圆锥曲线的光学性质总结.doc

圆锥曲线的光学性质总结第一篇:圆锥曲线的光学性质 圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 一、 圆锥曲线的光学性质 11 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另 一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。 证明：由导数可得切线l的斜率k=y x=x0 y0y-b2x0 而PF1的斜率k1=，PF2的斜率k2=0 =2， x0-cx0+cay0 y0b2x0 +2 22 x0+cay0a2y0+b2x0+b2cx0k1-k l到PF1所成的角a满足tana=， =22 2 b2x0y01+kk1a-bx0y0+acy01- x0+ca2y0 k-k2b2b2 ，同理，PF2到l所成的角b满足tanb=， =P(x0,y0)在椭圆上，tana=cy01+kk2cy0 tana=tanb，而a,b0, p ，a=b 2 12双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2) 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用 13 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的 图1.1 图1.2 图1.3圆锥曲线的光学性质总结。 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明 21圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线l与曲线C交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线 c在点M处的法线。 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 x2y2 预备定理 1.若点P(x0,y0)是椭圆2+2=1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为： ab x0xy0y +2=1。 2ab y2x2x222 证明：由2=1-2y=b(1-2)， baa 2b2 1当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且k=y|x=x0，对式求导：2yy=-2x， a -b2x0-b2x0 (x-x0)， k=y|x=x0=2，切线方程为y-y0=-2 ay0ay0 22x0xy0yx2y2x0y0 +=1点P(x0,y0)在椭圆2上，故 2+2=1 ，代入得2+2=1， 2 ababab 而当x=a时，y0=0 切线方程为x切线方程. 预备定理 =a，也满足式，故x02x+y02y=1是椭圆过点P(x0,y0)的 a b x2y2 2. 若点P(x0,y0)是双曲线2-2=1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为： ab x0xy0y -2=1 2ab 2 y2x222x证明：由2=2-1y=b(2-1)， baa 1当x a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k=y|x=x ， 2b2x02b2bx 对式求导：2yy=2x，k=y|x=x0=2，切线方程为y-y0=-20(x-x0)， ay0aay0 22x0xy0yx2y2x0y0 点P(x0,y0)在双曲线2-2=1上，故2-2=1 代入得2-2=1， ababab 而当x=a时， y0=0 切线方程为x=a，也满足式，故x02x-y02y=1是双曲线过点 a b P(x0,y0)的切线方程. 预备定理 3.若点 P(x0,y0)是抛物线y2=2px 上任一点，则抛物线过该点的切线方程是 y0y=p(x+x0) 证明：由y2=2px，对x求导得：2yy=2pk=y|x=x0= p， y0 当y00时，切线方程为y-y= p2(x-x0)，即y0y-y0=px-px0， y0 2而y0=2px0y0y=p(x+x0)，而当y0=0,x0=0时，切线方程为x0=0也满足式， 故抛物线在该点的切线方程是y0y=p(x+x0). 定理1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1） x2y2 已知：如图，椭圆C的方程为2+2=1，F1,F2分别是其左、右焦点，l是过椭圆上一点P(x0,y0) ab 的切线，l为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D，设F2PD=a,F1PD=b， 求证：a=b. x2y2 证法一：在C:2+2=1上，P(x0,y0)C， ab xxyy 则过点P的切线方程为：02+02=1，l是通过点 ablP且与切线l垂直的法线， y0x11 )x-(0)=xy(-2)， 则l:(20022 baba c2 法线l与x轴交于D()x0,0)， a c2c2|F1D|a2+cx0 |F1D|=2x0+c,|F2D|=c-2x0，又由焦半径公式得：=2 aa|F2D|a-cx0 |FD|PF1| ，PD是F|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0，1=1PF2的平分线，圆锥曲线的光学性质总结。 |F2D|PF2| a=b，a+a=90=b+b，故可得a=ba=b y0-b2x0 证法二：由证法一得切线l的斜率k=y|x=x0=2，而PF1的斜率k1=，PF 2的斜率 x0+cay0 y0b2x0 +22 y0x0+ca2y0a2y0+b2x0+b2cx0k1-k ，l到PF1所成的角a满足： k2=tana=22 22bx0y0x0-c1+kk1(a-b)x0y0+acy0 1- (x0+c)a2y0 x2y2b2 P(x0,y0)在椭圆C:2+2=1上，tana=， abcy0 k-k2b2 同理，PF2到l所成的角b满足tanb=，tana=tanb = 1+kk2cy0 p 而a,b(0,)，a=b圆锥曲线的光学性质总结。 2 C于点P 证法三：如图，作点F3，使点F3与F2关于切线l对称，连结F1，F3交椭圆 下面只需证明点P与P重合即可。 l一方面，点P是切线l与椭圆C的唯一交点，则|PF1|+|PF2|=2a，是上的点到两焦点距离之和的 最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外）。 另一方面，在直线l上任取另一点P，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PF3|=|F1F3|PF1|+|PF2| 即P也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P重合，即a=b而得证 定理2 双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）； x2y2 lC上的一已知：如图，双曲线C的方程为2-2=1，F1，F2分别是其左、右焦点，是过双曲线 ab 点P(x0,y0)的切线，交x轴于点D，设F1PD=a，F2PD=b 求证：a=b 证明：C: xy -=1，两焦点为F1(-c,0)，F2(c,0) 22ab 22 (c2=a2+b2)，P(x0,y0)在双曲线上，则过点P的切线 x0xy0ya2 -2=1，切线l与x轴交于D(,0)。 2abx0 由双曲线的焦半径公式得： 图2.2 |PF1|=| cc x0+a|,|PF2|=|x0-a|，双曲线的两焦点坐标aa c x0+a| |PF1|DF1|acac 为F(c,0)，F(-c,0)，故|DF1|=| |x0+a|,|DF2|=|x0-a|,= x0ax0a|PF2|x-a|DF2| 0a 故a=ba=b ，切线l为FPF之角分线。 | 定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）。圆锥曲线的光学性质总结。 已知：如图，抛物线C的方程为为y2=4cx，直线l是过抛物线上一点P(x0,y0)的切线，交x轴于D，DPF=a,PDF=g， 反射线PQ与l所成角记为b，求证：a=b 证明： 如图 ，抛物线C的方程为C:y=4cx，点P(x0,y0)在该抛物线上，则过点P的切线为y0y=p(x+x0)，切线l与x轴交于 2 图2.3 D(-x0,0)，焦点为F(c,0)，b=g(同位角)， |PF|=|x0+c|,|DF|=|x0+c|，|PF|=|DF|，a=ba=g 通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？ 三、圆锥曲线的光学性质的应用 31解决入射与反射问题 例1. 设抛物线C:y2=x，一光线从点A (5，2)射出，平行C 的对称轴，射在C 上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为_，Q点的坐标为_。 解：如图，直线AP平行于对称轴且A(5，2)，则P点的坐标为（4，2）， 14 111t28 则=，解得：t=-，Q(,-) 158648t2-4- 44 2 反射线PQ过点F(,0)，设Q(t,t)， 图3.1.1 x2y2 例2. 已知椭圆方程为+= 1，若有光束自焦点A(3