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数学归纳法 一 归纳法 由某类事物的一些特殊情况 或其全部可能情况 推出该类事物的一般性结论的推理方法 特点 an a1 n 1 d 如何证明 an a1 n 1 d n N 阅读教材P46 48 二 数学归纳法 1 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 时 命题P n0 成立 2 假设当n k k N k n0 时 命题P k 成立 并由此证明当n k 1时 命题P k 1 也成立 完成这两步 就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 在证明某些与自然数有关的数学命题P n 时 可用下述方法来证明它们的正确性 思考 你能证明上述结论吗 提示 可考虑用 反证法 证明 二 数学归纳法 例1用数学归纳法证明 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的通项公式是an a1 n 1 d 证明 1 当n 1时 a1 a1 1 1 d 命题成立 2 假设n k时命题成立 即ak a1 k 1 d 则当n k 1时 ak 1 ak d a1 k 1 d d a1 k 1 1 d 命题也成立 根据 1 2 可知 公式对任意正整数n都成立 证明 设n k时 命题成立 即k k 1 则当n k 1时 有k 1 k 1 1 命题也成立 故命题对任意n N 都成立 探究1 下述用数学归纳法的证题过程有错误 试找出错在哪儿 并予以更正 1 证明 任意相邻两个自然数都相等 即 n n 1 n N 的过程如下 2 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 n2 n N 的过程如下 探究2 下述用数学归纳法的证题过程有错误 试找出错在哪儿 并予以更正 1 用数学归纳法证题时 要分两个步骤 这两个步骤是一个有机整体 缺一不可 注意 2 步骤 1 归纳奠基 检验P n0 成立 不可或缺 且须确保其真实性 找准no 否则 步骤 2 的 归纳假设 就没有了基础 化为子虚乌有 当完成了步骤 1 后 步骤 2 中的 归纳假设 就有了基础 变得真实可靠 而步骤 2 的完成 则使这种真实性得以传递 这样一来便实现了从有限到无限的跨越 3 在步骤 2 中 归纳假设 即 命题P k 成立 这一条件必须使用 否则 就没有对 承前启后即传递性 进行实质性的证明 从而出现走过场的现象 例2求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 证明 1 当n 1时 左边 1 1 2 右边 21 1 2 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k N 时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 2n 1 则当n k 1时 左边 k 2 k 3 k k k k 1 k k 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 3 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 2k
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