北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 (共35张PPT).ppt

三角形的证明 知识归纳 1 等腰三角形的性质性质 1 等腰三角形的两个底角 性质 2 等腰三角形顶角的 底边上的 底边上的高互相重合 2 等腰三角形的判定 1 定义 有两条边的三角形是等腰三角形 2 等角对等边 有两个角的三角形是等腰三角形 相等 平分线 中线 相等 相等 3 用反证法证明的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 2 从这个假设出发 应用正确的推论方法 得出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 3 由矛盾的结果判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 4 等边三角形的判定 1 有一个角等于60 的三角形是等边三角形 等腰 2 三边相等的三角形叫做等边三角形 3 三个角相等的三角形是等边三角形 4 有两个角等于60 的三角形是等边三角形 5 直角三角形的性质在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的 6 勾股定理及其逆定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 一半 平方 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是三角形 7 线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的上 点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合 直角 相等 垂直平分线 8 三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于 并且这一点到三角形三个顶点的距离 9 角平分线的性质定理及判定定理性质定理 角平分线上的点到这个角两边的距离 判定定理 在一个角的内部 且到角的两边相等的点 在这个角的平分线上 相等 相等 距离 一点 注意 角的平分线是在角的内部的一条射线 所以它的逆定理必须加上 在角的内部 这个条件 10 三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离 相等 考点一线段垂直平分线的性质的应用 考点攻略 例1如图S1 1 在 ABC中 DE垂直平分AC交AB于E A 30 ACB 80 则 BCE 50 解析 根据线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 所以EA EC A ACE 30 又 ACB 80 故 BCE 80 30 50 考点二全等三角形的证明 例2如图S1 2 在 ABC和 DEF中 B E C F在同一直线上 下面有四个条件 请你从中选三个作为题设 余下的一个作为结论 写出一个正确的命题 并加以证明 AB DE AC DF ABC DEF BE CF 解 答案不惟一 命题一 在 ABC和 DEF中 B E C F在同一直线上 AB DE AC DF BE CF 求证 ABC DEF 命题二 在 ABC和 DEF中 B E C F在同一直线上 AB DE ABC DEF BE CF 求证 AC DF 下面证明命题一 已知 如题图 在 ABC和 DEF中 B E C F在同一直线上 AB DE AC DF BE CF 求证 ABC DEF 证明 在 ABC和 DEF中 BE CF BC EF 又 AB DE AC DF ABC DEF SSS ABC DEF 考点三勾股定理的应用 解析 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用 此问题看上去是一个曲面上的路线问题 但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题 值得注意的是 在剪开圆柱侧面时 要从A开始并垂直于AB剪开 这样展开的侧面才是个矩形 才能得到直角 再利用勾股定理解决此问题 解 将圆柱的侧面展开 如图S1 4 圆柱的底面周长为2 r 2 4 取其一半 4 2 圆柱的高为2 根据勾股定理 得AC2 22 22 8 所以AC 考点四等腰三角形的判别 例4已知 在 ABC中 A 90 AB AC D为BC的中点 1 如图S1 5 E F分别是AB AC上的点 且BE AF 求证 DEF为等腰直角三角形 2 若E F分别为AB CA延长线上的点 仍有BE AF 其他条件不变 那么 DEF是否仍为等腰直角三角形 证明你的结论 解析 要证明 DEF为等腰三角形 需要证DE DF 连接AD 利用全等可得这一结论 至于在延长线上 可利用同样的方法 图S1 5 解 1 证明 连接AD 如图S1 6 AB AC BAC 90 D为BC的中点 AD BC BD AD B DAC 45 又BE AF BDE ADF SAS ED FD BDE ADF EDF EDA ADF EDA BDE BDA 90 DEF为等腰直角三角形 2 若E F分别是AB CA延长线上的点 如图S1 7所示 连接AD AB AC BAC 90 D为BC的中点 AD BD AD BC DAC ABD 45 DAF DBE 135 又AF BE DAF DBE SAS 图S1 7 FD ED FDA EDB EDF EDB FDB FDA FDB ADB 90 DEF仍为等腰直角三角形 考点五角平分线与 截长补短 例5如图S1 8 AD BC 点E在线段AB上 ADE CDE DCE ECB 求证 CD AD BC 图S1 8 解析 结论是CD AD BC 可考虑用 截长补短法 中的 截长 即在CD上截取CF CB 只要再证DF DA即可 这就转化为证明两线段相等的问题 从而达到简化问题的目的 图S1 9 证明 在CD上截取CF BC 如图S1 9 在 FCE与 BCE中 FCE BCE SAS 2 1 AD BC ADC BCD 180 又 ADE CDE DCE CDE 90 2 3 90 1 4 90 3 4 在 FDE与 ADE中 FDE ADE ASA DF DA CD DF CF CD AD BC 图S1 9 1 以下命题中 是真命题的是 A 两条直线只有相交和平行两种位置关系B 同位角相等C 两边和一角对应相等的两个三角形全等D 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 D 习题讲析 2 下列说法中 正确的是 A 等腰三角形边上的中线也是高B 等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等C 等边三角形每条角平分线都平分对边D 直角三角形一边上的中线等于这边的一半 C 3 在直角三角形中 一条直角边长为a 另一条边长为2a 那么它的三个内角之比为 A 1 2 3B 2 2 1C 1 1 2D 以上都不对 D 4 如图S1 10 ABC中 ACB 90 BA的垂直平分线交CB边于D 若AB 10 AC 5 则图中等于60 的角的个数为 A 2B 3C 4D 5 D 图S1 10 5 如图S1 11 在Rt ABC中 C 90