《理论力学动静法》PPT课件.ppt

第十四章动静法 2 本章介绍动力学的一个重要原理 达朗伯原理 应用这一原理 就将动力学问题从形式上转化为静力学问题 从而根据关于平衡的理论来求解 这种解答动力学问题的方法 因而也称动静法 动力学 14 1质点的动静法 14 2质点系的动静法 14 3刚体惯性力系的简化 14 4刚体定轴转动时轴承动反力的概念达朗伯原理的应用 第十四章动静法 4 14 1质点的动静法 动力学 力是由于小车具有惯性 力图保持原来的运动状态 对于施力物体 人手 产生的反抗力 称为小车的惯性力 一 惯性力的概念 人用手推车 人给小车一个力 而反过来小车也给人手一个力 由牛顿第三定律 作用力与反作用力定律 由牛顿第二定律 所以 5 动力学 注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力 它是质点对施力体反作用力的合力 6 动力学 非自由质点M 质量m 受主动力 约束反力 合力 质点的动静法 二 质点的动静法 7 动力学 即 质点在任意瞬时 除作用的主动力和约束反力外 如再假想地加上惯性力 则这些力在形式上将组成一平衡力系 8 动力学 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡 并没有改变动力学问题的实质 采用动静法解决动力学问题的最大优点 可以利用静力学提供的解题方法 给动力学问题一种统一的解题格式 9 动力学 例1 列车在水平轨道上行驶 车厢内悬挂一单摆 当车厢向右作匀加速运动时 单摆左偏角度 相对于车厢静止 求车厢的加速度 10 动力学 选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力 角随着加速度的变化而变化 当不变时 角也不变 只要测出 角 就能知道列车的加速度 这就是摆式加速计的原理 解 由动静法 有 解得 11 动力学 14 2质点系的动静法 对整个质点系 主动力系 约束反力系 惯性力系形式上构成平衡力系 这就是质点系的动静法 可用方程表示为 设有一质点系由n个质点组成 对每一个质点 有 12 动力学 注意到 将质点系受力按内力 外力划分 则 表明 对整个质点系来说 动静法给出的平衡方程 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡 而与内力无关 13 动力学 对平面任意力系 对于空间任意力系 实际应用时 同静力学一样任意选取研究对象 列平衡方程求解 用动静法求解动力学问题时 14 动力学 14 3刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论 将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶 无论刚体作什么运动 惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积 方向与质心加速度方向相反 15 动力学 一 刚体作平动 向质心C简化 刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力 翻页请看动画 16 动力学 17 动力学 空间惯性力系 平面惯性力系 质量对称面 O为转轴z与质量对称平面的交点 向O点简化 二 定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况 O 直线i 平动 过Mi点 18 动力学 主矩 主矢 19 动力学 作用在C点 作用在O点 20 动力学 讨论 刚体作匀速转动 转轴不通过质点C 21 动力学 讨论 转轴过质点C 但 0 惯性力偶 与 反向 22 动力学 讨论 23 动力学 假设刚体具有质量对称平面 并且平行于该平面作平面运动 此时 刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系 刚体平面运动可分解为随基点 质点C 的平动 绕通过质心轴的转动 作用于质心 三 刚体作平面运动 24 动力学 25 动力学 对于平面运动刚体 由动静法可列出如下三个方程 实质上 26 动力学 例1 均质杆长l 质量m 与水平面铰接 杆由与平面成 0角位置静止落下 求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力 选杆AB为研究对象虚加惯性力系 解 根据动静法 有 27 动力学 28 动力学 用动量矩定理 质心运动定理再求解此题 解 选AB为研究对象 由质心运动定理 29 动力学 例2 牵引车的主动轮质量为m 半径为R 沿水平直线轨道滚动 设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩M 车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为 轮与轨道间摩擦系数为f 试求在车轮滚动而不滑动的条件下 驱动力偶矩M之最大值 取轮为研究对象虚加惯性力系 解 O 30 动力学 由 1 得 O 由动静法 得 31 动力学 由 2 得N P S 要保证车轮不滑动 必须F fN f P S 5 可见 f越大越不易滑动 Mmax的值为上式右端的值 把 5 代入 4 得 O 32 动力学 14 4刚体定轴转动时轴承动反力的概念 一 刚体的轴承动反力刚体的角速度 角加速度 逆时针 主动力系向O点简化 主矢 主矩惯性力系向O点简化 主矢 主矩 33 动力学 34 动力学 根据动静法 其中有五个式子与约束反力有关 设AB l OA l1 OB l2可得 35 动力学 由两部分组成 一部分由主动力引起的 不能消除 称为静反力 一部分是由于惯性力系的不平衡引起的 称为附加动反力 它可以通过调整加以消除 使附加动反力为零 须有 36 动力学 当刚体转轴为中心惯性主轴时 轴承的附加动反力为零 37 动力学 静平衡 刚体转轴过质心 则刚体在仅受重力而不受其它主动力时 不论位置如何 总能平衡 动平衡 转动为中心惯性主轴时 转动时不产生附加动反力 二 静平衡与动平衡的概念 38 动力学 例1 质量不计的刚性轴以角速度 匀速转动 其上固结着两个质量均为m的小球A和B 指出在图示各种情况下 哪些是静平衡的 哪些是动平衡的 静平衡 b d 动平衡 a 39 动力学 动平衡的刚体 一定是静平衡的 反过来 静平衡的刚体 不一定是动平衡的 40 动力学 根据达朗伯原理 以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法 称为动静法 应用动静法既可求运动 例如加速度 角加速度 也可以求力 并且多用于已知运动 求质点系运动时的动约束反力 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利 例如 矩心可以任意选取 二矩式 三矩式等等 因此当问题中有多个约束反力时 应用动静法求解它们时就方便得多 达朗伯原理的应用 41 动力学 选取研究对象 原则与静力学相同 受力分析 画出全部主动力和外约束反力 运动分析 主要是刚体质心加速度 刚体角加速度 标出方向 应用动静法求动力学问题的步骤及要点 虚加惯性力 在受力图上画上惯性力和惯性力偶 一定要在正确进行运动分析的基础上 熟记刚体惯性力系的简化结果 42 动力学 列动静方程 选取适当的矩心和投影轴 建立补充方程 运动学补充方程 运动量之间的关系 求解求知量 注 的方向及转向已在受力图中标出 建立方程时 只需按代入即可 43 动力学 例1 质量为m1和m2的两重物 分别挂在两条绳子上 绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上 已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I 系统在重力作用下发生运动 求鼓轮的角加速度 取系统为研究对象 解 方法1用达朗伯原理求解 44 动力学 虚加惯性力和惯性力偶 由动静法 列补充方程 代入上式得 45 动力学 方法2用动量矩定理求解 根据动量矩定理 取系统为研究对象 46 动力学 取系统为研究对象 任一瞬时系统的 方法3用动能定理求解 47 动力学 两边除以dt 并求导数 得 48 动力学 例2 在图示机构中 沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体 各重为P和Q 半径均为R 绳子不可伸长 其质量不计 斜面倾角 如在鼓轮上作用一常力偶矩M 试求 1 鼓轮的角加速度 2 绳子的拉力 3 轴承O处的支反力 4 圆柱体与斜面间的摩擦力 不计滚动摩擦 49 动力学 解 方法1用达朗伯原理求解取轮O为研究对象 虚加惯性力偶 列出动静方程 取轮A为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶MQC如图示 50 动力学 列出动静方程 运动学关系 将MQ RQ MQA及运动学关系代入到 1 和 4 式并联立求解得 51 动力学 代入 2 3 5 式 得 52 动力学 方法2用动力学普遍定理求解 1 用动能定理求鼓轮角加速度 取系统为研究对象 53 动力学 两边对t求导数 54 动力学 2 用动量矩定理求绳子拉力 定轴转动微分方程 取轮O为研究对象 由动量矩定理得 55 动力学 3 用质心运动定理求解轴承O处支反力取轮O为研究对象 根据质心运动定理 56 动力学 4 用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体A为研究对象 根据刚体平面运动微分方程 方法3 用动能定理求鼓轮的角加速度用达朗伯原理求约束反力 绳子拉力 轴承O处反力和及摩擦力 57 动力学 例3 均质圆柱体重为P 半径为R 无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动 平板对水平线的倾角为 试求OA S时平板在O点的约束反力 板的重力略去不计 解 1 用动能定理求速度 加速度圆柱体作平面运动 在初始位置时 处于静止状态 故T1 0 在末位置时 设角速度为 则vC R 动能为 P 58 动力学 主动力的功 由动能定理得 对t求导数 则 2 用达朗伯原理求约束反力 取系统为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶MQC P 59 动力学 列出动静方程 60 动力学 例4 绕线轮重P 半径为R及r 对质心O转动惯量为IO 在与水平成 角的常力T作用下纯滚动 不计滚阻 求 1 轮心的加速度 2 分析纯滚动的条件 解 用达朗伯原理求解绕线轮作平面运动 纯滚动 由达朗伯原理 得 将RQ MQO代入上式 可得 61 动力学 纯滚动的条件 F fN 62 动力学 1 物体系统由质量均为m的两物块A和B组成 放在光滑水平面上 物体A上作用一水平力F