2017年山西省太原市中考数学三模试卷.doc

2017年山西省太原市中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）2的相反数是（）A2B2CD2（3分）下列运算正确的是（）A4a2（2a）2=2a2B（a2）a3=a6C（2x2）3=8x6D（x）2x=x3（3分）在学校春季运动会上，参加男子跳高的15名运动员的最后成绩如下表：跳高成绩（m）1.501.551.601.651.701.75跳高人数（人）132351这些成绩的中位数和众数分别是（）A1.70m，1.65mB1.65m，1.70mC1.625m，1.70mD1.60m，1.70m4（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD5（3分）如图，直线ab，直角三角板的直角顶点在直线b上，一条直角边与直线a所形成的1=55，则另外一条直角边与直线b所形成的2的度数为（）A25B30C35D406（3分）一个不透明的口袋中有红色、黑色、白色的玻璃球共40个，这些球除颜色外都相同，小李将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，通过大量摸球试验后，统计结果显示摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A24B20C18D167（3分）三国魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了九章算术注十卷，重差为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（）A海岛算经B孙子算经C九章算术D五经算术8（3分）如图是一个数学魔方，数学魔方的要求是相对的两个面上的点数和是7，该魔方可通过纸板折叠和粘接做成，在下面的四个纸板中，可以做成数学魔方的纸板有（）A4张B3张C2张D1张9（3分）志愿者服务站为指导农民发展种植业进行技术培训，三期共培训95人，其中第一期培训20人，求每期培训人数的平均增长率，设平均增长率为x，根据题意列出的方程为（）A20（1+x）2=95B20（1+x）3=95C20（1+x）+20（1+x）2=95D20（1+x）+20（1+x）2=952010（3分）四座城市A，B，C，D分别位于一个边长为100km的大正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定修建公路网连接它们，根据实际，公路总长设计得越短越好，公开招标的信息发布后，一个又一个方案被提交上来，经过初审后，拟从下面四个方案中选定一个再进一步论证，其中符合要求的方案是（）ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11（3分）化简：= 12（3分）新华网北京2017年4月18日电，一季度中国经济“稳”字当头，根据初步核算，国内生产总值约为181000亿元，按可比价格计算，GDP同比增长6.9%，创下2015年9月以来的新高，数据181000亿元用科学记数法可表示为 元13（3分）如果一张矩形纸的长：宽=：1，则称这样的纸为标准纸如图，A0是一张长为a的标准纸，将A0对折可得标准纸A1，依次对折下去，得到的纸都是标准纸，对折n次后新得标准纸An的长为 （用含a的代数式表示）14（3分）某苗圃计划培育甲，乙两种树苗共2000棵，据统计这两种树苗的成活率分别为94%和99%，要使这批树苗的成活率不低于96%，求培育甲种树苗至多多少棵？设培育甲种树苗x棵，根据题意列出的不等式是 15（3分）如图，在RtABC中，AB=AC=4，BAC=90，点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接CF并延长交BD于点G，则线段CG的长等于 三、解答题（本大题共8小题，共75分）16（10分）（1）计算：（）0（）1|1|；（2）先化简，再求值：（x24）（x+1）（x2）2，其中x=217（7分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=50m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到1m，参考数据：1.414，1.732）18（9分）为进一步丰富学生课余文化生活和营造朝气蓬勃的校园文化氛围，学校组织学生开展了各种文体活动、社团活动，现在开展的社团活动有音乐，体育，美术，摄影四类，每个同学必须且只能从中选择参加一个社团，为了解学生参与社团活动的情况，学生会成员随机调查了一部分学生所参加的社团类别并绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了 名同学；（2）补全统计图，在扇形统计图中，“美术”所在扇形的圆心角的度数为 ；（3）小明和小亮都想报美术，摄影，体育社团，用画书树状图或列表的方法，求他们恰好参加同一社团的概率19（7分）（1）如图（1），在RtABC中，ACB=90，B=60，在图中作出ACB的三等分线CD，CE（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）由（1）知，我们可以用尺规作图作出直角的三等分线，但是仅仅使用尺规却不能把任意一个角分成三等分，为此，人们发明了许多等分角的机械器具，如图（2）是用三张硬纸片自制的一个最简单的三分角器，与半圆O相接的AB带的长度与半圆的半径相等；BD带的长度任意，它的一边与直线AC形成一个直角，且与半圆相切于点B，假设需要将KSM三等分，如图（3），首先将角的顶点S置于BD上，角的一边SK经过点A，另一边SM与半圆相切，连接SO，则SB，SO为KSM的三等分线，请你证明20（7分）如图（1），在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x1与y轴相交于点A，与反比例函数y=（x0）的图象相交于点B（m，2）（1）求反比例函数的表达式；（2）若将直线y=2x1向上平移4个单位长度后与y轴交于点C，求ABC的面积；（3）如图（2），将直线y=2x1向上平移，与反比例函数的图象交于点D，连接DA，DB，若ABD的面积为3，求平移后直线的表达式21（9分）某服装店专营一批进价为每件200元的品牌衬衫，每件售价为300元，每天可售出40件，若每件降价10元，则每天多售出10件，请根据以上信息解答下列问题：（1）为了使销售该品牌衬衫每天获利4500元，并且让利于顾客，每件售价应为多少元；（2）该服装店将该品牌的衬衫销售完，在补货时厂家只剩100件库存，经协商每件降价a元，全部拿回按（1）中的价格售出80件后，剩余的按八折销售，售完这100件衬衫获利50%，求a的值22（13分）综合与实践问题情境如图，同学们用矩形纸片ABCD开展数学探究活动，其中AD=8，CD=6操作计算（1）如图（1），分别沿BE，DF剪去RtABE和RtCDF两张纸片，如果剩余的纸片BEDF是菱形，求AE的长；操作探究把矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到ABC和CDA两张纸片（2）将两张纸片如图（2）摆放，点C和点C重合，点B，C，D在同一条直线上，连接AA，记AA的中点为M，连接BM，MD，发现BMD是等腰直角三角形，请证明；（3）如图（3），将两张纸片叠合在一起，然后将ADC纸片绕点B顺时针旋转（090），连接AC和AC，探究并直接写出线段AC与AC的关系23（13分）综合与探究如图（1），线段AB的两个端点的坐标分别为（12，4），（0，10），点P从点B出发，沿BA方向匀速向点A运动；同时，点Q从坐标原点O出发，沿x轴的反方向以相同的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象如图（2）所示（1）求点P的运动速度；（2）求面积S与t的函数关系式及当S取最大值时点P的坐标；（3）点P时S取最大值时的点，设点M为x轴上的点，点N为坐标平面内的点，以点O，P，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标2017年山西省太原市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）2的相反数是（）A2B2CD【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数【解答】解：根据相反数的定义，2的相反数是2故选：A【点评】本题考查了相反数的意义注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是02（3分）下列运算正确的是（）A4a2（2a）2=2a2B（a2）a3=a6C（2x2）3=8x6D（x）2x=x【分析】分别根据同底数幂的乘法与除法、幂的乘方、合并同类项的法则逐一计算即可【解答】解：A、错误，应为4a2（2a）2=4a24a2=0；B、错误，应为（a2）a3=a5；C、（2x2）3=8x6，正确；D、错误，应为（x）2x=x2x=x故选C【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键3（3分）在学校春季运动会上，参加男子跳高的15名运动员的最后成绩如下表：跳高成绩（m）1.501.551.601.651.701.75跳高人数（人）132351这些成绩的中位数和众数分别是（）A1.70m，1.65mB1.65m，1.70mC1.625m，1.70mD1.60m，1.70m【分析】根据众数和平均数的意义解答【解答】解：由于数据按照从小到大依次排列，中位数为第7名运动员的身高，1.65米；身高1.70米的有5个运动员，众数为1.70米，故选B【点评】本题考查了众数、中位数，熟悉它们的意义是解题的关键4（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【分析】先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可【解答】解：由不等式组得，再分别表示在数轴上为，故选B【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示5（3分）如图，直线ab，直角三角板的直角顶点在直线b上，一条直角边与直线a所形成的1=55，则另外一条直角边与直线b所形成的2的度数为（）A25B30C35D40【分析】先由直线ab，根据平行线的性质，得出3=1=55，再由已知直角三角板得4=90，然后由2+3+4=180，求出2【解答】解：直线ab，3=1=55，4=90，2+3+4=180，2=1805590=35故选：C【点评】此题考查了学生对平行线性质的应用，解决问题的关键是由平行线性质得出同位角相等6（3分）一个不透明的口袋中有红色、黑色、白色的玻璃球共40个，这些球除颜色外都相同，小李将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，通过大量摸球试验后，统计结果显示摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A24B20C18D16【分析】先求出白色球的频率，用频率估计概率可知白球的数量为总数乘以其所占百分比【解答】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，摸到白色球的频率约为115%45%=40%，则口袋中白色球的个数很可能是4040%=16（个），故选：D【点评】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率7（3分）三国魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了九章算术注十卷，重差为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（）A海岛算经B孙子算经C九章算术D五经算术【分析】结合九章算术注相关知识直接回答得出答案【解答】解：九章算术注十卷，重差为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是海岛算经故选：A【点评】此题主要考查了数学常识，正确掌握九章算术注有关知识是解题关键8（3分）如图是一个数学魔方，数学魔方的要求是相对的两个面上的点数和是7，该魔方可通过纸板折叠和粘接做成，在下面的四个纸板中，可以做成数学魔方的纸板有（）A4张B3张C2张D1张【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题【解答】解：如图，观察正方形的展开图，根据正方形的展开图规律特点可知第一张，第二张展开图错误所以第三、四张展开图正确故选：C【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题9（3分）志愿者服务站为指导农民发展种植业进行技术培训，三期共培训95人，其中第一期培训20人，求每期培训人数的平均增长率，设平均增长率为x，根据题意列出的方程为（）A20（1+x）2=95B20（1+x）3=95C20（1+x）+20（1+x）2=95D20（1+x）+20（1+x）2=9520【分析】设平均增长率为x，根据第一期培训了20人，可得出第二、三期培训人数，根据三期共培训人数=第一期培训人数+第二期培训人数+第三期培训人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解答】解：设平均增长率为x，则第二期培训20（1+x）人，第三期培训20（1+x）2人，根据题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2=95故选D【点评】本题考查了由时间问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键10（3分）四座城市A，B，C，D分别位于一个边长为100km的大正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定修建公路网连接它们，根据实际，公路总长设计得越短越好，公开招标的信息发布后，一个又一个方案被提交上来，经过初审后，拟从下面四个方案中选定一个再进一步论证，其中符合要求的方案是（）ABCD【分析】计算出各种情况时线路之和，然后进行比较从而解得【解答】解：因为正方形的边长为100km，则方案A需用线200km，方案B需用线（200+100）km，方案C需用线300km，方案D如图所示：AD=100km，AG=50km，AE=km，GE=km，EF=1002GE=（100）km，方案D需用线4+（100）=（1+）100=（100+100）km，所以方案D最省钱故选D【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中30度角的性质，正确掌握特殊三角形的边角关系是解题的关键二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11（3分）化简：=【分析】根据异分母分式加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减【解答】解：=【点评】命题立意：考查异分母分式的加减法和学生的计算能力12（3分）新华网北京2017年4月18日电，一季度中国经济“稳”字当头，根据初步核算，国内生产总值约为181000亿元，按可比价格计算，GDP同比增长6.9%，创下2015年9月以来的新高，数据181000亿元用科学记数法可表示为1.811013元【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：181000亿=18 1000 0000 0000=1.811013，故答案为：1.811013【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值13（3分）如果一张矩形纸的长：宽=：1，则称这样的纸为标准纸如图，A0是一张长为a的标准纸，将A0对折可得标准纸A1，依次对折下去，得到的纸都是标准纸，对折n次后新得标准纸An的长为（用含a的代数式表示）【分析】根据有理数的乘方和算术平方根解答即可【解答】解：对折n次后新得标准纸An的长为，故答案为：【点评】此题考查算术平方根问题，关键是根据有理数的乘方和算术平方根解答14（3分）某苗圃计划培育甲，乙两种树苗共2000棵，据统计这两种树苗的成活率分别为94%和99%，要使这批树苗的成活率不低于96%，求培育甲种树苗至多多少棵？设培育甲种树苗x棵，根据题意列出的不等式是94%x+99%（2000x）96%2000【分析】设培育甲种树苗x棵，根据题意得不等关系：甲树的成活数+乙树的成活数96%2000，根据不等关系列出不等式即可【解答】解：设培育甲种树苗x棵，根据题意得：94%x+99%（2000x）96%2000，故答案为：94%x+99%（2000x）96%2000【点评】此题主要考查了由实际问题列出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式15（3分）如图，在RtABC中，AB=AC=4，BAC=90，点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接CF并延长交BD于点G，则线段CG的长等于【分析】延长AF交BC于M，AB交CG于O只要证明CMFCGB，可得=，只要求出CM、CF、BC即可解决问题【解答】解：延长AF交BC于M，AB交CG于OAB=AC=4，CAB=90，BC=4，AE=EB=2，四边形AFED是正方形，AF=EF=，EAF=EAD=45，MAB=MAC=45，CM=BM=AM=2，FM=AMAF=，在RtCMF中，CF=，AC=AB，CAF=BAD=45，AF=AD，CAFBAD，ACF=ABD，AOC=BOG，CAO=BGO=90，MCF=BCG，CMF=CGB=90，CMFCGB，=，=，CG=故答案为【点评】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共8小题，共75分）16（10分）（1）计算：（）0（）1|1|；（2）先化简，再求值：（x24）（x+1）（x2）2，其中x=2【分析】（1）根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案（2）根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（1）原式=1+22（1）=1+22+2=3（2）当x=2时，原式=（x2）（x+2）（x+1）（x2）2=（x2）（x+2）（x+1）（x2）=（x2）（x2+2x）=0【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型17（7分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=50m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到1m，参考数据：1.414，1.732）【分析】作DFAB于F，根据直角三角形的性质求出AF，根据正切的概念求出CE，计算即可【解答】解：作DFAB于F，则BF=DE=10，AF=ABBF=40，ADF=45，DF=AF=40，BE=DF=40，在RtCDE中，CE=1017.3，BC=BECE=22.723，答：障碍物B，C两点间的距离约为23m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键18（9分）为进一步丰富学生课余文化生活和营造朝气蓬勃的校园文化氛围，学校组织学生开展了各种文体活动、社团活动，现在开展的社团活动有音乐，体育，美术，摄影四类，每个同学必须且只能从中选择参加一个社团，为了解学生参与社团活动的情况，学生会成员随机调查了一部分学生所参加的社团类别并绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了500名同学；（2）补全统计图，在扇形统计图中，“美术”所在扇形的圆心角的度数为90；（3）小明和小亮都想报美术，摄影，体育社团，用画书树状图或列表的方法，求他们恰好参加同一社团的概率【分析】（1）根据音乐的人数和所占的百分比即可得出总人数；（2）用总数乘以体育所占的百分比求出参加体育的人数，再用总人数减去其他社团的人数，求出参加美术的人数，从而求出参加美术所占的百分比和圆心角的度数，即可补全统计图；（3）根据题意先画出树状图，得出参加社团的所有等可能的情况数和小明和小亮参加同一社团的情况数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）本次一共调查的学生有：15030%=500（人）；故答案为：500；（2）体育人数有：50035%=175（人），美术有：50015017550=125（人），美术所占的百分比是：100%=25%；“美术”所在扇形的圆心角的度数是：360=90；补图如下：故答案为：90；（3）根据题意画图如下：由此可知，小明和小亮他俩参加的社团共有9种等可能的情况，其中恰好参加同一社团的有3种情况，则他们恰好参加同一社团的概率是=【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比19（7分）（1）如图（1），在RtABC中，ACB=90，B=60，在图中作出ACB的三等分线CD，CE（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）由（1）知，我们可以用尺规作图作出直角的三等分线，但是仅仅使用尺规却不能把任意一个角分成三等分，为此，人们发明了许多等分角的机械器具，如图（2）是用三张硬纸片自制的一个最简单的三分角器，与半圆O相接的AB带的长度与半圆的半径相等；BD带的长度任意，它的一边与直线AC形成一个直角，且与半圆相切于点B，假设需要将KSM三等分，如图（3），首先将角的顶点S置于BD上，角的一边SK经过点A，另一边SM与半圆相切，连接SO，则SB，SO为KSM的三等分线，请你证明【分析】（1）如图射线CD、CE为所求是三等分线；（2）如图，设SM与半圆O相切于点N，连接ON则ONS=90，只要证明SBASBO，SOBSON，即可解决问题；【解答】解：（1）如图射线CD、CE为所求是三等分线（2）如图，设SM与半圆O相切于点N，连接ON则ONS=90，DBAC，DB与半圆相切于点BM，ABS=OBS=90，BA=BOSB=SB，SBASBO，ASB=BSO，SO=SOOB=ON，SBO=SNO，SBOSNO，BSO=OSN，ASB=BSO=OSC，SB，SO为KSM的三等分线【点评】本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是少林足球五种基本作图，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题20（7分）如图（1），在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x1与y轴相交于点A，与反比例函数y=（x0）的图象相交于点B（m，2）（1）求反比例函数的表达式；（2）若将直线y=2x1向上平移4个单位长度后与y轴交于点C，求ABC的面积；（3）如图（2），将直线y=2x1向上平移，与反比例函数的图象交于点D，连接DA，DB，若ABD的面积为3，求平移后直线的表达式【分析】（1）先根据直线y=2x1经过点B（m，2），求得B（1.5，2），再根据反比例函数y=（x0）的图象经过点B，即可得到k的值；（2）过B作BHy轴于H，根据AC=4，BH=1.5，即可得到ABC的面积；（3）设直线y=2x1向上平移后与y轴交于点E，连接BE，过B作BMy轴于M，则BM=1.5，根据DEAB，可得SABE=SABD=3，进而得到AE=4，再根据OA=1，可得OE=3，即可得出平移后直线的表达式为y=2x+3【解答】解：（1）直线y=2x1经过点B（m，2），2=2m1，解得m=1.5，B（1.5，2），反比例函数y=（x0）的图象经过点B，k=1.52=3，反比例函数的表达式为y=；（2）如图1，过B作BHy轴于H，由平移可得，AC=4，又B（1.5，2），BH=1.5，ABC的面积=41.5=3，即ABC的面积为3；（3）如图2，设直线y=2x1向上平移后与y轴交于点E，连接BE，过B作BMy轴于M，则BM=1.5，DEAB，ABD的面积为3，SABE=SABD=3，AEBM=3，即AE1.5=3，解得AE=4，直线y=2x1与y轴相交于点A（0，1），OA=1，OE=3，平移后直线的表达式为y=2x+3【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及三角形面积计算问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足反比例函数与一次函数的解析式21（9分）某服装店专营一批进价为每件200元的品牌衬衫，每件售价为300元，每天可售出40件，若每件降价10元，则每天多售出10件，请根据以上信息解答下列问题：（1）为了使销售该品牌衬衫每天获利4500元，并且让利于顾客，每件售价应为多少元；（2）该服装店将该品牌的衬衫销售完，在补货时厂家只剩100件库存，经协商每件降价a元，全部拿回按（1）中的价格售出80件后，剩余的按八折销售，售完这100件衬衫获利50%，求a的值【分析】（1）表示出每件商品的利润和销量进而得出等式求出答案；（2）分别表示出100件商品的利润进而得出等式求出答案【解答】解：（1）设该品牌衬衫每件售价为x元，根据题意可得：（x200）（40+10）=4500，解得：x1=250，x2=290，因为要让利于顾客，所以应采取降价销售且降得越多越好，故x=250，答：该品牌衬衫每件售价为250元；（2）根据题意可得：25080+25080%（10080）=（200a）100（1+50%），解得：a=40，答：a的值为40【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出商品总利润是解题关键22（13分）综合与实践问题情境如图，同学们用矩形纸片ABCD开展数学探究活动，其中AD=8，CD=6操作计算（1）如图（1），分别沿BE，DF剪去RtABE和RtCDF两张纸片，如果剩余的纸片BEDF是菱形，求AE的长；操作探究把矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到ABC和CDA两张纸片（2）将两张纸片如图（2）摆放，点C和点C重合，点B，C，D在同一条直线上，连接AA，记AA的中点为M，连接BM，MD，发现BMD是等腰直角三角形，请证明；（3）如图（3），将两张纸片叠合在一起，然后将ADC纸片绕点B顺时针旋转（090），连接AC和AC，探究并直接写出线段AC与AC的关系【分析】（1）由矩形的性质得出AB=CD=6，A=90，由菱形的性质得出BE=DE=ADAE=8AE，在RtABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）连接MC，证出ACA是等腰直角三角形，得出CAA=45，由直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出AM=CM=AM，MCA=45，CMAA，证出BCM=DAM，由SAS证明BCMDAM，得出BM=DM，BMC=DMA，由角的雇佣关系证出BMD=90，即可得出结论；（3）延长AC、AC交于点M，由旋转的性质得：BC=BA，BA=BC，ABC=ABC，BAC=BCA，证出BAC=BCA=BCA=BAC，由四边形内角和定理得出ABC+M=180，证出M=90，得出ACAC，证明ABCCBA，得出对应边成比例=，即可得出AC=AC【解答】（1）解：四边形ABCD是矩形，AD=8，CD=6，AB=CD=6，A=90，四边形BEDF是菱形，BE=DE=ADAE=8AE，在RtABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，即62+AE2=（8AE）2，解得：AE=；（2）证明：连接MC，如图2所示：根据题意得：ABCCDA，CDA=90，AC=AC，BCA=CAD，CAD+ACD=90，BCA+ACD=90，点B，C，D在同一条直线上，ACA=90，ACA是等腰直角三角形，CAA=45，M是AA的中点，AM=CM=AM，MCA=45，CMAA，BCA=CAD，BCA+MCA=CAD+CAA，BCM=DAM，在BCM和DAM中，BCMDAM（SAS），BM=DM，BMC=DMA，CMD+DMA=90，CMD+BMC=90，BMD=90，BMD是等腰直角三角形；（3）解：AC