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导数题型总结第一篇:导数常考题型总结 变化率与导数、导数的运算 考纲要求 1.导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义 2导数的运算 (1)能根据导数的定义求函数yC，yx，yx2，yx3，y ，y 的导数 (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如f(axb)的导数 (3)会使用导数公式表 1平均变化率 ff(x2)f(x1)函数f(x)从x1到x2xx2x1 2导数的概念 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 lim x0f(x0x)f(x0)flim yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)xxx0 或y|xx0即f(x0) lim x0f(x0x)f(x0)x 3导数的几何意义 函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即k lim x0f(x0x)f(x0)f(x0) x 4导函数(导数) 当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)ylim x0f(xx)f(x)x 5几种常见函数的导数 (1)c0(c为常数)，(xn)nxn1(nZ) (2)(sinx)cosx，(cosx)sinx 11(3)(lnx)(logax)ae xx (4)(ex)ex，(ax)axlna 6函数的和、差、积、商的导数 (uv)uv，(uv)uvuv uuvuv(cu)cu(c为常数) vv7复合函数的导数 1f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值等于( )导数题型总结 A.19161310 B.C. D.3333 10解析：f(x)3ax26x，f(1)3a64，a3 2设正弦函数ysinx在x0和x附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关2 系为( ) Ak1k2 Bk1k2 Ck1k2 D不确定 解析：ysinx，y(sinx)cosx， k1cos01，k2cos0，k1k2. 2 3函数yxcosxsinx的导数为( ) Axsinx Bxsinx Cxcosx Dxcosx 解析：y(xcosx)(sinx)xcosxx(cosx)cosxcosxxsinxcosxxsinx. 答案：B 4已知一个物体的运动方程是s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物 体在3秒末的瞬间速度是_ 解析：s12t，s|t3165. 答案：5米/秒 5设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2008(x)_. 解析：f1(x)cosx，f2(x)sinx，f3(x)cosx，f4(x)sinx fn(x)是以4为周期的周期函数，2008被4整除，f2008(x)f0(x)sinx 答案：sinx 热点之一 利用导数的定义求函数的导数导数题型总结 根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法： (1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)； yf(x0x)f(x0)(2)； xx (3)得导数f(x0)lim x0y简记作：一差、二比、三极限 x 例1 用定义法求下列函数的导数 4(1)yx2；(2)yxyf(xx)f(x)课堂记录 (1)因为 xx (xx)2x2x22xxx2x22xx， xx 所以ylim x0ylim (2xx)2x. xx0 (2)y4x(2xx)44， (xx)xx(xx)2xxy， xx(xx)lim x02xxy8lim . xx(xx)xx0 即时训练 用导数的定义求函数y 1 x 1x 1xx11x(1x1x 1在x1处的导数 解：yf(1x)f(1)1 ， (11x1x y1. x(1x)x y1. x2f(1)lim x0 热点之二 导数的计算 求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数，在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式进行求导；对于不具备直接求导的结构形式要适当变形 例2 求下列函数的导数： (1)yxsinx；(2)y3e2e； (3)ylnx3；(4)ysin2x. x12xxx 课堂记录 直接利用导数公式和导数运算法则求导 (1)y(x)sinxx(sinx)2xsinxxcosx； (2)y(3xex)(2x)(e) (3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2 (ln31)(3e)2ln2； (lnx)(x1)lnx(x1)(3)y(x1)12(x1)lnx2x2x12x2lnxx (x1)x(x1)(4)y3(sin2x)2(sin2x)6sin22xcos2x. 思维拓展 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因，从本例可以看出：深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时才能举一反三，触类旁通，得心应手 即时训练 求下列函数的导数： (1)yxsinx；(2)y 222xx222lnx x1x(3)yx1；(4)ye. 解：(1)y(xsinx)(x)sinxx(sinx)sinxxcosx. 1xlnx(lnx)x(x)lnxlnxx(2)yxxx1lnx. x22(3)函数y1可以看作函数y和ux1的复合函数， yxyuux()(x1) 11x(2x)2u1 (4)函数ye1x可以看作由yeu和u1x复合而成的函数，yx(eu)(ux)e(1x)eu1x2. 热点之三 导数的几何意义 1函数yf(x)在点P(x0，y0)处的导数f(x0)表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率， 导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为yy0f(x0)(xx0) 2利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)； (2)根据直线的点斜式方程得切线方程 yy0f(x0 (xx0) 特别警示：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点 例3 (1)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为_ 14(2)已知曲线y333 求曲线在点P(2,4)处的切线方程； 求曲线过点P(2,4)的切线方程；导数题型总结 求斜率为4的曲线的切线方程 思路探究 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程 课堂记录 (1)由y3x2102可解得x2， 切点P在第二象限内， x2，由此可得点P的坐标为(2,15) 14(2)P(2,4)在曲线y3yx2， 33 在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.第二篇:导数题型归纳总结 导数题型归纳总结 函数f(x)在x0处的导数：f(x0) =limDx0f(x0+Dx)-f(x0)Dy=lim DxDx0Dx 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即k=f(x0) 求切线方程：先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上 注：(x1,y1)要先设切点(x0,f(x0)，用k=f(x0)=y1-f(x0) x1-x0 21、若曲线y=x+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0，则a=b=232、若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x和y=ax+15x-9都相切，则a=4 3、已知y=x-2x，则过原点(0,0)的切线方程是 32 34、已知f(x)=x-3x，过点A(1,m)(m-2)可作y=f(x)的三条切线，则m的范围是 ，-1)的切线方程5、（曲线上一点）求过曲线y=x3-2x上的点(1 注：过曲线上一点的切线，该点未必是切点 6、【2012辽宁】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) - 8 y0单调递增；y03、【2011广东】设,讨论函数 4、【2012辽宁】函数y= A(-1,1导数题型总结 12x-x的单调递减区间为 （ ） 2B(0,1 C1,+) D(0,+) 基础题：1、求f(x)=13x-4x+4在0,3 3 综合题1、设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m (a0) （I）若a=1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求m的范围； （II）若函数f(x)在-1,1内没有极值点，求a的范围； （III）若对任意的a3,6，不等式f(x)1在x-2,2上恒成立，求实数m的取值范围. 2、设函数f(x)=-13x+2ax2-3a2x+b，(0a1,bR) 3 4若当xa+1,a+2时，恒有f(x)a，试确定aa1） 5 323、【2009浙江】已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b (a,bR) （I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围 4、已知函数f(x)=ax- 若在区间- 5、【2011湖北】设函数f，gx，其中xR，a、b()x=x+2ax+bx+a()=x-3x+2 为常数，已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 (I) 求a、b的值，并写出切线l的方程； (II)若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x10. 211,上，f(x)0恒成立，求a的取值范围.（ a的取值范围为0a5） 22 xx恒成立，求实数m的取值范围。 ()+g()x0，求证：e1+x（(ex)=ex） x 2、设函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x-1). （）求f(x)的单调区间；（）证明：当nm0时，(1+n)m(1+m)n 本类问题主要是命题人经常考查的一类如namb（mn），一般两边同时取自然对数，mlnanlnb，再利用函数单调性，可能还需要构造函数 函数图像 1、【2012重庆】设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小 值,则函数y=xf(x)的图象可能是 第三篇:2017考研高等数学六大题型的答题技巧2017年研究生备考正在火热进行中，为了帮助考生们更好、更