阶跃响应冲击响应与卷积积分法.doc

补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包含有电容和电感等动态元件，这样的电路称为动态电路。在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称为时域分析法。本章主要讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，以及二阶电路在恒定输入下的零状态响应。 1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变动的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。本节就来讨论这两种函数的定义、性质及作用于线性动态电路时所引起的响应。单位阶跃函数（unit step function）用来表示，它定义为 波形如图1-1（a）所示，在处，由0跃变至1。如果单位阶跃函数的跃变点不是在处，而是在处，波形如图1-1（b）所示，则称它为延迟的单位阶跃函数，用表示，即 图1-1单位阶跃函数与任一常量的乘积仍是一个阶跃函数，此时阶跃的幅度为。单位阶跃函数与任一函数的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变为零，即有 因此，单位阶跃函数可以用来“起始”一个任意函数，这给函数的表示带来了方便。例如对于线性函数为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)可以清楚地看出、及的不同。图1-2应该指出，函数 与是不同的。前者相当于把向后延迟了时间波形如图1-2(d)所示，而后者只是在以后才有值。要注意它们的差别。在电路分析中，可以利用单位阶跃函数来表示某些输入波形。例如对图1-3(a)中的波形，可以看做是图(b)中两个单位阶跃函数的波形合成的结果，从而有 图1-3同理，可将图1-4(a)和(b)中的波形分别表示成 图1-4单位阶跃函数还可以用来“模拟”电路中的开关动作。例如图1-5(a)中电路的输入为，其含义与图1-5(b)中的开关动作是一样的，即时RC电路被短接，输入为零；时RC电路被接到电压源上。与此类似，图1-6(a)中电路的输入为，其含义与图1-6(b)中的换路也是一样的，即在时RL电路与电流源没有接通，输入为零；而在时，RL电路才被接到电流源上。 图1-5 图1-6当电路的输入为（单位）阶跃函数时，相应的响应称为（单位）阶跃响应。应该指出的是，如果电路仅有阶跃输入，则因为换路前输入为零，故其初状态必为零。因此电路的（单位）阶跃响应是在（单位）阶跃输入作用下的零状态响应。例1-1 求单位阶跃电流源作用于RC并联电路时的响应（电路如图1-7所示）。图1-7解 时由于输入为零，故时换路，换路后1A电流源作用于电路，可用三要素法分析如下故 考虑到时，故所求响应亦可写作 而不必再另行标注时间域了。如将上例中的输入改为延迟的单位阶跃函数，则响应也应延迟，变为 若把上例中的输入改为，则根据零状态响应的线性性质，其响应将变为 综上所述，如果把某电路对单位阶跃输入的响应记做，则该电路对延迟时刻的单位阶跃输入的响应为，而对输入为的响应为。例1-2 求单位阶跃电压源作用于RC串联电路时的响应（电路如图1-8所示）。图1-8解 时，输入为零，后，1V电压源作用于电路，所求响应的三要素分别为 故 例1-3 图1-9(a)所示电路中输入的波形如图1-9(b)所示。求。图1-9解 由例1-2知，所求电容电压的单位阶跃响应为 今输入可用单位阶跃函数表示为 根据线性电路的叠加性质和零状态响应的线性性质，可由直接写出此时所求的响应为 该例也可看做二次换路问题，如图1-9(c)所示，可用三要素法分时间段求得结果如下 两种解法所得结果表面看起来似不一致，但实际上是一样的：在时，前一种结果中的第二项为零，故两结果相同；在时，前一种结果中的两项均不为零，经变换与后一种结果仍然是相同的，即 下面介绍单位冲激函数（unit impulse function）。在引出单位冲激函数之前，先介绍一个矩形脉冲函数（pulse function），其定义如下 由定义可得的波形如图1-10所示，它表示一个宽度为，高度为的矩形脉冲。由于这一脉冲所围的面积称做脉冲的强度为1，故又称为单位脉冲函数（unit pulse function）。单位脉冲函数的特点是，脉冲宽度越小，脉冲高度越大，但脉冲所围面积即脉冲强度始终为1，保持不变，如图1-10中所示。当时，将会得到一个宽度为零、高度无限而面积为1的特殊脉冲，我们称此特殊脉冲为单位冲激，记做，即 图1-10根据以上的介绍，我们可以给单位冲激函数正式定义如下 因为在时，而当时，所以单位冲激函数不是普通意义下的函数，而是一种奇异函数（singular function），其图形表示如图1-11(a)所示。箭头旁注明1表示其强度为1。如果单位冲激函数不是在时出现，而是在时出现，则称之为延迟的单位冲激函数，记做，其图形表示如图1-11(b)。如果冲激函数的强度不是1而是K，则用或表示，其图形表示如图1-11(c)。 图1-11因为时，所以对于在处连续的任意函数，将有 并有 同理，对于在处连续的任意函数，将有 并有 以上说明，单位冲激函数有把一个函数在某一瞬间的值“筛选”或“抽取”出来的本领，称单位冲激函数的这一性质为“筛分”性质或“取样”性质。由的定义式可知 即 （1-1）可见，单位阶跃函数是单位冲激函数的积分。反过来，单位冲激函数就是单位阶跃函数的导数，即 （1-2）当然，从传统的数学观点来看，严格地说，冲激函数的定义及阶跃函数的求导都是值得怀疑的。但在实际中，这两种函数及其相互关系却是十分有用的。在工程实际中，既不存在绝对的冲激，也不存在绝对的阶跃，它们都是被理想化、抽象化的结果。事实上，我们可以把一种上升速率极快的波形近似看做阶跃；对这种波形求导的结果将会得到一个宽度极为窄小而幅度极大的脉冲，该脉冲便可近似看做冲激。当电路的输入为（单位）冲激函数时，相应的响应称为（单位）冲激响应。下面就以RC并联电路接于单位冲激电流源为例（电路如图1-12所示）讨论其响应。图1-12由于冲激函数是一种特殊函数，它的值在时处处为零，且有 因此以冲激函数作为输入可把电路的激励情况分为以下三个阶段：时，由于，电路相当于零输入，故必有；时，也就是在到区间，此时电路受到激励，从而使储能元件电容在这一瞬间获得了能量，即的值已不为零；时，又有，电路仍相当于零输入，此时电容电压应为 以上的分析说明，电路对单位冲激函数的零状态响应实际上包含两个过程，即由在瞬间给电路建立起一个非零的初始状态及由该初始状态在时引起的零输入响应。不难发现，这里的关键问题是的确定。显然，由于冲激电流源的存在，已不能保证在瞬间电容电流为有限值，因而=即电容电压在瞬间不发生跃变的结论在此已不适用，必须另外寻求确定的方法。对我们所考虑的电路，由KCL，有 由于只在到区间不为零，所以我们对上式两边由到取积分，得 式中左边第二项只有在为冲激函数时才不为零；但如果为冲激函数，将为冲激函数的一阶导数，如此就不能满足KCL，即上述KCL方程将不能成立。所以为冲激函数是不可能的，只能是有限值。于是该项积分应为零。从而可得 故 这一结果说明，在单位冲激电流源的作用下，电容电压在瞬间发生了跃变，由跃变为。求得之后，便可得到电路的单位冲激响应为 考虑到时，所以该单位冲激响应可以写作 由此可进一步求得电容电流 图1-13画出了和的变化曲线。其中电容电流在时为一单位冲激电流，正是该电流使电容在一瞬间获得一库仑的电量，从而使电容电压在此一瞬间由零跃变至。时，由于电流源的电流，电源支路相当于开路，电容通过电阻放电，故为负值；电容电压则由1/C逐渐衰减，最终趋向于零。图1-13现在，让我们回过头来仔细考察RC并联电路分别接于单位冲激电流源和单位阶跃电流源（例1-1）两种情况下的响应。为了便于区别，把单位阶跃响应用表示，单位冲激响应用表示，即 则有 即有 （1-3）这一结果告诉我们：一个电路的单位冲激响应是其单位阶跃响应对时间的导数。反过来，单位阶跃响应便是其单位冲激响应对时间的积分，即 （1-4）上述结论即式（1-3）和式（1-4）的关系虽然是由一个具体问题得出的，但对线性电路却是普遍成立的。这是因为对于一个线性电路来说，描述其性状的电路方程是线性、常系数的微分方程，当不同的激励函数之间存在某种关系时，方程的解即它们所对应的响应之间也必存在同样的关系。这里，由于激励和之间有如下关系 故它们所对应的响应之间必存在同样的关系，即 有了以上关系，当我们要求某一电路的单位冲激响应时，也可以先求出同一电路的单位阶跃响应，然后将其对时间求导，便可得到所求的单位冲激响应。例1-4 求RL串联接于单位冲激电压源时（电路如图1-14所示）的响应。图1-14 解 方法一时，由于；时，由KVL，有 将该式两边由到取积分，得 由于为有限值（如果为冲激函数，则违反KVL），上式左边第一项的结果为零，从而有 故 时，由于，电路相当于零输入，故 考虑到时=0，故所求响应为 方法二 先求的单位阶跃响应。当输入为单位阶跃函数时，因 故的单位阶跃响应为 再由便可求得其单位冲激响应即我们所要求的电感电流为 实际上，该例电路是图1-12电路的对偶电路，此处与图1-12电路中的为对偶元素，故也可根据对偶原理由图1-12电路中的直接写出结果。 1-2 卷积积分上节分别讨论了一阶电路的阶跃响应和冲激响应。本节将根据叠加定理，由单位冲激响应导出一阶线性电路对任意输入的零状态响应。设图1-15所示的曲线函数为电路的任意输入。我们可以用在时间轴上相继位移的阶梯波来逼近越小就越逼近。现在我们用一系列宽度为的矩形脉冲来描述这一阶梯波，如图1-15所示。当趋向于零时，每个矩形脉冲均趋向于强度等于其面积（高度乘以）的冲激函数。例如对于处的特定脉冲（图中阴影区域），其高度为，当时，该脉冲最终趋近为冲激函数 图1-15如果电路对一个在时出现的单位冲激函数的响应为，则对一个在时出现的强度为的冲激函数的响应就是。根据线性电路的叠加原理，电路在某时刻对任意输入的响应就是对以前所有冲激函数的响应之和，即 或 （1-5）式（1-5）说明，线性电路对任意输入的零状态响应是它的单位冲激响应与输入函数的卷积（这一结论有时被称为波尔定理）。因此，只要我们知道了电路的单位冲激响应，就可以利用这一卷积积分求得电路对任意输入的零状态响应。这里输入函数可能是电压源的电压，也可能是电流源的电流。注意式（1-5）中的积分变量是而不是，积分过程中应被视为常量。例1-5 在图1-16所示的电路中，已知时开关闭合。求时的电路电流。图1-16解 由例1-4知，电路电流的单位冲激响应为 输入函数为 将它们代入式（1-5），可得所求响应 应该再次指出，用卷积积分（1-5）求得的是电路对任意输入的零状态响应。如果电路的初始状态不为零，则电路最终的响应还应加上由初始状态引起的零输入响应。例1-6 在图1-17电路中，已知；开关原来接在的恒压源上且电路是稳定的，时改接到的电压源上。求时流经电阻的电流。图1-17解 设电容电压方向如图，因所求响应，所以只要求出即可求出。下面就来求。换路前 换路后 从而得出电容电压的零输入响应为 电容电压的零状态响应可用卷积积分求得如下：电容电压的单位阶跃响应为 其单位冲激响应为 输入函数 由式（1-5）可求得电容电压的零状态响应为 电容电压的全响应为 于是，所求电流 卷积积分是分析线性动态电路零状态响应的常用方法。它不仅对可用解析函数表示的输入能够计算，而且对不能用解析函数表示的输入也可以通过图形或数值进行计算。有关这方面的知识因篇