有重节点返回-1；否则返回1double Lagrange(double x,double y,double varx,int n)/参数说明：x，y存放插值节点值，varx变量x的值，n插值多项式的次数容错测试：对double xN+1=0.4,0.4,0.8,0.9,1;将能提示错误。实验二：牛顿插值算法目的与要求：熟悉牛顿插值多项式构造，注意与拉氏插值的不同特点类型：必做命名（源程序.cpp及工作区.dsw）：newton_cz问题：0.40.550.800.910.410750.578150.888111.026521.17520用牛顿插值多项式求 运行及结果显示： #include #include #define N 4static double xN+1=0.4,0.55,0.8,0.9,1;static double yN+1=0.41075,0.57815,0.88811,1.02652,1.17520;void main()double varx,fN+1N+1;int checkvalid(double x,int n);void chashang(double x,double y,double fN+1);double compvalue(double tN+1,double x,double varx);varx=0.5;if(checkvalid(x,N)=1)chashang(x,y,f);printf(nn牛顿插值结果：P(%f)=%fn,varx,compvalue(f,x,varx);else printf(输入的插值节点的x值必须互异！);getch();int checkvalid(double x,int n) /检查插值节点是否互异，有重节点返回-1；否则返回1void chashang(double x,double y,double fN+1)/参数说明：x，y存放插值节点值，varx变量x的值，fN+1返回各阶差商值要求：在函数chashang中完成对各阶差商的计算及以下三