2014年四川省高考数学(四川卷)试题及解答.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合，集合为整数集，则（ ）A B C D【答案】A【解析】，故2在的展开式中，含项的系数为（ ）A B C D【答案】C【解析】含项为3为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度 D向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】因为，故可由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到4若，则一定有（ ）A B C D【答案】D【解析】由，又，由不等式性质知：，所以5执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】当时，函数 的最大值为2.6六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A种 B种 C种 D种【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有种；当最左端为乙时，不同的排法共有种。共有+种7平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）A B C D【答案】D【解析1】，因为，所以，又所以即【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故 8如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是 A B C D【答案】B【解析】连接 、AC，则AC与BD相交 于O，连接 、 则DB且DB， DB平面AC ，在平面AC内过作N，则DBN N平面 的起始位置为 （当P与重合时），终止位置为 （当OPO 时）或的起始位置为 （当P与重合时），终止位置为 （当OPO 时）， 直线与平面所成的角的取值范围为。设正方体的边长为1，则= = ，= =， 所以的取值范围是9已知，。现有下列命题：；。其中的所有正确命题的序号是A B C D 【答案】B【解析】故正确当时，令（）因为，所以在单增，即，又与为奇函数，所以成立故正确10已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A B C D【答案】B【解析】方法1：设直线AB的方程为：，点，又，直线AB与轴的交点（不妨假设）由，所以又因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故于是当且仅当时取“” ，所以与面积之和的最小值是方法2：根据题意得： 设 ，B 则 ， ， 或， A，B位于x轴两侧，所以两面积之和为 = 二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11复数 。【答案】【解析】12设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 。【答案】【解析】13如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：，）【答案】【解析】在RtABD中，C=30o,AD=46, ，在ABC中，B=67o,A=37o，由正弦定理得：14设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 。【答案】【解析】方法1： 对，点（0，0）都适合方程，所以定点A的坐标为，由得 对 直线都经过（1，3），所以定点B点的坐标为，因为，所以APB是Rt，所以 故（当且仅当时取“”）方法2： 对，点（0，0）都适合方程，所以A的坐标为，由得 对 直线都经过（1，3），所以B点的坐标为。设，则 ，所以点P在以AB为直径的圆上，PAPB ， 15以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，。现有如下命题：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；函数的充要条件是有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则；若函数（，）有最大值，则。其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号）【答案】只是的充分条件，并非必要条件，如（） ，但在（-2，2）同无最大小值。证明从略。三解答题：本大题共6小题，16、17、18、19每题12分，20题词3分，21题14分；共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16已知函数。（1）求的单调递增区间；（2）若是第二象限角，求的值。解：（1）由 所以的单调递增区间为（）（2） 又 因为所以 又是第二象限角，所以或由（）所以= 由 所以综上，或17一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。解：（1）可能取值有，10，20，100，故分布列为1020100P（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是，则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。18三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值。解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：，设为的中点，连接，于是， 所以平面因为，分别为线段，的中点，所以，又，故设BO的中点为H，连接NH，则NHAO BDNH， BD平面NHP， BDHP， HPCO，在BOC中 BH=HO， BP=PC 为线段的中点；（2）解法一、在ABC中作NQAC于Q，则QNM为二面角的平面角。设R为AC边的中点， AB=BC BRAC。 AN=NB，BP=PC， NPAC， BRNP，NQBR。 AQ=QR， NQ=MQ= 由俯视图知平面ABD平面BCD，AOBD，COBD， AOC= 。 AC= BR= NQ=MQ= NM= 解法二、以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系，则，于是，设平面和平面的法向量分别为和由，设，则由，设，则所以二面角的余弦值19设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。解：（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为所以 因为点在函数的图象上，所以，所以又，所以（2）由函数的图象在点处的切线方程为化为截距式 所以切线在轴上的截距为，从而，故从而， 得 （1）-（2）得故20已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标。解：（1）依条件所以椭圆C的标准方程为（2）设，又设中点为（i）因为，所以直线的斜率为 直线 的斜率为直线PQ的方程为 所以于是， 在直线PQ 上 。 ，三点共线即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）（ii）， = 所以，令（）则（当且仅当 即时取“”） 所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或21已知函数，其中，为自然对数的底数。（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围分析：（1） 时， ，函数在区间上取最小值有如下三种可能在，在区间上单调递增，在左端点处取得最小值；， 在取得最小值；， 在区间上单调递减， 在右端点处取得最小值；故解决问题（1）时需分三种情况讨论。（2）因为函数在区间内有零点，所以 且对 当 有 如图：所以当函数在区间内有零点的充分必要条件是：函数在区间内至少有三个单调区间。解：（1）因为 所以 又， 令 得 因为， 若，即时，所以函数在区间上单增，若，即，在左侧，时， ，在右侧， ， 即 ，所以函数在区间上单减，在区间上单增，若，即， ， 所以函数在区间上单减，综上